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第一章 三角形的证明
1.5.1角平分线导学案
学习目标与重难点
学习目标：
1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.并理解性质定理和判断定理是互逆定理。
2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.
3.能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.
学习重点：
正确证明角平分线性质定理及判定定理.
学习难点：
正确证明角平分线判定定理.
预习自测
知识链接
1、拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角。
折痕OC和∠AOB有什么关系？
折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。
折痕OC叫做∠AOB的角平分线。
2、画∠AOB的平分线
①、以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N
②、分别以M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧相交于C
③、连接OC，OC就是∠AOB的平分线
3、你能准确的说出角平分线的性质定理和判断定理
性质定理： .
判定定理： .
教学过程
探究一：证明性质定理
已知：如图 1-30，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠PDO=∠PEO=90 °
∵ ∠1=∠2，OP=OP，
∴ △PDO≌△PEO（ ）
∴ PD=PE（ ）.
【强调】
角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言
∵ OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E
　∴ PD=PE
探究二：证明判断定理
角平分线性质的逆定理是： .
已知：如图1-31 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：OP 平分∠AOB.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° .
∵ PD = PE，OP = OP，
∴Rt△DOP≌Rt△EO（HL）.
∴ ∠1 =∠2（ ）.
∴ OP 平分 ∠AOB.
【强调】：角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，
PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
例题1：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E， F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（ ）.
又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ ADE中， ∠AED=90°，AD=10，
∴AD= 2 ED= DE=10÷2=5（ ）.
例题2：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数
证明（1）：连接AD.
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC.
∵D是BC的中点，
∴AD平分∠BAC.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
（2）解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，
∴∠B＝50°.
∴∠C＝50°.
∴∠BAC＝80°.
例题3：.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC
证明：
∵DE是AB的垂直平分线
∴BE=AE
∴ ∠EBD= ∠ A= 30°
∵∠C＝90°,∠A=30°
∴∠ABC＝60°
∴∠CBE=∠ABC- ∠EBD ＝60°-30°=30°
∴∠CBE=∠EBD
∴BE平分∠ABC
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等 D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2.在△ABC中，AB=AC，∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠A= .
3.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是 ( )
A. 点M B. 点N C. 点P D. 点Q
4.【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为(　　)
A．3　 B．4 C．2　 D．6
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是(　　)
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
第3题 第4题 第5题
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠ABC的平分线； ②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④
A.1 B.2 C.3 D.4
能力提升：
7.如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于点D.下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．
其中正确的是(　　)
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①
8.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是(　　)
A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°
第6题 第7题 第8题
拓展迁移
9．如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：CE平分∠BCD；
(2)求证：AD+BC=CD．
10.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F．求证：点D到PE和PF的距离相等．
总结反思、拓展升华
1、角平行的尺规作图
2、角平分线的性质定理；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
3、角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
4、角平行的性质定理和判断定理是互逆定理。
五、【作业布置】
基础达标：
1．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠1＝30°，∠BAD的度数（　　）
A．20° B．30° C．60° D．120°
2．如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于（　 ）
A．5 B．4 C．3 D．2
第1题 第2题 第3题
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
4.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　　)
A．24 B．30 C．36 D．42
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是 .
第4题 第5题 第6题
6.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P,求证PA是∠CAB的平分线
能力提升：
7.如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（ ）处．
A．1 B．2 C．3 D．4
拓展迁移：
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：DC=DE；
（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
9.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
(1)如图1，若∠ABC=∠ADC=90°请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
(2)如图，若∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．
