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微专题6　电磁
感应中的电路
问题
[定位·学习目标]　
通过对电磁感应中的电路问题的分析,学会解决电磁感应现象中电路问题及电荷量问题的基本方法和解题思路,培养科学思维核心素养。
突破·关键能力
1.处理电磁感应中的电路问题的一般方法
(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势,该部分电路或导体就相当于电源,其他部分是外电路。
(2)画等效电路图,分清内、外电路。
「要点归纳」
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率等公式联立求解。
2.电磁感应中的电荷量问题
(1)由上式可知,线圈匝数一定时,通过某一横截面的感应电荷量仅由回路总电阻和磁通量的变化量决定,与时间无关。
(2)求解闭合回路中通过的电荷量时,I、E均为平均值。
题型一　电磁感应中的电路问题
[例1] (变化磁场的电路问题)(2025·四川宜宾期中)如图甲所示,在一个正方形金属线圈区域内,存在着磁感应强度B随时间变化的匀强磁场,磁场的方向与线圈平面垂直。金属线圈所围的面积S=100 cm2,匝数n=1 000,线圈电阻r=2.0 Ω,线圈与电阻R构成闭合回路,电阻R=8.0 Ω,匀强磁场的磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示,求:
「典例研习」
(1)0～4.0 s内通过电阻R的感应电流大小;
【答案】 (1)0.05 A
(2)0～6.0 s内整个闭合电路中产生的热量。
【答案】 (2)0.9 J
[例2] (导体棒水平切割磁感线的电路问题)(2024·重庆期末)如图,由某种粗细均匀的、总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd,宽ad=L,固定在水平面内且处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。一接入电路的电阻为R的导体棒PQ,在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动,滑动过程中PQ始终与ab垂直,且与线框接触良好,不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中,求:
(1)PQ切割磁感线产生的电动势;
【答案】 (1)BLv
【解析】 (1)PQ切割磁感线产生的电动势E=BLv。
(2)PQ滑到中间位置时PQ两端的电压;
(3)线框消耗的最大电功率。
(1)当金属条ab进入“扇形”磁场时,求感应电动势E,并判断ab上的电流方向;
【答案】 (1)1.2 V　方向为b→a
(2)当金属条ab进入“扇形”磁场时,画出“闪烁”装置的电路图,并求出内、
外圈的电势差Uab。
【答案】 (2)图见解析　0.2 V
·规律总结·
“三步走”分析电路为主的电磁感应问题
题型二　电磁感应中的电荷量问题
[例4] (电荷量的求解)如图甲所示,一个圆形线圈的匝数n=100,线圈面积S=200 cm2,线圈的电阻 r=1 Ω,线圈外接一个阻值R=4 Ω的电阻,把线圈放入一方向垂直于线圈平面向里的匀强磁场中,磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。求:
(1)线圈中的感应电流的大小和方向;
【答案】 (1)0.02 A　方向沿逆时针方向
(2)电阻R两端的电压;
【答案】 (2)0.08 V
【解析】 (2)R两端的电压为U1=I1R=0.02×4 V=0.08 V。
(3)前4 s内通过R的电荷量。
【答案】 (3)8×10-2 C
