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微专题9　电磁感应中的能量和动量问题
[定位·学习目标]　
1.通过对导体棒切割磁感线和线框进出磁场中的能量问题的分析,学会用动能定理和能量守恒定律解决电磁感应过程中有关能量的问题,培养科学思维核心素养。2.通过对电磁感应中动量问题的分析,学会用动量定理分析解决电磁感应中有关导体棒的位移、电荷量的问题和用动量守恒定律解决等长双棒有关问题,培养科学思维核心素养。
突破·关键能力
要点一　电磁感应中的能量问题
1.能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式能量的转化过程,而能量的转化是通过安培力做功实现的。安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为内能),克服安培力做功,则是其他形式的能(通常为机械能)转化为电能的过程。
「要点归纳」
2.焦耳热的计算
(1)感应电流恒定时,根据焦耳定律求解,即Q=I2Rt。
(2)感应电流变化时,可用以下方法分析:
①利用动能定理,求出克服安培力做的功W克安,即Q=W克安。
②利用能量守恒定律,焦耳热等于其他形式能量的减少量。
「典例研习」
[例1] (水平面上的能量问题)如图所示,水平固定的“ ”形金属导轨处在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中,导轨左端通过开关K连接恒流源S,其中电流大小为I,方向由M流向N。两导体棒a、b垂直于导轨放置并与两导轨紧密接触,其中b导体棒通过水平绝缘细绳绕过定滑轮竖直吊起一重物c。已知两导体棒a、b接入电路的电阻均为R,a、b、c的质量均为m,导轨间距为d,除两导体棒电阻之外其余电阻不计,不计一切摩擦阻力,重力加速度大小为g,重物c距地面足够高,绳子与导轨足够长。
(1)若开关K断开,
①外力使导体棒a以某一速度v向右匀速运动时导体棒b恰好能保持静止,求速度v;
②导体棒a固定,让重物c从静止释放,当重物c下降h时,导体棒b恰好做匀速运动,求该过程中回路产生的焦耳热。
(2)若开关K闭合,导体棒a固定,导体棒b作为“电动机”向右运动。求“电动机”机械效率为50%时导体棒b的速度vb。
[例2] (竖直面上的能量问题)磁悬浮电梯是基于电磁原理和磁力驱动使电梯悬浮和运行的,从而实现高效、安全和舒适的电梯运输。某种磁悬浮电梯通过空间周期性磁场的运动而获得推进动力,其简化原理如图所示:在竖直面上相距为b的两根绝缘平行直导轨间,有等距离分布的、方向相反的匀强磁场,磁场方向垂直于导轨平面,磁感应强度大小均为B,每个磁场分布区间的长度都是a,相间排列。当这些磁场在竖直方向分别以速度v1、v2、v3向上匀速平动时,跨在两导轨间的宽为b、长为a的金属框MNPQ(固定在电梯轿厢上)在安培力作用下分别会悬停、向上运动、向下运动,金属框的总电阻为R。为最大限度减少电磁对人体及环境的影响,利用屏蔽材料过滤多余的磁感线,使得磁场只能作用在金属框所在区域。假设电梯负载不变(质量未知),忽略电梯运行时的其他阻力、金属框的电感,重力加速度为g。
(1)求电梯悬停时,金属框中的电流大小I1;
(2)求金属框、电梯轿厢及电梯负载的总质量M;
(3)求轿厢向上能达到的最大速度v上;
【答案】 (3)v2-v1
(4)在电梯悬停、向上匀速运动、向下匀速运动时,外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量分别为E1、E2、E3,求E1∶E2∶E3。
【答案】 (4)v1∶v2∶v3
(1)0～0.3 s内金属棒通过的位移大小;
【答案】 (1)0.3 m
(2)金属棒在0～0.6 s内产生的热量。
【答案】 (2)1.05 J
要点二　电磁感应中的动量问题
「要点归纳」
1.在单导体棒切割磁感线做非匀变速运动时,若牛顿运动定律、能量观点不能解决问题,可运用动量定理求解。导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时:
磁通量变化量为ΔΦ=BΔS=BLx。
如果安培力是导体棒或金属框受到的合力,则I安=mv2-mv1。
当题目涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便。
2.在双金属棒切割磁感线的系统中,双金属棒和导轨构成闭合回路,安培力为系统内力,如果两安培力等大反向,且它们受到的外力的合力为零,则满足动量守恒条件,运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析。