课堂作业参考答案
D
20°或100°
A
A
A
D
A
B
9、(1)证明：如图，作EM⊥CD垂足为M，
∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，
∴AE＝EM，
∵AE＝EB，
∴EM＝EB，
∵EB⊥BC，EM⊥CD，
∴EC平分∠BCD．
(2)在△BCE和△NCE中
BE=EM，EC=EC
∴△BCE≌△NCE
∴BC=CM
同理AD=DM
AD+BC=DM+CM=CD
∴AD+BC=CD
10、证明：∵PE//AB，∴∠BAD=∠EPD
∵PF//AC，∴∠CAD=∠FPD
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠CAD=∠BAD
∴∠EPD=∠FPD
∴PD∠EPF的角平分线
∴点D到PE和PF的距离相等．
课外作业参考答案
B
B
B
B
4
6、证明：过P分别向AB、BC、AC,作垂线，
交AB于F,交BC于H,交AC于M,如图，
∵BD是∠CBF的平分线
∴PH=PF
∵CE是∠BCM的平分线
∴PM=PH
∴PF=PM
PA是∠CAB的平分线
7、D
解答提示：根据角平分线上的点到角两边的距离相等，选择三角形的两个外角角平分线的交点即可达到度假村到三条公路距离相等，A、B、C区都能找到一个点。选择三角形内角平分线的交点，能找到一个点。故有4个地址可以选择。
8、（1）证明
∵∠CAD=∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线
DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=DC
（2）∵△ABC的面积等于6
∴
∵DE=DC
∴4×DE+5×DE=12
DE=
9、（1）AD、AB、AC之间的关系是AD+AB=AC
证明过程如下
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN
∴∠CAD=∠CAB=60°
又∵∠CDA=∠CBA=90°
∴∠ACD=∠ACB=30°
AC=2AD, AC=2AB
∴AD+AB=AC
（2）AD+AB=AC仍然成立，证明过程如下
过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F
∵AC平分∠MAN ∴CF=CE
∠ABC+∠ADC=180°,∠CDE+∠ADC=180°
∴∠CDE=∠ABC,∠CEA=∠CFB
∴△BCF≌△DCE
∴ED=BF
AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF
由(1)知AE+AF=AC
∴AD+AB=AC
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北师大版（2026）八年级数学下册第一章《三角形的证明》
5.1角平分线的性质定理和判断定理教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 一
课题 角平分线的性质定理和判断定理 课时 1
课标要求 掌握角平分线的性质定理和判断定理，并会证明角平分线的性质定理和逆定理。 能用性质定理解决线段相等的问题；能用判定定理解决角相等的问题
教材分析 《角平分线性质定理和逆定理》是北师大版八年级数学下册第一章《三角形的证明》的第五节第一课时，本节在学习了直角三角形全等的判定定理、线段的垂直平分线的性质和判定定理的基础上，进一步学分线的性质和判定定理及相关结论。在本章的前几节课，学生已经经历了构造一个命题的逆命题的过程，因此比较容易用类比的方法构造角平分线性质定理的逆命题。同时也体会到了证明的必要性，掌握了推理证明的基本要求和方法，能够用数学的符号语言正确表达定理或命题，明确每一步推理的依据并能比较准确地表达推理的过程.同时，也体会到归纳思想、类比思想、转化思想的应用。在上一课时中，学生已经掌握了线段垂直平分线的性质定理、判定定理及应用。本节课的主要任务是证明角的平分线性质定理和判断定理为第二课时探究“三角形三个内角的平分线相交于一点，并且这一点到三角形三边的距离都相等” 作准备。这一结论，就是九年级下册第三章《圆》中，三角形内切圆圆心的确定方法，为以后九年级的学习奠定了理论基础。
学情分析 1、学生已经在七年级学习了角平线的定义，并且经过折纸初步用操作的方法验证了角平分线的性质，同时前两节课学生学习了线段的垂直平分线的性质定理、判定定理和尺规作图，这些都为本节课打下了知识基础。2、八年级学生具有一定的观察、分析、概括能力，有着一定的学习经验及活动经验，形成了较好的参与和合作意识，能够在教师引导下进行合作探究；并且通过对上两节线段垂直平分线内容的学习，学生已经积累了如何证明一个命题的经验，并掌握了必要的证明方法。3、学生在证明角平分线性质定理和判断定理时不能完整、准确地写出已知和求证；学生角平分线性质定理和判断定理的证明过程时不能完整、准确地写出三角形全等的条件；学生在证明完角平分性质定理和判断定理后解决实际问题时仍然写出三角形全等的过程，忘记可以直接使用；针对这三方面的问题，教学时，教师应循序渐进地引导学生熟练掌握。
核心素养目标 1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.并理解性质定理和判断定理是互逆定理。2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.
教学重点 正确证明角平分线性质定理及判定定理.
教学难点 正确证明角平分线判定定理.
教学准备 课件、导学案
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角。折痕OC和∠AOB有什么关系？折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。折痕OC叫做∠AOB的角平分线。2、画∠AOB的平分线1、以O为圆心，任意长度为半径画弧，交OA于M，交OB于N2、分别以M、N为圆心，大于MN的一半为半径画弧，两弧相交于C连接OC，OC就是∠AOB的平分线3、你能准确的说出角平分线的性质定理和判断定理性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. PD=PE判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上 准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的判定定理作准备.用尺规画角平分线 直观感受，角平分线是一条从角的顶点引出的射线且位于角的内部.初步感知角平分线的性质定理和判断定理
二、探究 探究一：证明性质定理已知：如图 1-30，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.求证：PD=PE.证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，∴ ∠PDO=∠PEO=90 °∵ ∠1=∠2，OP=OP，∴ △PDO≌△PEO（AAS）∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）.小结角平分线性质定理角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 ∵ OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E　∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）探究二：证明判断定理你能写出这个定理的逆命题吗？在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.它是真命题吗已知：如图1-31 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.求证：OP 平分∠AOB.证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° .∵ PD = PE，OP = OP，∴Rt△DOP≌Rt△EO（HL）.∴ ∠1 =∠2（全等三角形的对应角相等）.∴ OP 平分 ∠AOB.小结：角平分线的判定定理在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.几何语言：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．角平分线的判定所具备的条件：1）位置关系：点在角的内部；2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 1学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.2、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了. 本探究活动目的是老师大胆放手给学生以更多的交流空间，进一体现学生的主体地位和老师的主导作用.对于学生来说，有一定的困难，需要教师进行点拨.该环节设置的目的在于让学生巩固基础的同时，增强运用知识的灵活性，帮助学生对新知识进行内化.