[例5] (已知电荷量求解其他物理量)如图所示,两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ平行放置,导轨平面与水平面成θ=37°角,间距L=0.5 m,导轨M、P两端接有阻值R=5 Ω的电阻,质量m=0.2 kg 的金属棒ab垂直于导轨放置,金属棒ab和导轨电阻均不计。整个装置放在磁感应强度B=2.0 T的匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向上。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑到刚开始匀速运动时,通过电阻R的电荷量q=2 C。求:(取 sin 37°=0.6,cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2)
(1)金属棒ab匀速运动时的速度v的大小;
【答案】 (1)6 m/s
(2)金属棒ab从静止到刚开始匀速运动时产生的焦耳热Q。
【答案】 (2)8.4 J
检测·学习效果
1.如图所示,足够长平行金属导轨倾斜放置,倾角为37°,宽度为0.5 m,电阻忽略不计,其上端接一小灯泡,电阻为1 Ω。一导体棒MN垂直于导轨放置,质量为0.2 kg,接入电路的电阻为1 Ω,两端与导轨接触良好,与导轨间的动摩擦因数为0.5。在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场,磁感应强度为0.8 T。
将导体棒MN由静止释放,运动一段时间后,小灯泡稳定发光,此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10 m/s2,
取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)(　　)
[A] 2.5 m/s,1 W [B] 5 m/s,1 W
[C] 7.5 m/s,9 W [D] 15 m/s,9 W
B
2.(多选)圆盘发电机的结构示意图如图甲所示,可等效为图乙所示圆盘中任意一个半径CD都在切割磁感线,在C、D之间接上电阻R,已知圆盘匀速转动的角速度为ω,CD的长度为L,每条半径对应的电阻都为r,匀强磁场的磁感应强度为B。下列说法正确的是(　 　)
[A] C点电势比D点高
CD
3.(多选)如图所示,两竖直放置的平行金属导轨之间有矩形匀强磁场区域,矩形磁场区域的高度为d,导体棒ab和cd跨接在两导轨上,可沿导轨无摩擦滑动且接触良好,并能始终保持与两导轨垂直,两导体棒有电阻,两导轨电阻不计。现将ab和cd同时由静止释放,若ab棒通过磁场的时间与进磁场之前的运动时间相等,且ab棒出磁场时,cd棒刚好进磁场,ab和cd均匀速穿过磁场区域。下列说法正确的是(　 　)
AD
[B] 刚释放时,ab和cd之间的距离为d
[C] ab和cd的质量相等
[D] 两导体棒穿过磁场过程中,流过ab棒的电荷量相等
4.(2024·重庆期末)如图所示,两条相距L=1 m的足够长平行金属导轨位于同一水平面内,其右端接一阻值R=9 Ω的电阻。一质量m=0.1 kg、阻值 r=1 Ω的金属杆ab固定在水平导轨上,与导轨垂直并保持良好接触。其左侧轨道正上方有一磁悬浮小车,在其正下方两轨道之间产生一竖直向下的匀强磁场,磁感应强度B=1 T,磁场区域的宽度为d=0.2 m,其他区域磁场不计。磁悬浮小车以速度v=5 m/s沿轨道水平向右匀速运动,不计一切摩擦和导轨电阻。求:
(1)磁悬浮小车右边界刚越过ab杆正上方时,ab杆两端点间的电压;
【答案】 (1)4.5 V
(2)磁悬浮小车越过ab杆过程中,电阻R产生的热量和通过的电荷量。
【答案】 (2)0.09 J　0.02 C
感谢观看微专题6　电磁感应中的电路问题