(1)动力学观点:通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动,而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动,最终两金属棒以共同的速度匀速运动。
(2)动量观点:如果光滑导轨间距恒定,则两个金属棒受到的安培力大小相等,通常情况下系统的动量守恒。
(3)能量观点:其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
[例4] (单棒模型中动量定理的应用)如图所示,两足够长的光滑金属导轨竖直放置,相距为L,一理想电流表与两导轨相连,匀强磁场与导轨平面垂直。一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放。导体棒进入磁场后流经电流表的电流逐渐减小,最终稳定为I。整个运动过程中,导体棒与导轨接触良好,且始终保持水平,不计导轨的电阻,重力加速度为g。
「典例研习」
(1)求导体棒的最大速度和磁感应强度的大小;
(2)求电流稳定后,导体棒运动速度的大小;
(3)若金属棒进入磁场后恰经t时间达到稳定,求这段时间的位移x大小。
[例5] (导体框模型中动量定理的应用)如图所示,在光滑的水平面上宽度为L的区域内,有竖直向下的匀强磁场。现有一个边长为a(aB
[例6] (双棒模型中动量守恒定律的应用)如图所示,两根平行的光滑金属导轨MN、PQ放在水平面上,左端向上弯曲,导轨间距为L,电阻不计。水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B。导体棒a和b的质量分别为m和2m,接入电路的电阻分别为Ra=2R,Rb=R;b棒放置在水平导轨上足够远处,a棒在弧形导轨上距水平面h高度处由静止释放。运动过程中导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直,重力加速度为g。求:
(1)最终稳定时两棒的速度大小;
(2)从a棒开始下落到最终稳定的过程中,b棒上产生的焦耳热;
(3)全过程通过a棒的电荷量。
检测·学习效果
1.如图甲所示,地面上方高度为d的空间内有水平方向的匀强磁场,质量为m的正方形闭合导线框abcd的边长为l,从bc边距离地面高为h处将其由静止释放,已知h>d>l。从导线框开始运动到bc边即将落地的过程中,导线框的v-t图像如图乙所示。重力加速度为g,不计空气阻力,下列关于这一过程的判断正确的是(　　)
[A] t1～t2时间内导线框受到的安培力逐渐增大
[B] 磁场的高度d可以用v-t图中阴影部分的面积表示
[C] 导线框重力势能的减少量等于其动能的增加量
[D] 导线框产生的焦耳热大于mgl
D
【解析】 由题图乙可知,在0～t1时间内,导线框自由落体,t1～t2时间内导线框进入磁场切割磁感线,做加速度减小的减速运动,电流减小,则安培力在减小,A错误;在t1～t2时间内,导线框切割磁感线,距离为l,完全进入后又做加速运动直到落地,所以磁场高度d为t1～t3时间内的位移,B错误;安培力做负功,所以重力势能减少量等于动能增加量与安培力做功的和,C错误;t1～t2时间内,F安>mg,克服安培力做的功大于重力做功,所以在下降过程中导线框产生的焦耳热大于mgl,D正确。
2.如图所示,MN和PQ是两根互相平行竖直放置的足够长光滑金属导轨,导轨间距为L且电阻不计,质量为m、接入电路电阻为R的金属杆ab与导轨垂直且始终与导轨接触良好,开始时,将开关S断开,让杆ab由静止开始自由下落时间t1后闭合开关S,再经一段时间t2后匀速下落。不计空气阻力,重力加速度为g,在金属杆运动 t1+t2时间内,下列说法正确的是(　　)
[A] 闭合开关后流过杆的感应电流方向为从b到a
[B] 闭合开关后金属杆一定做加速度减小的加速运动
C
3.(多选)如图所示,倾角为θ=37°的足够长的平行金属导轨固定在水平面上,两导体棒ab、cd垂直于导轨放置,空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B。现给导体棒ab沿导轨平面向下的初速度v0使其沿导轨向下运动,已知两导体棒质量均为m,电阻相等,两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为μ=0.75,导轨电阻忽略不计,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。从ab开始运动到两棒相对静止的整个运动过程中两导体棒始终与导轨保持良好的接触,下列说法正确的是(　 　 )
BC