三、变式 例题1：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E， F，且DE=DF， ∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的 E 两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵ ∠BAC=60°， ∴ ∠BAD=30°. 在Rt △ ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴AD= 2 ED= DE=10÷2=5（在直角三角形中， 如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半）.例题2：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.(1)求证：DE＝DF；(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数（1）证明：连接AD.∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.∵D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.（2）解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，∴∠B＝50°.∴∠C＝50°.∴∠BAC＝80°.例题3：.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC证明：∵DE是AB的垂直平分线 ∴BE=AE∴ ∠EBD= ∠ A= 30°∵∠C＝90°,∠A=30°∴∠ABC＝60°∴∠CBE=∠ABC- ∠EBD ＝60°-30°=30°∴∠CBE=∠EBD∴BE平分∠ABC 1、关注学生能否积极参与练习.2、关注学生对基础知识的掌握情况.3、关注学生在学习活动是否感受到成功的快乐. 该环节设置的目的在于检验目标达成度、反馈学情.使更多的学生参与到学习中来，感受到成功的快乐.
四、尝试 基础达标：1．下列命题是真命题的是（　D　）A．同旁内角互补 B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形C．两边及一角对应相等的两个三角形全等D．角平分线上的点到角两边的距离相等2.在△ABC中，AB=AC，∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠A= 20°或100°.3.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是 ( A )A. 点MB. 点NC. 点PD. 点Q4.【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，则DE的长为(　A　)A．3　 B．4 C．2　 D．65.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是(　A　)A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm 第4题 第5题6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法中正确的个数是（ D ）①AD是∠ABC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④A.1 B.2 C.3 D.4能力提升：7.如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于点D.下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．其中正确的是(　A　)A．①②③ B．②③ C．①③ D．①8.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是(　B　)A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90° C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55° 第7题 第8题拓展迁移9．如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC．(1)求证：CE平分∠BCD；(2)求证：AD+BC=CD．(1)证明：如图，作EM⊥CD垂足为M，∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，∴AE＝EM，∵AE＝EB，∴EM＝EB，∵EB⊥BC，EM⊥CD，∴EC平分∠BCD．(2)在△BCE和△NCE中BE=EM，EC=EC∴△BCE≌△NCE∴BC=CM同理AD=DMAD+BC=DM+CM=CD∴AD+BC=CD10.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F．求证：点D到PE和PF的距离相等．证明：∵PE//AB，∴∠BAD=∠EPD∵PF//AC，∴∠CAD=∠FPD∵AD是∠BAC的角平分线∴∠CAD=∠BAD∴∠EPD=∠FPD∴PD∠EPF的角平分线∴点D到PE和PF的距离相等． 学生完成课堂练习 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
五、提升 1、角平行的尺规作图2、角平分线的性质定理；角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.3、角平分线的判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.4、角平行的性质定理和判断定理是互逆定理。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 角平分线性质定理：∵ OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E　 ∴ PD=PE判定定理：∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)． 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠1＝30°，∠BAD的度数（　B　）A．20°B．30°C．60°D．120°2．如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于（　B ）A．5 B．4 C．3 D．2 第1题 第2题 第3题3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　B　）A．15 B．30 C．45 D．604.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　B　)A．