[定位·学习目标]　通过对电磁感应中的电路问题的分析,学会解决电磁感应现象中电路问题及电荷量问题的基本方法和解题思路,培养科学思维核心素养。
要点归纳
1.处理电磁感应中的电路问题的一般方法
(1)明确哪部分电路或导体产生感应电动势,该部分电路或导体就相当于电源,其他部分是外电路。
(2)画等效电路图,分清内、外电路。
(3)用法拉第电磁感应定律E=n或E=Blvsin θ确定感应电动势的大小,用楞次定律或右手定则确定感应电流的方向。注意在等效电源内部,电流方向从负极流向正极。
(4)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路特点、电功率等公式联立求解。
2.电磁感应中的电荷量问题
闭合回路中磁通量发生变化时,电荷发生定向移动而形成感应电流,在Δt时间内通过某一横截面的电荷量(感应电荷量)q=IΔt=Δt=n··Δt=。
(1)由上式可知,线圈匝数一定时,通过某一横截面的感应电荷量仅由回路总电阻和磁通量的变化量决定,与时间无关。
(2)求解闭合回路中通过的电荷量时,I、E均为平均值。
典例研习
题型一　电磁感应中的电路问题
[例1] (变化磁场的电路问题)(2025·四川宜宾期中)如图甲所示,在一个正方形金属线圈区域内,存在着磁感应强度B随时间变化的匀强磁场,磁场的方向与线圈平面垂直。金属线圈所围的面积S=100 cm2,匝数n=1 000,线圈电阻r=2.0 Ω,线圈与电阻R构成闭合回路,电阻R=8.0 Ω,匀强磁场的磁感应强度随时间变化的情况如图乙所示,求:
(1)0～4.0 s内通过电阻R的感应电流大小;
(2)0～6.0 s内整个闭合电路中产生的热量。
【答案】 (1)0.05 A　(2)0.9 J
【解析】 (1)根据法拉第电磁感应定律,0～4.0 s内线圈中磁通量均匀变化,产生恒定的感应电动势E1=n=n=0.5 V,
根据闭合电路欧姆定律,闭合电路中的感应电流I1==0.05 A。
(2)根据焦耳定律,0～4.0 s内闭合电路中产生的热量Q1=(R+r)Δt1=0.1 J;
由题图乙可知,在4.0～6.0 s内,线圈中产生的感应电动势E2=n=n=2 V,
根据闭合电路欧姆定律可知闭合电路中的感应电流I2==0.2 A,
闭合电路中产生的热量Q2=(R+r)Δt2=0.8 J,
故0～6.0 s内整个闭合电路中产生的热量Q=Q1+Q2=0.9 J。
[例2] (导体棒水平切割磁感线的电路问题)(2024·重庆期末)如图,由某种粗细均匀的、总电阻为3R的金属条制成的矩形线框abcd,宽ad=L,固定在水平面内且处于方向竖直向下、磁感应强度为B的匀强磁场中。一接入电路的电阻为R的导体棒PQ,在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v匀速滑动,滑动过程中PQ始终与ab垂直,且与线框接触良好,不计摩擦。在PQ从靠近ad处向bc滑动的过程中,求:
(1)PQ切割磁感线产生的电动势;
(2)PQ滑到中间位置时PQ两端的电压;
(3)线框消耗的最大电功率。
【答案】 (1)BLv　(2)BLv　(3)
【解析】 (1)PQ切割磁感线产生的电动势E=BLv。
(2)PQ滑到中间位置时外电阻R外==0.75R,
根据闭合电路欧姆定律I===,
PQ两端的电压U=IR外=BLv。
(3)当外电阻等于电源内阻时电源输出功率最大,而当PQ在中间位置时外电阻最大,最大值为 0.75R 且小于电源内阻,与电源内阻最接近,可知此时线圈消耗的功率最大,
最大功率为P===。
[例3] (导体棒转动切割磁感线的电路问题)为了提高自行车夜间行驶的安全性,某同学设计了一种“闪烁”装置。如图所示,自行车后轮由半径r1=0.1 m的金属内圈、半径r2=0.4 m的金属外圈和绝缘辐条构成,后轮的内、外圈之间等间隔地接有6根金属条,每根金属条的中间均串联一阻值R=2 Ω的小灯泡(可视为定值电阻)。在支架上装有磁体,形成了磁感应强度大小B= T、方向垂直于纸面向外、张角θ=的“扇形”匀强磁场,后轮以角速度