4.如图所示,两条平行光滑导轨相距L,水平导轨足够长,导轨电阻不计。水平轨道处在竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度为B。金属棒b放在水平导轨上,金属棒a从斜轨上高h处自由滑下。已知金属棒a、b质量均为m,金属棒a、b电阻均为R,重力加速度为g,整个过程中金属棒a、b始终未相撞。求:
(1)金属棒b的最大加速度;
(2)金属棒a能产生的最大热量。
感谢观看微专题9　电磁感应中的能量和动量问题
[定位·学习目标]　1.通过对导体棒切割磁感线和线框进出磁场中的能量问题的分析,学会用动能定理和能量守恒定律解决电磁感应过程中有关能量的问题,培养科学思维核心
素养。2.通过对电磁感应中动量问题的分析,学会用动量定理分析解决电磁感应中有关导体棒的位移、电荷量的问题和用动量守恒定律解决等长双棒有关问题,培养科学思维核心素养。
要点一　电磁感应中的能量问题
要点归纳
1.能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式能量的转化过程,而能量的转化是通过安培力做功实现的。
安培力做功使得电能转化为其他形式的能(通常为内能),克服安培力做功,则是其他形式的能(通常为机械能)转化为电能的过程。
2.焦耳热的计算
(1)感应电流恒定时,根据焦耳定律求解,即Q=I2Rt。
(2)感应电流变化时,可用以下方法分析:
①利用动能定理,求出克服安培力做的功W克安,即Q=W克安。
②利用能量守恒定律,焦耳热等于其他形式能量的减少量。
(3)导体棒克服安培力做的功等于整个电路产生的焦耳热Q。导体棒与定值电阻串联,产生的焦耳热与电阻成正比。电阻R产生的焦耳热为QR=Q,导体棒产生的焦耳热为Qr=Q。
典例研习
[例1] (水平面上的能量问题)如图所示,水平固定的“”形金属导轨处在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中,导轨左端通过开关K连接恒流源S,其中电流大小为I,方向由M流向N。两导体棒a、b垂直于导轨放置并与两导轨紧密接触,其中b导体棒通过水平绝缘细绳绕过定滑轮竖直吊起一重物c。已知两导体棒a、b接入电路的电阻均为R,a、b、c的质量均为m,导轨间距为d,除两导体棒电阻之外其余电阻不计,不计一切摩擦阻力,重力加速度大小为g,重物c距地面足够高,绳子与导轨足够长。
(1)若开关K断开,
①外力使导体棒a以某一速度v向右匀速运动时导体棒b恰好能保持静止,求速度v;
②导体棒a固定,让重物c从静止释放,当重物c下降h时,导体棒b恰好做匀速运动,求该过程中回路产生的焦耳热。
(2)若开关K闭合,导体棒a固定,导体棒b作为“电动机”向右运动。求“电动机”机械效率为50%时导体棒b的速度vb。
【答案】 (1)①　②mgh-　(2)
【解析】 (1)①导体棒b平衡时有mg=BI0d,
流过导体棒的电流I0=,
联立得导体棒a的速度v=。
②b最终匀速运动时受力平衡,仍有mg=BI0d,I0=,
所以导体棒b匀速运动的速度为v=,
根据能量守恒定律可得Q=mgh-,
可得该过程回路产生的焦耳热为Q=mgh-。
(2)设导体棒b切割磁感线产生的电动势为E,其电流为i。导体棒a与导体棒b两端电压相等,即(I-i)R=Bdvb+iR,
又η===50%,
解得vb=。
[例2] (竖直面上的能量问题)磁悬浮电梯是基于电磁原理和磁力驱动使电梯悬浮和运行的,从而实现高效、安全和舒适的电梯运输。某种磁悬浮电梯通过空间周期性磁场的运动而获得推进动力,其简化原理如图所示:在竖直面上相距为b的两根绝缘平行直导轨间,有等距离分布的、方向相反的匀强磁场,磁场方向垂直于导轨平面,磁感应强度大小均为B,每个磁场分布区间的长度都是a,相间排列。当这些磁场在竖直方向分别以速度v1、v2、v3向上匀速平动时,跨在两导轨间的宽为b、长为a的金属框MNPQ(固定在电梯轿厢上)在安培力作用下分别会悬停、向上运动、向下运动,金属框的总电阻为R。为最大限度减少电磁对人体及环境的影响,利用屏蔽材料过滤多余的磁感线,使得磁场只能作用在金属框所在区域。假设电梯负载不变(质量未知),忽略电梯运行时的其他阻力、金属框的电感,重力加速度为g。
(1)求电梯悬停时,金属框中的电流大小I1;
(2)求金属框、电梯轿厢及电梯负载的总质量M;
(3)求轿厢向上能达到的最大速度v上;
(4)在电梯悬停、向上匀速运动、向下匀速运动时,外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量分别为E1、E2、E3,求E1∶E2∶E3。
【答案】 (1)　(2)　(3)v2-v1　(4)v1∶v2∶v3
【解析】 (1)磁场以v1匀速运动时金属框处于静止状态,金属框中的电流大小为I1=,