24 B．30 C．36 D．42如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是 4 .第4题 第5题 第6题 6.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P,求证PA是∠CAB的平分线证明：过P分别向AB、BC、AC,作垂线，交AB于F,交BC于H,交AC于M,如图，∵BD是∠CBF的平分线∴PH=PF∵CE是∠BCM的平分线∴PM=PH∴PF=PMPA是∠CAB的平分线能力提升：7.如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（ D ）处．A．1 B．2 C．3 D．4解答提示：根据角平分线上的点到角两边的距离相等，选择三角形的两个外角角平分线的交点即可达到度假村到三条公路距离相等，A、B、C区都能找到一个点。选择三角形内角平分线的交点，能找到一个点。故有4个地址可以选择。拓展迁移：8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．（1）求证：DC=DE；（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．（1）证明∵∠CAD=∠BAD，∴AD是∠BAC的平分线DE⊥AB，DC⊥AC∴DE=DC（2）∵△ABC的面积等于6 ∴ ∵DE=DC ∴4×DE+5×DE=12 DE=9.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．(1)如图1，若∠ABC=∠ADC=90°请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；(2)如图，若∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．（1）AD、AB、AC之间的关系是AD+AB=AC 证明过程如下 ∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN∴∠CAD=∠CAB=60°又∵∠CDA=∠CBA=90°∴∠ACD=∠ACB=30°AC=2AD, AC=2AB∴AD+AB=AC（2）AD+AB=AC仍然成立，证明过程如下 过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F∵AC平分∠MAN ∴CF=CE∠ABC+∠ADC=180°,∠CDE+∠ADC=180°∴∠CDE=∠ABC,∠CEA=∠CFB∴△BCF≌△DCE∴ED=BFAD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF由(1)知AE+AF=AC∴AD+AB=AC
教学反思
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学 科 数学 年 级 八年级 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2026） 册、章 下册第一单元
课标要求 本章是整个初中几何学习的核心枢纽，它将学生在七年级学习的“三角形”和八年级上册学习的“全等三角形”从直观感知、操作验证的阶段，提升到逻辑推理和演绎证明的严格阶段。本章的学习成果直接影响后续四边形、相似形以及圆的学习。章主要围绕以下几个核心知识点展开，课标要求如下：知识上，掌握 三角形内角和、等腰三角形、直角三角形、线段垂直平分线、角平分线的性质与判定定理，并能进行严格证明。能力上，重点培养和发展学生的 演绎推理能力 和 逻辑表达能力，养成言必有据的思维习惯。素养上，全面提升 逻辑推理 和 几何直观 核心素养，为后续学习四边形、圆等内容打下坚实的论证基础。
内容分析 本章主要内容包括：三角形内角和定理、等腰三角形的性质和判断、等边三角的性质和判断、直角三角形的性质和判断、线段的垂直平分线的性质和判断、角平分线的性质定理及其逆定理；反证法以及利用本章知识证明或解决实际问题。本章是平行线证明的继续，在平行线的证明中给出了一些基本事实，并从基本事实出发，证明了一些有关平行线的结论，利用这些基本事实和已经学过的定理还可以证明三角形的一些结论。三角形的证明是中考的必考内容，考察方式以填空、选择和中档解答题为主，主要考察等腰三角形、直角三角形的角的度数问题，边长的计算或证明角、线段相等或推导角之间的关系或线段之间的而关系。另外角平分线和垂直平分线也是常考题型。
学情分析 本章是八年级上册第七单元平行线的证明的继续，在平行线的证明中给出了8个基本事实，利用这些基本事实证明了一些数学结论，学生具备了一定知识能力，为本章学习奠定了基础。在此之前，学生对图像的性质及其相互关系进行了大量的探索，积累了一定的经验，具备了一定的推理能力，树立了初步的推理意识，从而为本章严格的证明有关三角形有关定理打下基础。
单元目标 1、掌握三角形内角和、外角定理及推论，并用于解决实际问题。2、掌握等腰三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“等边对等角”、“等角对等边”、“三线合一”（等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）。3、掌握等边三角形的性质（三个角都是60°）和判定（三个角都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）。4、掌握直角三角形的性质与判定：能够证明并熟练运用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，能够证明并熟练运用“勾股定理的逆定理”（即：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形）。5、了解反证法： 初步了解反证法的基本思路和步骤，并能用反证法证明简单的命题（如“两直线平行，同位角相等”的逆命题）。6、掌握线段垂直平分线与角平分线的性质与判定：能够证明并运用其性质（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等）和判定（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）。7、角平分线： 能够证明并运用其性质（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）和判定（到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上）。8、综合应用：能够综合运用本章及之前所学的定理进行几何计算和证明，解决简单的实际问题。能够规范地书写证明过程，做到逻辑清晰、步骤完整、依据明确。教学重点、难点重点1、三角形的内角和、外角定理及推论2、等腰三角形的性质和判断；3、直角三角形的性质和判断；4、线段的垂直平分线的性质和判断；5、角平分线的性质定理及其逆定理；难点等腰三角形的性质定理和判断定理的证明；用反证法证明利用尺规作等腰三角形和直角三角形。4、利用本章知识解决或证明有关几何的综合性问题