ω=4π rad/s相对于转轴转动。不计其他电阻,忽略磁场的边缘效应。
(1)当金属条ab进入“扇形”磁场时,求感应电动势E,并判断ab上的电流方向;
(2)当金属条ab进入“扇形”磁场时,画出“闪烁”装置的电路图,并求出内、外圈的电势差Uab。
【答案】 (1)1.2 V　方向为b→a
(2)图见解析　0.2 V
【解析】 (1)金属条ab在磁场中切割磁感线运动,所构成的回路磁通量变化,设经过时间Δt,磁通量变化量为ΔΦ,由法拉第电磁感应定律得E=,
磁通量的变化量为ΔΦ=BΔS=B(Δθ-Δθ),代入数据得E=Bω(-)=1.2 V,
根据右手定则可知感应电流方向为b→a。
(2)等效电路如图,
由图可知电路总电阻为R总=+R=2.4 Ω,
内、外圈的电势差Uab=·R=0.2 V。
“三步走”分析电路为主的电磁感应问题
题型二　电磁感应中的电荷量问题
[例4] (电荷量的求解)如图甲所示,一个圆形线圈的匝数n=100,线圈面积S=200 cm2,线圈的电阻 r=1 Ω,线圈外接一个阻值R=4 Ω的电阻,把线圈放入一方向垂直于线圈平面向里的匀强磁场中,磁感应强度随时间变化规律如图乙所示。求:
(1)线圈中的感应电流的大小和方向;
(2)电阻R两端的电压;
(3)前4 s内通过R的电荷量。
【答案】 (1)0.02 A　方向沿逆时针方向 (2)0.08 V　(3)8×10-2 C
【解析】 (1)依题意,由法拉第电磁感应定律有
E1=n=n
=100××0.02 V
=0.1 V,
线圈中的感应电流为I1== A=0.02 A,
由楞次定律和安培定则知感应电流方向沿逆时针方向。
(2)R两端的电压为U1=I1R=0.02×4 V=0.08 V。
(3)前4 s内通过R的电荷量为
q=Δt==n=n
=100× C
=8×10-2 C。
[例5] (已知电荷量求解其他物理量)如图所示,两根足够长的光滑金属导轨MN、PQ平行放置,导轨平面与水平面成θ=37°角,间距L=0.5 m,导轨M、P两端接有阻值R=5 Ω的电阻,质量m=0.2 kg 的金属棒ab垂直于导轨放置,金属棒ab和导轨电阻均不计。整个装置放在磁感应强度B=2.0 T的匀强磁场中,磁场方向垂直于导轨平面向上。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑到刚开始匀速运动时,通过电阻R的电荷量q=2 C。求:(取 sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8,重力加速度g取10 m/s2)
(1)金属棒ab匀速运动时的速度v的大小;
(2)金属棒ab从静止到刚开始匀速运动时产生的焦耳热Q。
【答案】 (1)6 m/s　(2)8.4 J
【解析】 (1)金属棒匀速运动时,有mgsin θ=BIL,
其中I==,
联立解得v=6 m/s。
(2)设金属棒开始匀速运动时已沿导轨下滑的距离为x,电荷量的计算公式q=Δt,
其中===,
解得x==10 m,
由能量守恒定律有mgsin θ·x=mv2+Q,
解得Q=8.4 J。
1.如图所示,足够长平行金属导轨倾斜放置,倾角为37°,宽度为0.5 m,电阻忽略不计,其上端接一小灯泡,电阻为1 Ω。一导体棒MN垂直于导轨放置,质量为0.2 kg,接入电路的电阻为1 Ω,两端与导轨接触良好,与导轨间的动摩擦因数为0.5。在导轨间存在着垂直于导轨平面的匀强磁场,磁感应强度为0.8 T。将导体棒MN由静止释放,运动一段时间后,小灯泡稳定发光,此后导体棒MN的运动速度以及小灯泡消耗的电功率分别为(重力加速度g取10 m/s2,
取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)(　　)