其中E1′=Bbv1,
解得I1=。
(2)由平衡关系得2BI1b=Mg,
解得M=。
(3)当磁场以v2运动时,金属框向上运动,当金属框的加速度为零时,轿厢向上能达到最大速度,有2B·b=Mg,
解得v上=v2-v1。
(4)电梯悬停时,外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量等于金属框的焦耳热,则
E1=R=()2R=,
电梯向上匀速运动时,外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量等于金属框的焦耳热与重力势能增加量之和,即E2=[]2R+Mgv上=,
同理,电梯向下匀速运动的速度为v下=v1-v3,
电梯向下匀速运动时,外界每秒钟提供给轿厢系统的总能量等于金属框的焦耳热与重力势能减少量之差,即E3=[]2R-Mgv下=,
则E1∶E2∶E3=v1∶v2∶v3。
[例3] (斜面上的能量问题)如图甲所示,足够长阻值不计的光滑平行金属导轨MN、PQ之间的距离 L=0.5 m,NQ两端连接阻值R=2.0 Ω的电阻,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨所在平面向上,导轨平面与水平面间的夹角θ=30°,一质量m1=0.40 kg、接入电路的阻值r=1.0 Ω的金属棒垂直于导轨放置并用绝缘细线通过光滑的轻质定滑轮与质量m2=0.80 kg的重物相连。细线与金属导轨平行。金属棒沿导轨向上滑行的速度v与时间t之间的关系如图乙所示,已知金属棒在 0～0.3 s内通过的电荷量是0.3～0.6 s内通过电荷量的,重力加速度g取10 m/s2,求:
(1)0～0.3 s内金属棒通过的位移大小;
(2)金属棒在0～0.6 s内产生的热量。
【答案】 (1)0.3 m　(2)1.05 J
【解析】 (1)0～0.3 s内通过金属棒的电荷量q1==,
0.3～0.6 s内通过金属棒的电荷量q2=I2t2=,
由题中的电荷量关系=,
解得x1=0.3 m。
(2)金属棒在0～0.6 s内通过的总位移为x=x1+x2=x1+v0t2,解得x=0.75 m,
根据能量守恒定律有m2gx-m1gxsin θ=(m1+m2)+Q,
解得Q=3.15 J;
由于金属棒与电阻R串联,电流相等,根据焦耳定律Q=I2Rt,它们产生的热量与电阻成正比,所以金属棒在0～0.6 s内产生的热量Qr=Q=1.05 J。
要点二　电磁感应中的动量问题
要点归纳
1.在单导体棒切割磁感线做非匀变速运动时,若牛顿运动定律、能量观点不能解决问题,可运用动量定理求解。导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时:
安培力的冲量为I安=BLΔt=BLq,
通过导体棒或金属框的电荷量为q=Δt=Δt=nΔt=n,
磁通量变化量为ΔΦ=BΔS=BLx。
如果安培力是导体棒或金属框受到的合力,则I安=mv2-mv1。
当题目涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便。
2.在双金属棒切割磁感线的系统中,双金属棒和导轨构成闭合回路,安培力为系统内力,如果两安培力等大反向,且它们受到的外力的合力为零,则满足动量守恒条件,运用动量守恒定律求解比较方便。这类问题可以从以下三个观点来分析。
(1)动力学观点:通常情况下一个金属棒做加速度逐渐减小的加速运动,而另一个金属棒做加速度逐渐减小的减速运动,最终两金属棒以共同的速度匀速运动。
(2)动量观点:如果光滑导轨间距恒定,则两个金属棒受到的安培力大小相等,通常情况下系统的动量守恒。
(3)能量观点:其中一个金属棒动能的减少量等于另一个金属棒动能的增加量与回路中产生的焦耳热之和。
典例研习
[例4] (单棒模型中动量定理的应用)如图所示,两足够长的光滑金属导轨竖直放置,相距为L,一理想电流表与两导轨相连,匀强磁场与导轨平面垂直。一质量为m、有效电阻为R的导体棒在距磁场上边界h处静止释放。导体棒进入磁场后流经电流表的电流逐渐减小,最终稳定为I。整个运动过程中,导体棒与导轨接触良好,且始终保持水平,不计导轨的电阻,重力加速度为g。
(1)求导体棒的最大速度和磁感应强度的大小;
(2)求电流稳定后,导体棒运动速度的大小;
(3)若金属棒进入磁场后恰经t时间达到稳定,求这段时间的位移x大小。
【答案】 (1)　　(2) (3)(mgt+m-)
【解析】 (1)由题意知导体棒刚进入磁场时的速度最大,设为vm,由机械能守恒定律得
mgh=m,解得vm=;
电流稳定后,导体棒做匀速运动,此时导体棒受到的重力和安培力平衡,有mg=ILB,
解得B=。