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01三角形内角和102三角形的外角10.3等腰三角形性质104等腰三角形判断105等边三角形106直角三角形的证明107直角三角形全等的判断108线段的垂直平分线性质定理与判断定理109尺规作图与三角形的垂直平分线110角平分线的性质定理和判断定理111三角形的角平分线112问题解决的策略--反思113回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务三角形内角和1、通过测量、折叠、拼接、作平行线等方法，探索和发现三角形内角和等于180°.2、会证明三角形内角和定理和运用定理解题。会用辅助线解决几何问题.3、通过三角形内角和定理的多种证明方法，形成独立思考，合作交流的学习模式，培养学生理性说理的能力.4、培养学生的创造性，体验解决问题的成就感，使学生感悟逻辑推理的数学价值.1、回顾初中数学8个基本事实。2、回顾三角形内角和的验证方法。3、利用添加辅助线的方法来推理验证三角形的内角和180°体会转化的数学思想。4、利用三角形内角和是180°和三角形全等的(ASA)通过推理得到三角形全等(ASA)的推理（AAS）5、完成课堂练习。6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究三角形内角和环节三；知识运用环节四：探究三角形全等的判断（AAS）环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业三角形的外角1、理解并掌握三角形的外角的概念．能够在能够复杂图形中找出外角.2、掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和.一个外角大于任何一个不相邻的内角。3、会利用三角形的外角性质解决问题.1、完成课前检测。2、问题思考，引入新课。3、活动感悟三角形外角的概念，理解外角的顶点和边的特征。4、利用三角形的内角和与邻补角探究内角和推论1。5、结合不等式知识探究内角和推论26、学习例题7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：课前检测环节二；问题导入环节三；探究三角形外角的定义环节四：探究内角和推论1环节五；探究内角和推论2环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业等腰三角形性质1、理解等腰三角形的基本定义：两腰相等的三角形称为等腰三角形。 2、掌握并证明等腰三角形的性质：等边对等角；等腰三角形顶角的角平分线、底边的中线、底边上的高重合（三线合一）。3、理解和掌握等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形三条边相等且每个内角均为60°4、能够利用等腰三角形的性质解决简单的几何问题，如计算角度大小、证明线段相等等1、知识回顾。2、用3种方法证明等腰三角形的性质“等边对等角”3、活动感悟等腰三角形顶角平分线、高线、底边中线三线合一4、利用三角形的内角和等腰三角形等边对等角探究等边三角形的每个内角均为60°5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；利用三种方法求证等腰三角形的等边对等角环节三：探究等腰三角形三线合一环节四；探究等边三角形的每个内角度数环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等腰三角形的判断1、理解并掌握等腰三角形的判断定理，能用文字语言、数学符号描述判定定理。2、能够区分等腰三角形的性质定理（等边对等角）和判定定理（等角对等边），明确它们是互为逆命题的关系。3、了解反证法，掌握反证法证题的过程。学会数学说理，发展初步的演绎推理能力。4、运用性质定理和判定定理进行简单的计算，解决相关的几何问题1、知识回顾。2、证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”3、活动感悟反证法4、利用反证法对命题进行证明5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；探究等腰三角形的判定定理环节三：探究反证法环节四；典例精析环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业等边三角形1、理解等边三角形的判别条件及其证明，理解含有30 角的直角三角形性质及其证明，并能利用这两个定理解决一些简单的问题.2、经历运用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维；经历实际操作，探索含有30 角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力.复习旧知，思考2个问题。2、证明等边三角形的判定定理1（三个角都相等的三角形是等边三角形）.3、证明等边三角形的判定定理2（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）.4、小结等边三角形的判断5、小组活动，用两个含30°角的全等的三角尺拼成一个等边三角形。6、猜想在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．7、利用三种方法证明在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二；问题导入环节三：探究等边三角形的判断定理环节四：探究在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形的判断1、掌握直角三角形的性质定理和判定定理，了解勾股定理的证明，理解勾股逆定理的证明方法，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。2、结合具体例子了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，知道原命题成立，其逆命题不一定成立．从而理解和掌握直角三角形性质定理和直角三角形的判断定理的互逆关系3、经历用几何符号和图形描述命题的条件和结论的过程，建立初步的符号感，发展抽象思维．掌握推理证明的方法，发展演绎推理的能力．1、回顾旧知2、用反证法证明反证法证明，直角三角形只有一个直角，钝角三角形只有一个钝角。3、证明直角三角形的性质定理1和2.4、 证明直角三角形的判断定理1和2.5、 归纳比较性质定理和判断定理。6、探究命题和逆命题。7、探究定理和逆定理。8、完成例题的学习9、完成课堂练习10、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的性质定理环节三：探究直角三角形的判断定理环节四：探究定理与逆定理。环节五；典例精析环节六：课堂练习环节七；课堂总结环节八；课外作业直角三角形全等的判断1、能够证明直角三角形全等的“HL”的判定定理，进一步理解证明的必要性。