[A] 2.5 m/s,1 W [B] 5 m/s,1 W
[C] 7.5 m/s,9 W [D] 15 m/s,9 W
【答案】 B
【解析】 设灯泡电阻为R,导体棒接入电路中的电阻为r,当灯泡稳定发光后,导体棒做匀速运动,根据平衡条件有mgsin θ-μmgcos θ=BIL=,解得v=5 m/s,根据欧姆定律可知I===1 A,则小灯泡消耗的电功率为P=I2R=1 W。故选B。
2.(多选)圆盘发电机的结构示意图如图甲所示,可等效为图乙所示圆盘中任意一个半径CD都在切割磁感线,在C、D之间接上电阻R,已知圆盘匀速转动的角速度为ω,CD的长度为L,每条半径对应的电阻都为r,匀强磁场的磁感应强度为B。下列说法正确的是(　　)
[A] C点电势比D点高
[B] 电阻R两端的电压为BL2ω
[C] 流过电阻R的电流为
[D] 相等时间内,电阻R产生的热量与圆盘产生的热量之比为
【答案】 CD
【解析】 由右手定则可知,电流由C流向D,则C点电势比D点低,故A错误;回路中的感应电动势为E=BL·=BL2ω,流过电阻R的电流为I==,故C正确;电阻R两端的电压为UR=IR=,故B错误;相等时间内,电阻R产生的热量与圆盘产生的热量之比为==,故D正确。
3.(多选)如图所示,两竖直放置的平行金属导轨之间有矩形匀强磁场区域,矩形磁场区域的高度为d,导体棒ab和cd跨接在两导轨上,可沿导轨无摩擦滑动且接触良好,并能始终保持与两导轨垂直,两导体棒有电阻,两导轨电阻不计。现将ab和cd同时由静止释放,若ab棒通过磁场的时间与进磁场之前的运动时间相等,且ab棒出磁场时,cd棒刚好进磁场,ab和cd均匀速穿过磁场区域。下列说法正确的是(　　)
[A] ab释放处到磁场上边界的距离为
[B] 刚释放时,ab和cd之间的距离为d
[C] ab和cd的质量相等
[D] 两导体棒穿过磁场过程中,流过ab棒的电荷量相等
【答案】 AD
【解析】 设导体棒ab从距磁场区域上边界H处由静止释放,导体棒ab做自由落体运动,设导体棒ab进入磁场时的速度为v,则有H=gt2=t,ab棒通过磁场的时间与进磁场之前的运动时间相等,当导体棒在磁场中运动时,有d=vt,联立可得H=,故A正确;由于ab棒出磁场时,cd棒刚好进磁场,对cd棒,做自由落体运动的时间为2t,则有h=g(2t)2=4×gt2=4×=2d,所以刚释放时,ab和cd之间的距离为l=h-H=,故B错误;两导体棒进入磁场均做匀速直线运动,说明导体棒所受重力与安培力平衡,即mg=BIL=,由于ab自由下落高度小于cd,因此ab棒进磁场的速度小于cd棒进磁场的速度,所以ab棒的质量小于cd棒的质量,故C错误;流过ab棒的电荷量为q=Δt=Δt=,由此可知,两导体棒穿过磁场过程中,磁通量变化量相等,则流过ab棒的电荷量相等,故D正确。
4.(2024·重庆期末)如图所示,两条相距L=1 m的足够长平行金属导轨位于同一水平面内,其右端接一阻值R=9 Ω的电阻。一质量m=0.1 kg、阻值 r=1 Ω的金属杆ab固定在水平导轨上,与导轨垂直并保持良好接触。其左侧轨道正上方有一磁悬浮小车,在其正下方两轨道之间产生一竖直向下的匀强磁场,磁感应强度B=1 T,磁场区域的宽度为d=0.2 m,其他区域磁场不计。磁悬浮小车以速度v=5 m/s沿轨道水平向右匀速运动,不计一切摩擦和导轨电阻。求:
(1)磁悬浮小车右边界刚越过ab杆正上方时,ab杆两端点间的电压;
(2)磁悬浮小车越过ab杆过程中,电阻R产生的热量和通过的电荷量。
【答案】 (1)4.5 V　(2)0.09 J　0.02 C
【解析】 (1)小车右边界刚越过ab杆正上方时,ab中产生的感应电动势为E=BLv=5 V,
ab杆两端点间的电压为U=E=4.5 V。
(2)根据闭合电路欧姆定律有I==0.5 A,
小车运动的时间为t=,