(2)感应电动势E=BLv,感应电流I=,
解得v=。
(3)金属棒进入磁场后,由动量定理有mgt-LBt=mv-mvm,
即mgt-=mv-mvm,
解得x=(mgt+m-)。
[例5] (导体框模型中动量定理的应用)如图所示,在光滑的水平面上宽度为L的区域内,有竖直向下的匀强磁场。现有一个边长为a(a[A] 大于 [B] 等于
[C] 小于 [D] 以上均有可能
【答案】 B
【解析】 通过线圈横截面的电荷量q=Δt=Δt=,由于线圈进入和穿出磁场过程,线圈磁通量的变化量相等,则进入和穿出磁场的两个过程通过线圈横截面的电荷量q相等,根据动量定理,线圈进入磁场过程有-Bat=mv-mv0,线圈离开磁场过程有-Bat=0-mv,由于q=t,则-Baq=mv-mv0,Baq=mv,解得v=,故B正确。
[例6] (双棒模型中动量守恒定律的应用)如图所示,两根平行的光滑金属导轨MN、PQ放在水平面上,左端向上弯曲,导轨间距为L,电阻不计。水平段导轨所处空间存在方向竖直向上的匀强磁场,磁感应强度为B。导体棒a和b的质量分别为m和2m,接入电路的电阻分别为Ra=2R,Rb=R;b棒放置在水平导轨上足够远处,a棒在弧形导轨上距水平面h高度处由静止释放。运动过程中导体棒与导轨接触良好且始终与导轨垂直,重力加速度为g。求:
(1)最终稳定时两棒的速度大小;
(2)从a棒开始下落到最终稳定的过程中,b棒上产生的焦耳热;
(3)全过程通过a棒的电荷量。
【答案】 (1)均为　(2)mgh (3)
【解析】 (1)对a棒由动能定理得mgh=m,
解得v0=,
取水平向右为正方向,由动量守恒定律得mv0=(m+2m)v共,
解得v共=v0=。
(2)对系统,由能量守恒定律得m=×3m+Q总,
解得Q总=mgh,
b棒上产生的焦耳热为Qb=Q总=Q总=mgh。
(3)对b棒,由动量定理得
BLΔt=2mv共,
q=Δt,
解得q=,
可知全过程通过a棒的电荷量为。
1.如图甲所示,地面上方高度为d的空间内有水平方向的匀强磁场,质量为m的正方形闭合导线框abcd的边长为l,从bc边距离地面高为h处将其由静止释放,已知h>d>l。从导线框开始运动到bc边即将落地的过程中,导线框的v-t图像如图乙所示。重力加速度为g,不计空气阻力,下列关于这一过程的判断正确的是(　　)
[A] t1～t2时间内导线框受到的安培力逐渐增大
[B] 磁场的高度d可以用v-t图中阴影部分的面积表示
[C] 导线框重力势能的减少量等于其动能的增加量
[D] 导线框产生的焦耳热大于mgl
【答案】 D
【解析】 由题图乙可知,在0～t1时间内,导线框自由落体,t1～t2时间内导线框进入磁场切割磁感线,做加速度减小的减速运动,电流减小,则安培力在减小,A错误;在t1～t2时间内,导线框切割磁感线,距离为l,完全进入后又做加速运动直到落地,所以磁场高度d为t1～t3时间内的位移,B错误;安培力做负功,所以重力势能减少量等于动能增加量与安培力做功的和,C错误;t1～t2时间内,F安>mg,克服安培力做的功大于重力做功,所以在下降过程中导线框产生的焦耳热大于mgl,D正确。
2.如图所示,MN和PQ是两根互相平行竖直放置的足够长光滑金属导轨,导轨间距为L且电阻不计,质量为m、接入电路电阻为R的金属杆ab与导轨垂直且始终与导轨接触良好,开始时,将开关S断开,让杆ab由静止开始自由下落时间t1后闭合开关S,再经一段时间t2后匀速下落。不计空气阻力,重力加速度为g,在金属杆运动 t1+t2时间内,下列说法正确的是(　　)
[A] 闭合开关后流过杆的感应电流方向为从b到a
[B] 闭合开关后金属杆一定做加速度减小的加速运动
[C] 杆所受安培力的冲量大小为mg(t1+t2)-
[D] 杆下落的高度为
【答案】 C
【解析】 根据右手定则,闭合开关后流过杆的感应电流方向为从a到b,故A错误;闭合开关时,杆的速度v1=gt1,回路中电流为I1==,杆所受安培力FA=BI1L=,因为安培力和重力关系未知,所以杆不一定做加速运动,故B错误;全过程对金属杆,根据动量定理有mv2=mg(t1+t2)-IA,其中匀速时有mg=,解得杆所受安培力的冲量大小为IA=mg(t1+t2)-
,故C正确;根据IA=BLt2=BLq=,解得闭合开关后在磁场中下落高度h=-,但还有自由落体下降高度,故D错误。
3.(多选)如图所示,倾角为θ=37°的足够长的平行金属导轨固定在水平面上,两导体棒ab、cd垂直于导轨放置,空间存在垂直于导轨平面向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B。现给导体棒ab沿导轨平面向下的初速度v0使其沿导轨向下运动,已知两导体棒质量均为m,电阻相等,两导体棒与导轨之间的动摩擦因数均为μ=0.75,导轨电阻忽略不计,取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8。从ab开始运动到两棒相对静止的整个运动过程中两导体棒始终与导轨保持良好的接触,下列说法正确的是(　　)