2、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。 经历探索直角三角形全等条件的过程，进一步掌握证明几何问题和解决简单实际问题 的方法。3、让学生理解事物的特殊与一般的关系，培养学生的思维品质及能力。通过“HL”定理的推导渗透变换的思想，培养学生一题多解的思维能力，体验数学推理证明的乐趣，获得成功的喜悦。1回顾已经学过的三角形全等的判断定理。完成课前检测题，导入新课。3、学生按要求画直角三角形。4、猜想、验证直角三角形斜边、直角定理（HL）。5、学习例题，先用直角三角形的判定定理“HL”证明两个直角三角形全等，然后根据全等三角形的性质解决直角三角形的边角关系。6、完成例题的学习7、完成课堂练习8、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究直角三角形的判断定理（HL）环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业线段的垂直平分线性质定理与判断定理1、 经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力。2、证明线段垂直平分线的性质定理，探索并证明线段垂直平分线的判定定理，进一步发展推理能力。3、能运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决问题。1、回归知识，2、证明线段的垂直平分线性质定理。3、用多种方法证明线段的垂直平分线的判定定理，4、学习例题5、完成例题的学习6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究线段的垂直平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业尺规作图与三角形的垂直平分线1.通过动手操作、尺规作图和理论证明，能探究出“三角形三边垂直平分线的性质”， 进一步发展学生的推理证明意识和能力,并会熟练应用来解决实际问题.2.借助线段垂直平分线的尺规作图，通过个人探究和小组交流，能准确作出符合条件的几何图形；体会转化的思想.1、回顾线段的垂直平分线的性质定理和判断定理，用数学语言描述垂直平分线定理。2、回顾线段的垂线平分线的作法。3、尺规准确作出符合条件的几何图形：已知直线（或线段）的垂线，口述作法。4、证明“三角形三条边的垂直平分线相交于一点, 并且这一点到三个顶点的距离相等.”5、线段的垂直平分线和角平分线的综合运用。6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究尺规作图环节三；探究三角形的垂直平分线环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业角平分线的性质定理和判断定理1.通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.并理解性质定理和判断定理是互逆定理。2.经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.3.能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.准确回忆角平分线的定义且领悟角平分线位于角的内部，为准确表述角平分线性质定理的判定定理作准备.用尺规画角平分线3、学生在探究和交流的过程中准确完整写出证明过程.4、学生对角平分线的性质定理、判定定理的几何语言的书写是否简洁明了.5、关注学生能否积极参与练习.学生对基础知识的掌握情况.6、完成课堂练习7、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：探究角平分线的性质定理和判定定理环节三；典例精析环节四：课堂练习环节五；课堂总结环节六；课外作业三角形的角平分线1.通过对角的平分线性质定理和判定定理的理解，能运用定理熟练推导出三角形中角平分线的性质.2. 能准确地说出三角形三边垂直平分线与角平分线交点性质的区别.3.通过小组成员的合作交流学习，学生能够运用角平分线的性质定理及判定定理，灵活解决实际问题． 学生独立回答角平分线的性质定理和判断定理。完成课本38页例题2的学习，学生独立思考问题导入，并上台展示自己的思路。4、作三角形的角平分线。5、猜测三角形三条角的平分线相交于一点。6、证明猜测7、课堂小结三角形角平分线的性质。8、合作探究三角形的垂直平分线和角平分线的不同的（注意不同类型的三角形）9、完成导入新课的问题。10、完成课堂练习11、进行课堂总结环节一：知识回顾环节二：课前检测环节三；问题导入环节四；探究新知环节五：课堂练习环节六；课堂总结环节七；课外作业问题解决的策略---反思1、通过对典型问题的回顾，掌握反思的具体方法（如检查结果、寻求多解、推广变式等）。2、经历“解题—回顾—评估—拓展”的过程，培养思维的批判性、灵活性和深刻性。3、养成严谨细致的数学学习习惯，体验从不同角度审视问题的乐趣，提升数学元认知能力。1、思考问题如何解决。2、小组探究一个梯子靠在墙上，梯子顶端下滑1米，梯子底端滑动多少米？3、自学第42页内容。4、小组合作完成三角形两边中线相等的三角形是等腰三角形的证明。5、完成课堂练习6、进行课堂总结环节一：问题导入环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四；课堂总结环节五；课外作业回顾与思考1．在回顾与思考中建立本章的知识框架图，复习有关定理的探索与证明，证明的思路和方法，尺规作图等.2．进一步体会证明的必要性，发展学生的初步的演绎推理能力；进一步掌握综合法的证明方法，提高学生用规范的数学语言表达论证过程的能力.3．通过积极参与数学学习活动，对数学的证明产生好奇心和求知欲，培养学生合作交流的能力，以及独立思考的良好学习习惯.1、展示课前布置的知识结构流程图（挑选具有代表意义的作品）.2、梳理知识点。3、完成相应练习4、学习例题5、完成相应的课堂练习，6、方法归纳.7、进行课堂总结.环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：考点讲练环节四；课堂总结环节五；课外作业
《三角形的证明》单元教学设计
活动一：知识回顾
活动二：探究三角形内角和
活动三：知识运用
任务一：三角形内角和
活动四：探究三角形全等的判断（AAS）
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：课前检测
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：课堂作业
任务二：三角形外角
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务三：等腰三角形性质
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务四：等腰三角形判断
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：问题导入
活动三：探究新知
活动四：典例精析
任务五：等边三角形