电阻R产生的热量为QR=I2Rt=0.09 J,
通过的电荷量q=It=0.02 C。
课时作业
(分值:60分)
基础巩固练
考点一　电磁感应中的电路问题
1.(6分)(多选)如图所示,匝数为n的线圈,电阻为r,横截面积为S,处于一个随时间均匀增强的磁场中,磁感应强度的变化率为k,磁场方向水平向右且与线圈平面垂直,电容器的电容为C,两个电阻的阻值均为R。下列说法正确的是(　　)
[A] 通过线圈的电流为
[B] 从左向右看线圈中的电流方向为逆时针方向
[C] 电容器所带的电荷量为
[D] 电容器上极板带负电
【答案】 BC
【解析】 线圈中产生的感应电动势E=nkS,通过线圈的电流为I=,故A错误;根据楞次定律,从左向右看线圈中的电流方向为逆时针方向,此时线圈左端为正极,电容器上极板带正电,故B正确,D错误;电容器所带的电荷量为Q=CU=CIR=,故C正确。
2.(4分)(2025·浙江杭州期中)如图所示,在磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场中,长为L的金属杆MN在平行金属导轨上以速度v向右匀速滑动。金属导轨电阻不计,金属杆与导轨的夹角为θ,电阻为0.5R,ab间电阻为R,M、N两点间电势差为U,则M、N两点电势的高低及U的大小分别为(　　)
[A] N点电势高,U=BLvsin θ
[B] N点电势高,U=
[C] M点电势高,U=BLvsin θ
[D] M点电势高,U=
【答案】 D
【解析】 由右手定则可以判定金属杆中电流的方向为由N到M,因此M点电势高;金属杆切割磁感线的有效长度是Lsin θ,根据法拉第电磁感应定律有E=BLvsin θ,再根据闭合电路欧姆定律可知M、N两点间电势差U=E=,故选D。
考点二　电磁感应中的电荷量问题
3.(4分)如图所示,虚线MN左侧有面积足够大的、磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,MN右侧为真空区域。使边长为L的正方形单匝导线框绕其顶点a,在纸面内顺时针转动,线框电阻为R。经时间t匀速转到图中虚线位置,则(　　)
[A] 导线框abcd中感应电流方向为逆时针方向
[B] 该过程中流过线框任意横截面的电荷量为
[C] 平均感应电动势为
[D] t时刻的感应电动势为
【答案】 C
【解析】 由题意可知,通过线框的磁通量减少,根据楞次定律可知,导线框中的电流方向为顺时针方向,故A错误;导线框在磁场中运动时磁通量的变化量为ΔΦ=-BL2,线框中的平均感应电动势为==,线框中平均感应电流为=,所以流过线框任意横截面的电荷量为q=t=,故B错误,C正确;t时刻线框旋转的角速度为 ω=,感应电动势为E=Blv=
BL=,故D错误。
4.(4分)如图所示,足够长的U形光滑金属导轨平面与水平面成θ角,其中MN与PQ平行且间距为L,导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直,导轨电阻不计。金属棒ab由静止开始沿导轨下滑,并与两导轨始终保持垂直且接触良好,ab棒接入电路的电阻为R,经过足够长的时间,当流过ab棒某一横截面的电荷量为q时,棒的速度为v,则ab棒在这一过程中(　　)
[A] 受到的最大安培力为sin θ
[B] 运动的平均速度大小为v
[C] 下滑的位移大小为
[D] 产生的焦耳热为qBLv
【答案】 C
【解析】 金属棒ab开始做加速运动,速度增大,感应电动势增大,所以感应电流也增大,导致金属棒受到的安培力增大,所以加速度减小,即金属棒做加速度逐渐减小的变加速运动,不是匀变速直线运动,则运动的平均速度大小≠=,故B错误;当速度为v时,感应电动势为E=BLv,电路电流为I=,则这一过程金属棒ab受到的最大安培力为Fm=BIL=,故A错误;根据q=Δt=Δt=Δt=,解得下滑的位移大小为x=,故C正确;由于这一过程中安培力逐渐增大,则金属棒ab克服安培力做功满足W安5.(4分)如图甲所示,电阻为5 Ω、匝数为100的线圈(图中只画了2匝)两端A、B与电阻R相连,R=95 Ω。线圈内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场,线圈中的磁通量按图乙所示规律变化。则(　　)