[A] 导体棒cd中产生的焦耳热为m
[B] 导体棒cd中产生的焦耳热为m
[C] 当导体棒cd的速度为v0时,导体棒ab的速度为v0
[D] 当导体棒ab的速度为v0时,导体棒cd的速度为v0
【答案】 BC
【解析】 由题意可知mgsin 37°=μmgcos 37°,则两棒组成的系统沿导轨方向的动量守恒,当最终稳定时有mv0=2mv,解得v=0.5v0,则回路中产生的焦耳热为Q=m-·2mv2=m,则导体棒cd中产生的焦耳热为Qcd=Qab=Q=m,选项A错误,B正确;当导体棒cd的速度为v0时,由动量守恒定律得mv0=m·v0+mvab,解得vab=v0,选项C正确;当导体棒ab的速度为v0时,由动量守恒定律得mv0=m·v0+mvcd,解得vcd=v0,选项D错误。
4.如图所示,两条平行光滑导轨相距L,水平导轨足够长,导轨电阻不计。水平轨道处在竖直向上的匀强磁场中,磁感应强度为B。金属棒b放在水平导轨上,金属棒a从斜轨上高h处自由滑下。已知金属棒a、b质量均为m,金属棒a、b电阻均为R,重力加速度为g,整个过程中金属棒a、b始终未相撞。求:
(1)金属棒b的最大加速度;
(2)金属棒a能产生的最大热量。
【答案】 (1)　(2)mgh
【解析】 (1)当金属棒a刚进入磁场时速度最大,产生的感应电动势最大,回路中感应电流最大,金属棒b所受安培力最大,加速度最大。设金属棒a刚进入磁场时的速度大小为v1,根据机械能守恒定律有mgh=m,
解得v1=;
此时金属棒a产生的感应电动势大小为E=BLv1=BL,
根据闭合电路欧姆定律可得此时回路中的感应电流大小为I==,
此时金属棒b所受安培力大小为F=ILB=,
根据牛顿第二定律可得金属棒b的最大加速度为a==。
(2)金属棒a和b组成的系统动量守恒,易知二者最终将以共同速度运动,设此速度大小
为v2,
根据动量守恒定律有mv1=2mv2,
解得v2==,
两金属棒电阻相同,通过的电流大小相等,所以产生的总焦耳热相同,根据能量守恒定律,
有2Q=mgh-×2m,
解得Q=mgh。
课时作业
(分值:50分)
基础巩固练
考点一　电磁感应中的能量问题
1.(4分)如图所示,固定在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为d,其右端接有阻值为R的电阻,整个装置处在方向竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中。一质量为m的导体杆ab垂直于导轨放置,且与两导轨保持良好接触,杆与导轨之间的动摩擦因数为μ。当杆在水平向左、垂直于杆的恒力F作用下从静止开始沿导轨运动距离L时,速度恰好达到最大(运动过程中杆始终与导轨保持垂直)。杆接入电路的电阻为r,导轨电阻不计,重力加速度为g。上述运动过程中(　　)
[A] 杆的速度最大值为
[B] 流过电阻R的电荷量为
[C] 恒力F做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量
[D] 恒力F做的功与安培力做的功之和等于杆动能的变化量
【答案】 B
【解析】 当杆达到最大速度vm时,拉力F与摩擦力和安培力相平衡,因此有F-μmg-
=0,解得vm=,故A错误;由q=可得,电荷量为q==,故B正确;在杆从开始至达到最大速度的过程中,由动能定理有 WF+Wf+W安=ΔEk,其中Wf<0,W安<0,可知恒力F做的功与摩擦力做的功之和大于杆动能的变化量,恒力F做的功与安培力做的功之和也大于杆动能的变化量,故C、D错误。
2.(4分)如图所示,两根足够长的光滑导轨固定竖直放置,间距为L,底端接阻值为R的电阻。将质量为m的金属棒悬挂在一固定的轻弹簧下端,金属棒和导轨接触良好,导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直,金属棒和导轨电阻不计,现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放(设当地重力加速度为g),则(　　)
[A] 释放瞬间金属棒的加速度小于重力加速度g
[B] 金属棒向下的最大速度为v时,所受弹簧弹力为F=mg-
[C] 金属棒向下运动时,流过电阻R的电流方向为a→b
[D] 电路中产生的总热量等于金属棒重力势能的减少量
【答案】 B
