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第十四章第三节 角的平分线
第十四章第三节 角的平分线
1、角平分线的定义
2、角平分线的性质定理
复习旧知
课题导入
一个关于角平分线的传说
第十四章第三节 角的平分线
第2课时 角的平分线判定
第2课时 角的平分线判定
探究新知
已 知：
求 证：
这个点在这个角的平分线上.
角的内部的一个点到这个角两边的距离相等.
命题互换
交换“角的平分线上的点到角两边的距离相等”的题设与结论，探究新命题是否成立。
验 证
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
提出猜想
角的内部到角两边距离相等的点，是否一定位于角的平分线上？
∵PD⊥OA，PE⊥OB，∴ ∠PDO =∠PEO = 90°.
已知：如图，P 为∠AOB 内部一点，PD⊥OA 于点 D，PE⊥OB 于点 E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上.
提示：可以通过添加辅助线，构造三角形来证明.
A
B
O
D
E
P
C
证明：如图，过点 P 作射线 OC.
OP = OP，
PD = PE，
∴Rt △OPD ≌ Rt△OPE（HL）
∴点 P 在∠AOB 的平分线上.
在 Rt△OPD 和 Rt△OPE 中，
∴∠AOC =∠BOC
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
角的平分线的判定定理
如图，点P在∠AOB内部，PC⊥OA于点C，PD⊥OB于点D，PC＝3 cm，当PD＝___cm时，点P在∠AOB的平分线上．
P
A
O
B
C
D
E
符号语言
∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上，即OP 平分∠AOB
3
巩固练习
例：如图，△ABC 的角平分线 BM，CN 相交于点 P. 求证：
点 P 到三边 AB，BC，CA 的距离相等；
△ABC 的三条角平分线交于一点.
C
A
B
M
N
P
提示：点 P 到边 AB，BC 的距离相等，点 P 到边AC，BC 的距离相等。要证△ABC 的三条角平分线交于一点，只要证点 P 也在∠A 的平分线上．
探究新知
C
A
B
M
N
P
E
F
D
证明：
(1) 过点 P 作 PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥CA，垂足分别为 D，E，F.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等 .
∵BM 是△ABC 的角平分线，
点 P 在 BM 上，
∴PD = PE.
同理 PE = PF.
∴ PD = PE = PF.
∴△ABC 的三条角平分线交于一点 .
(2) 由 (1) 得，点 P 到边 AB，CA 的距离相等，
∴点 P 在∠A 的平分线上 .
三角形的三条角平分线相交于一点，到三角形三条边的距离相等。
三角形三条角平分线的特性
到角两边距离相等的所有点的集合。
角平分线的集合定义
三条角平分线的交点，称为三角形的内切圆的圆心，简称“内心”。
内心定义
知识点 三角形三条角平分线的关系
1. 如图，AB⊥CD，CE⊥AD，垂足分别为 B，E，AB = CE，AB，CE 相交于点 F，连接 DF. 求证：FD 平分∠BFE.
教材P51 练习 第1题
C
A
B
D
E
F
证明：∵AB⊥CD，CE⊥AD，∴∠ABD =∠CED = 90°.
在△ABD 和△CED 中，
∠ADB =∠CDE，
∠ABD =∠CED，
AB = CE，
∴△ABD ≌△CED（AAS）
∴BD = ED.
又 AB⊥CD，CE⊥AD，
∴FD 平分∠BFE.
(2) 由(1)知 PH⊥AE，PJ⊥AD，且 PH = PJ，
∴点 P 在∠A 的平分线上.
教材P51练习 第2题
2：如图，已知△ABC ，BF 是△ABC的外角∠CBD 的平分线，CG 是△ABC 的外角∠BCE 的平分线，BF，CG 相交于点 P. 求证：
点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等；(2)点 P 在∠A 的平分线上.
C
A
B
D
E
F
G
P
J
I
H
证明：(1) 如图，过点 P 分别作 PJ，PI，PH 垂直于三边 AB，BC，AC 所在的直线，垂足分别为 J，I，H.
∵BF 是∠CBD 的平分线，点 P 在 BF 上，
∴PI = PJ.
同理，PH = PI，
∴PJ = PI = PH，
即点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等.
提炼归纳
角平分线的性质 角平分线的判定
图形
已知 条件
结论
PD⊥OA于点 D
PE⊥OB于点 E
OP 平分∠AOB
PD = PE
PD⊥OA 于点D
PE⊥OB 于点E
PD = PE
OP 平分∠AOB
3. 如图，△ABC 的三边 AB，AC，BC 的长分别是 5，7，9，其三条角平分线将△ABC 分成三个三角形，则 S△OAB : S△OAC : S△OBC =________.
5：7：9
B
A
C
O
拓展练分线判定内容
角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。
角平分线特性
三角形的三条内角平分线交于一点，且这点到三边距离相等。
角平分线判定作用
用于判断一个点是否在角的平分线上。
课堂小结
作业：习题14.3第3、5题
同学们，数学来源于生活，又服务于生活，就让我们带着智慧的双眼，去探索数学的下一个美吧！
寄语：

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