[A] A点的电势低于B点的电势
[B] 在线圈中感应电流沿顺时针方向
[C] 0.1 s内通过电阻R的电荷量为0.05 C
[D] 0.1 s内非静电力所做的功为5.5 J
【答案】 C
【解析】 线圈中的磁通量向里增加,根据楞次定律可知,线圈中的感应电流为逆时针方向,则A点的电势高于B点的电势,故A、B错误;线圈中产生的感应电动势为E=n=100×
V=50 V,回路中的感应电流为I== A=0.5 A,则0.1 s内通过电阻R的电荷量为q=It=0.5×0.1 C=0.05 C,故C正确;0.1 s内非静电力所做的功等于回路产生的焦耳热,则有W=Q=I2(R+r)t=0.52×(95+5)×0.1 J=2.5 J,故D错误。
6.(6分)(多选)(2025·安徽滁州检测)如图所示,阻值为R的金属棒从图示ab位置分别以v1、v2的速度沿光滑水平导轨(电阻不计)匀速滑到a′b′位置。若v1∶v2=1∶2,则在这两次运动过程中(　　)
[A] 回路电流I1∶I2=1∶2
[B] 产生的热量Q1∶Q2=1∶4
[C] 通过任一截面的电荷量q1∶q2=1∶1
[D] 外力的功率P1∶P2=1∶2
【答案】 AC
【解析】 回路中感应电流为I==,则I1∶I2=v1∶v2=1∶2,故A正确;产生的热量为Q=I2Rt=()2R·=,则Q1∶Q2=v1∶v2=1∶2,故B错误;通过任一截面的电荷量为q=It==,q与v无关,则q1∶q2=1∶1,故C正确;由于棒匀速运动,外力的功率等于回路中的功率,即得P=I2R=,则P1∶P2=1∶4,故D错误。
能力提升练
7.(6分)(多选)如图所示,固定在同一水平面内的两平行长直金属导轨,间距为1 m,其左端用导线接有两个阻值为4 Ω的电阻,整个装置处在竖直向上、磁感应强度大小为2 T的匀强磁场中。一质量为2 kg的导体杆MN垂直于导轨放置,已知杆接入电路的电阻为2 Ω,杆与导轨之间的动摩擦因数为0.5。对杆施加水平向右、大小为20 N的拉力,杆从静止开始沿导轨运动,杆与导轨始终保持良好接触,导轨电阻不计,重力加速度g取10 m/s2。则(　　)
[A] M点的电势高于N点
[B] 杆运动的最大速度是10 m/s
[C] 杆上产生的焦耳热与两电阻产生焦耳热的和相等
[D] 当杆达到最大速度时,M、N两点间的电势差大小为10 V
【答案】 BCD
【解析】 根据右手定则知,杆中电流方向为M→N,则N点的电势高于M点,故A错误;
设杆运动的最大速度是v,此时杆做匀速运动,受到的安培力大小为FA=ILB,I=,E=BLv,得FA=,其中 R=4 Ω,r=2 Ω,根据平衡条件有F=FA+μmg,联立解得v=10 m/s,故B正确;两电阻并联阻值 R并==r,杆中电流与两电阻的总电流相等,由Q=I2Rt知杆上产生的焦耳热与两电阻产生焦耳热的和相等,故C正确;当杆达到最大速度时,杆产生的感应电动势为E=BLv=2×1×10 V=20 V,M、N两点间的电势差大小为U=E=×20 V=10 V,故D正确。
8.(4分)(2025·重庆期中)如图所示,固定在水平面上的半径为r的金属圆环内存在方向竖直向下、磁感应强度大小为B的匀强磁场。长度也为r、电阻为R的直导体棒OA置于圆导轨上面,导体棒在外力作用下绕O点以角速度ω顺时针匀速转动。直导体棒O端和圆轨道引出导线分别与电阻R1=R、R2=2R和电容为C的平行板电容器相连。已知重力加速度为g,不计其他电阻和摩擦,下列说法正确的是(　　)
[A] M板带负电