【解析】 释放瞬间金属棒的速度为零,没有感应电流产生,不受安培力,金属棒只受重力,所以金属棒的加速度为g,A错误;金属棒向下的速度最大时,加速度为零,回路中产生的感应电流为I=,安培力FA=ILB=,根据平衡条件知F+FA=mg,解得弹簧弹力F=mg-
,B正确;金属棒向下运动时切割磁感线,根据右手定则可知,流过电阻R的电流方向为b→a,C错误;由于金属棒产生感应电流,受到安培力的阻碍作用,系统的机械能不断减少,最终金属棒停止运动,此时弹簧具有一定的弹性势能,所以金属棒的重力势能转化为内能和弹簧的弹性势能,则根据能量守恒定律可知在金属棒运动的过程中,电阻R上产生的总热量等于金属棒的重力势能的减少量与最终弹簧的弹性势能之差,D错误。
考点二　电磁感应中的动量问题
3.(6分)(多选)如图所示,在光滑的水平面上有一方向竖直向下的有界匀强磁场。磁场区域的左侧,一正方形线框由位置Ⅰ以4.5 m/s的初速度垂直于磁场边界水平向右运动,线框经过位置Ⅱ,当运动到位置Ⅲ时速度恰为零,此时线框刚好有一半离开磁场区域。线框的边长小于磁场区域的宽度。若线框进、出磁场的过程中通过线框横截面的电荷量分别为q1、q2,线框经过位置Ⅱ时的速度为v。则下列说法正确的是(　　)
[A] q1=q2 [B] q1=2q2
[C] v=1.0 m/s [D] v=1.5 m/s
【答案】 BD
【解析】 根据q==可知,线框进、出磁场的过程中通过线框横截面的电荷量q1=2q2,故A错误,B正确;线圈从开始进入到位置Ⅱ,由动量定理-BLΔt1=mv-mv0,即-BLq1=
mv-mv0,同理线圈从位置Ⅱ到位置Ⅲ,由动量定理-BLΔt2=0-mv,即-BLq2=0-mv,联立解得v=v0=1.5 m/s,故C错误,D正确。
4.(4分)如图所示,平行光滑金属导轨固定在竖直面内,导轨间距为 1 m,上端连接阻值为
2 Ω的定值电阻,虚线的上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为2 T,质量为1 kg的导体棒套在金属导轨上与导轨接触良好,现给导体棒一个向上的初速度,当其刚好越过虚线时速度为20 m/s,导体棒运动到虚线上方1 m处速度减为零,此后导体棒向下运动,到达虚线前速度已经达到恒定,整个运动过程中导体棒始终保持水平。导轨和导体棒的电阻均忽略不计,重力加速度g取10 m/s2。下列说法不正确的是(　　)
[A] 导体棒的最大加速度为50 m/s2
[B] 导体棒上升过程中流过定值电阻的电荷量为4 C
[C] 导体棒下落到虚线时的速度大小为5 m/s
[D] 导体棒从越过虚线到运动到最高点所需的时间为1.8 s
【答案】 B
【解析】 根据法拉第电磁感应定律得E=BLv,根据闭合电路欧姆定律得I=,由牛顿第二定律可得mg+=mam,解得导体棒的最大加速度为 am=50 m/s2,A正确,不符合题意;导体棒上升过程中流过定值电阻的电荷量为q=Δt=Δt=Δt==1 C,B错误,符合题意;设导体棒下落到虚线时的速度大小为vm,则有mg=,解得vm=5 m/s,C正确,不符合题意;根据动量定理得 -mgΔt-BLΔt=0-mv,q=Δt,解得导体棒从越过虚线到运动到最高点所需的时间为Δt=1.8 s,D正确,不符合题意。
5.(6分)(多选)如图所示,水平面内固定有两根足够长的光滑平行金属导轨,导轨间距为l,电阻忽略不计。质量为m的导体棒MN与质量为3m的导体棒PQ均垂直于导轨静止放置,两导体棒接入电路的电阻均为R,相距为d。整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向下的匀强磁场中。现让MN棒以初速度v水平向左运动,直至最终达到稳定状态,导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好,则在此过程中(　　)
[A] 两导体棒组成的系统动量守恒
[B] 两导体棒在运动过程中任意时刻加速度均相同
[C] 整个运动过程中,MN棒上所产生的热量为
[D] 最终稳定时两导体棒间的距离为d+
【答案】 ACD
【解析】 流过两导体棒的电流大小相等、方向相反,则它们所受安培力大小相等、方向相反,故两导体棒组成的系统动量守恒,A正确;两导体棒在运动过程中仅受安培力,由于两导体棒质量不同,则加速度不同,B错误;根据动量守恒定律有mv=(m+3m)v共,根据能量守恒定律有mv2=(m+3m)+Q,两导体棒电阻相同,则整个运动过程中,MN棒上所产生的热量为Q′=,联立解得Q′=,C正确;整个过程中,通过MN的电荷量为 q=Δt=
Δt=Δt=,对MN,由动量定理有-BlΔt=mv共-mv,联立解得x=,最终稳定时两导体棒间的距离为s=d+,D正确。
能力提升练