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：直角三角形的证明
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
三
角
形
的
证
明
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动四：课堂作业
任务七：直角三角形全等的判断
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
活动一：知识回顾
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务八：线段的垂直平分线的性质定理于判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
任务九：三角形的垂直平分线、尺规作图
活动六：课外作业
活动一：温故知新
活动二：探究角平分线性质、判断定理
活动三：典例精析
任务十：角平分线的性质定理和判断定理
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动一：知识回顾
活动二：探究尺规作图
活动三：探究三角形的垂直平分线
活动四：课堂作业
活动五：课堂总结
活动六：课外作业
三
角
形
的
证
明
活动一：温故知新
活动二：课前检测
活动三：问题导入
活动四：探究三角形角平分线性质
任务十一：三角形角平分线
活动五：课堂作业
活动六：课堂总结
活动七：课外作业
活动一：问题导入
活动二：探究新知
活动三：课堂作业
任务十二：问题解决的策略，
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
活动三：考点讲练
任务十三：回顾与思考
活动四：课堂总结
活动五：课外作业
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第一章 三角形的证明
1.5.1角平分线的性质定理和判断定理
01
教学目标
02
知识回顾
03
探究新知
04
典例精析
05
课堂练习
06
课堂总结
07
作业布置
01
教学目标
通过自主学习能够用数学语言描述角平分线的性质定理和判定定理.并理解性质定理和判断定理是互逆定理。
01
经历小组合作探究会证明角平分线的性质定理和判定定理.
02
能够灵活运用角平分线的性质定理和判定定理解决有关问题， 体会转化的思想.
03
02
复习导入
1、拿出课前准备的纸，在纸上任意画出一个角。
A
O
B
C
折痕OC和∠AOB有什么关系？
折痕OC把∠AOB分成两个相等的角∠AOC和∠BOC。
折痕OC叫做∠AOB的角平分线。
02
复习导入
2、画∠AOB的平分线
A
O
B
C
1,以O为圆心，任意长度为半径画弧，
交OA于M，交OB于N
2、分别以M、N为圆心，大于MN的
一半为半径画弧，两弧相交于C
连接OC，
OC就是∠AOB的平分线
M
N
02
复习导入
3.你能准确的说出角平分线的性质定理和判断定理
性质定理：角平分线上的点到这个角
的两边的距离相等. PD=PE
判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上
03
新知探究
已知：如图 1-30，OC 是∠AOB 的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，
PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
求证：PD=PE.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠PDO=∠PEO=90 ° .
∵ ∠1=∠2，OP=OP，
∴ △PDO≌△PEO（AAS）.
∴ PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
图1-30
探究一：证明性质定理
03
新知探究
角平分线性质定理
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等
几何语言
∵ OC是∠AOB的平分线，PD⊥OA 于D, PE⊥OB于E
　∴ PD=PE（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
03
新知探究
性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
你能写出这个定理的逆命题吗？
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
它是真命题吗？
探究二：证明判断定理
03
新知探究
已知：如图1-31 ，点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD=PE.
求证：OP 平分∠AOB.
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E，
∴ ∠ODP = ∠OEP = 90 ° .
∵ PD = PE，OP = OP，
∴ Rt△DOP≌Rt△EOP（HL）.
∴ ∠1 =∠2（全等三角形的对应角相等）.
∴ OP 平分 ∠AOB.
图1-31
03
新知探究
角平分线的判定定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
几何语言：
∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE,
∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)．
03
新知探究
角平分线的判定定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
角平分线的判定所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
知识要点1
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
角平分线性质定理
角平分线的判定
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
04
典例精析
例题1：在 △ABC 中，∠ BAC = 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且 DE = DF，求 DE 的长.
解： ∵DE ⊥ AB，DF ⊥ AC，垂足分别为E， F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的 E 两边距离相等的点在这个角的平分线上）. 又∵ ∠BAC=60°，
∴ ∠BAD=30°.
在Rt △ ADE中， ∠AED=90°，AD=10， ∴AD= 2 ED= DE=10÷2=5（在直角三角形中， 如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角 边等于斜边的一半）.