[B] 导体棒OA产生的电动势为Br2ω
[C] 电容器所带电荷量为CBr2ω
[D] 电阻R1上消耗的电功率为
【答案】 C
【解析】 根据右手定则可知,等效电源OA的A端为正极,则M板带正电,故A错误;导体棒OA垂直于磁场转动切割磁感线,则产生的感应电动势为E=Brω·r=,故B错误;回路的感应电流I=,电容器两端电压U2=IR2,根据电容的定义式有C=,解得Q=CBr2ω,故C正确;电阻R1上消耗的电功率为P=I2R1,结合上述解得P=,故D错误。
9.(10分)如图甲所示,两根平行的光滑金属导轨上端与阻值为R的电阻相连,导轨平面与水平面夹角为θ,导轨间距为L。水平的虚线所夹区域存在两个垂直于导轨平面向上的有界匀强磁场Ⅰ和Ⅱ,其中磁场Ⅰ磁感应强度大小为B,磁场Ⅱ磁感应强度B′大小未知。一根水平放置的导体棒从图示位置由静止释放,经时间t进入磁场Ⅰ。以磁场Ⅰ的上边界为坐标原点,沿导轨建立x轴,导体棒在磁场中运动时电阻R的功率P与导体棒的位置坐标x的关系如图乙所示。导轨和导体棒的电阻不计,重力加速度为g。求:
(1)棒进入磁场Ⅰ时受到的安培力方向及速度v0的大小;
(2)磁场Ⅱ磁感应强度B′的大小。
【答案】 (1)方向平行于导轨平面向上　
(2)B
【解析】 (1)棒进入磁场Ⅰ时受到的安培力应阻碍棒相对于导轨向下运动,则棒进入磁场Ⅰ时受到的安培力方向平行于导轨平面向上;
设棒进入磁场Ⅰ时,电路电流为I0,根据题图乙可知P0=R,
解得I0=,
棒进入磁场Ⅰ时产生的感应电动势为E=BLv0,
根据闭合电路欧姆定律可得E=I0R,
联立解得v0=。
(2)根据题图乙可知,0～x1内,电阻R的功率保持不变,则回路电流保持不变,回路电动势保持不变,棒进入磁场Ⅰ时产生的感应电动势保持不变,故导体棒在磁场Ⅰ中向下以v0做匀速直线运动。根据题图乙可知,棒刚进入磁场Ⅱ时,电阻的功率为2P0,设此时电流为I2,则有2P0=R,
解得I2=,
棒进入磁场Ⅱ时产生的感应电动势为E2=B′Lv0,
根据闭合电路欧姆定律可得E2=I2R,
联立解得B′=B。
10.(12分)(2025·河南质量检测)如图所示,边长为2L的等边三角形PMN边界内存在垂直于纸面向外的匀强磁场。圆心为O、半径为L的圆形边界内存在垂直于纸面向内的匀强磁场,两个磁场的磁感应强度大小均为B,JP是圆形边界的直径,Q是MN的中点。一根长为2L、电阻忽略不计的金属棒一端用铰链接于P点,另一端位于M,在金属棒的两端引出两根导线(电阻不计)接上定值电阻R(未画出)。现让金属棒在外力的作用下在纸面内以角速度ω绕P点逆时针做匀速圆周运动,转动过程中导线与电阻R始终在磁场外。求:
(1)当金属棒经过Q点时,定值电阻R的电功率;
(2)金属棒的端点从M到N的过程中,通过定值电阻R的电荷量;
(3)从金属棒与JP第一次垂直到第一次重合的过程中,电阻R两端的瞬时电压表达式。
【答案】 (1)　(2) (3)u=2BωL2sin2ωt(0≤t≤)
【解析】 (1)当金属棒经过Q点时,分析可知金属棒在磁场中切割磁感线的有效长度为
d=2Lsin 60°,可得E=Bd2ω,
由欧姆定律可得回路中的电流为I=,
定值电阻R的电功率为P=I2R,
综合可得P=。
(2)由E=,I=,q=IΔt,
综合可得q=,
金属棒的端点从M到N的过程中ΔS=×d×2L,ΔΦ=BΔS,
综合可得q=。
(3)从金属棒进入圆形边界计时开始,圆周内设t时刻金属棒与JP的夹角为θ,则θ=-ωt,
设金属棒与半径为L的圆形边界的交点为K,连接PK、JK,如图,
由几何关系可得PK与JK垂直,金属棒在磁场中的有效长度为PK=2Lcos θ,
可得电阻R的瞬时电压表达式u=B(PK)2ω,
综合可得u=2BωL2sin2ωt(0≤t≤)。

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