6.(6分)(多选)如图所示正方形匀质刚性金属框(形变量忽略不计),边长为 L=0.1 m,质量为m=0.02 kg,电阻为R=0.4 Ω,距离金属框底边H=0.2 m处有一方向水平、垂直于纸面向里的匀强磁场。磁场区域上下边界水平,高度为L=0.1 m,左右宽度足够大。把金属框在竖直平面内以v0=2 m/s的初速度水平无旋转地向右抛出,设置合适的磁感应强度B的大小使金属框匀速通过磁场,不计空气阻力,重力加速度g取10 m/s2。下列说法正确的是(　　)
[A] 磁感应强度B大小为2 T
[B] 通过磁场的过程中,金属框中电流的大小不变,方向相反
[C] 通过磁场的过程中,克服安培力做功的功率P为0.2 W
[D] 调节H、v0和B,金属框仍能匀速通过磁场,则其通过磁场的过程中产生的热量Q为0.04 J
【答案】 ABD
【解析】 金属框水平方向上总感应电动势为零,只在竖直方向上产生感应电动势,金属框匀速通过磁场时,有 mg=F安,F安=BIL=,其中vy=,代入数据解得B=2 T,故A正确;由右手定则可知,刚进入磁场时,电流沿逆时针方向,出磁场时,电流沿顺时针方向,进出磁场时金属框竖直速度不变,则感应电流大小不变,故B正确;根据功能关系得,克服安培力做功W克安=2mgL,t=,P=,代入数据求得P=0.4 W,故C错误;根据能量守恒定律可知Q=mg·2L=0.04 J,故D正确。
7.(6分)(多选)如图,两条平行的金属导轨所在平面与水平面成一定夹角θ,间距为d。导轨上端与电容器连接,电容器电容为C。导轨下端与光滑水平直轨道通过绝缘小圆弧平滑连接,水平直轨道平行且间距也为d,左侧末端连接一阻值为R的定值电阻。导轨均处于匀强磁场中,磁感应强度大小均为B,方向分别垂直导轨所在平面。质量为m,电阻为r,宽度为d的金属棒MN从倾斜导轨某位置由静止释放,保证金属棒运动过程始终与平行导轨垂直且接触良好,金属棒下滑到两个轨道连接处时的速度刚好是v,重力加速度为g,忽略导轨电阻,水平导轨足够长。则下列说法正确的是(　　)
[A] 金属棒初始位置到水平轨道的高度为
[B] 电容器两极板携带的最大电荷量为CBdv
[C] 金属棒在水平轨道上运动时定值电阻产生的焦耳热为mv2
[D] 金属棒在水平轨道运动的最大位移为
【答案】 BD
【解析】 金属棒沿斜面下滑到底端时,重力势能转化为动能和电容器储存的电能(若倾斜导轨不光滑,还有摩擦生热),即由能量关系可知mgh=mv2+E电容,则金属棒初始位置到水平轨道的高度不等于,A错误;金属棒下滑到两个轨道连接处时的速度最大,此时电容器两端电压最大,最大值为Em=Bdv,则电容器两极板携带的最大电荷量为Q=CEm=CBdv,B正确;由能量关系可知,金属棒在水平轨道上运动时产生的焦耳热Q=mv2+E电,因金属棒有内阻,则定值电阻产生的焦耳热不等于mv2,C错误;由动量定理有 -BdΔt=0-mv,q=Δt=Δt=
,解得金属棒在水平轨道运动的最大位移x=,D正确。
8.(14分)如图所示,两平行光滑金属导轨AEC、A′E′C′ 的左端接有阻值为R的定值电阻,间距为L,其中AE、A′E′固定于同一水平面上且分别与竖直面内的四分之一光滑圆弧形导轨EC、E′C′相切于E、E′两点。正方形DEE′D′区域内存在磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场。导体棒ab的质量为m、电阻为R、长度为L,棒ab在功率恒定、方向水平向右的推力作用下由静止开始沿导轨运动,经时间t后撤去推力,然后棒ab与另一根相同的导体棒cd发生碰撞并粘在一起,以速率v进入磁场,两导体棒穿过磁场区域后,恰好能到达CC′处。重力加速度为g,导体棒运动过程中始终与导轨垂直且接触良好,不计导轨的电阻。求:
(1)该推力的功率P;
(2)两导体棒通过磁场右边界EE′时的速度大小v′;
(3)圆弧形导轨的半径r以及两导体棒穿过磁场的过程中定值电阻产生的焦耳热Q。
【答案】 (1)　(2)v- (3)-+　(2v-)
【解析】 (1)设两导体棒碰撞前瞬间,棒ab的速度大小为v0,在推力作用的过程中,由动能定理有Pt=m,
ab与cd碰后瞬间的速率为v,由动量守恒定律有mv0=2mv,
解得P=。
(2)设两导体棒从进入磁场至右边界EE′的时间为t,该过程回路中的平均电流为,由动量定理有-BLΔt=2mv′-2mv,
根据法拉第电磁感应定律和电路相关知识有q=Δt===,
解得v′=v-。
(3)对两导体棒沿圆弧形导轨上滑的过程,由机械能守恒定律有×2mv′2=2mgr,
解得r==,
整理可得r=-+,
经分析可知,两导体棒上产生的总焦耳热为,由能量守恒定律有Q+=×2mv2-×2mv′2,
解得Q=(2v-)。

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