04
典例精析
例题2：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
（1）证明：连接AD.
∵∠B＝∠C，∴AB＝AC.
∵D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.
04
典例精析
例题2：如图，在△ABC中，∠B＝∠C，过BC的中点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F.
(1)求证：DE＝DF；
(2)若∠BDE＝40°，求∠BAC的度数．
（2）解：∵∠BDE＝40°，∠BED＝90°，
∴∠B＝50°.
∴∠C＝50°.
∴∠BAC＝80°.
04
典例精析
例题3：.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°,作AB的垂直平分线，交AB于点D，交AC于点E，连接BE，求证：BE平分∠ABC
证明：
∵DE是AB的垂直平分线 ∴BE=AE
∴ ∠EBD= ∠ A= 30°
∵∠C＝90°,∠A=30°
∴∠ABC＝60°
∴∠CBE=∠ABC- ∠EBD ＝60°-30°=30°
∴∠CBE∠EBD
∴BE平分∠ABC
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1．下列命题是真命题的是（　　）
A．同旁内角互补
B．任意一个等腰三角形一定是钝角三角形
C．两边及一角对应相等的两个三角形全等
D．角平分线上的点到角两边的距离相等
2.在△ABC中，AB=AC，∠B的角平分线与AC边所夹的锐角为60°，则∠A= .
20°或100°
D
3.在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是 ( )
A. 点M
B. 点N
C. 点P
D. 点Q
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
4.【中考·怀化】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足为点E，若BD＝3，
则DE的长为(　　)
A．3　 B．4 C．2　 D．6
5.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，若AB＝6 cm，则△DBE的周长是(　　)
A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm
A
A
6.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交B于点D，则下列说法中正确的个数是（ ）
①AD是∠ABC的平分线；
②∠ADC=60°；
③点D在AB的中垂线上；
④
A.1 B.2 C.3 D.4

04
课堂练习
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，已知AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE与CF相交于点D.下列结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．
其中正确的是(　　)
A．①②③ B．②③ C．①③ D．①
A
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
8.如图，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD.下列结论不正确的是(　　)
A．∠BAC＝70° B．∠DOC＝90°
C．∠BDC＝35° D．∠DAC＝55°
B
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
9．如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，点E为AB的中点，DE平分∠ADC．
(1)求证：CE平分∠BCD；
(2)求证：AD+BC=CD．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
(1)证明：如图，作EM⊥CD垂足为M，
∵ED平分∠ADM，EA⊥AD，EM⊥CD，
∴AE＝EM，
∵AE＝EB，
∴EM＝EB，
∵EB⊥BC，EM⊥CD，
∴EC平分∠BCD．
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
(2)在△BCE和△NCE中
BE=EM，EC=EC
∴△BCE≌△NCE
∴BC=CM
同理AD=DM
AD+BC=DM+CM=CD
∴AD+BC=CD
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
10.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，P是AD上的一点，PE//AB，交BC于点E，PF//AC，交BC于点F．求证：点D到PE和PF的距离相等．
证明：∵PE//AB，∴∠BAD=∠EPD
∵PF//AC，∴∠CAD=∠FPD
∵AD是∠BAC的角平分线
∴∠CAD=∠BAD
∴∠EPD=∠FPD
∴PD∠EPF的角平分线
∴点D到PE和PF的距离相等．
05
课堂小结
角平分线
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.
性质定理
在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.
判断定理
互 逆定理
1．如图AD是∠BAC的平分线，EF∥AC交AB于点E，交AD于点F，∠1＝30°，∠BAD的度数（　　）
A．20°B．30°C．60°D．120°
2．如图，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，DF⊥AB交AB于F，DE⊥DF交AC于E，若AE＝8，则DF等于（　　 ）
A．5 B．4 C．3 D．2
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
B
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积是（　　）
A．15 B．30 C．45 D．60
B
04
【知识技能类作业】必做题：
4.【中考·湖州】如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　　)
A．24 B．30 C．36 D．42
B
作业布置
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
5.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，S△ABC＝15，DE＝3，AB＝6，则AC长是___．
4
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
6.如图，△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P,
求证PA是∠CAB的平分线
证明：过P分别向AB、BC、AC,作垂线，
交AB于F,交BC于H,交AC于M,如图，
∵BD是∠CBF的平分线
∴PH=PF
∵CE是∠BCM的平分线
∴PM=PH
∴PF=PM
PA是∠CAB的平分线
F
H
M
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
7.如图，为了促进当地旅游发展，某地在三条公路附近修建一个度假村，要使这个度假村到三条公路距离相等，则可以选择的地址有（ ）处．A．1 B．2 C．3 D．4
D
解答提示：根据角平分线上的点到角两边的距离相等，
选择三角形的两个外角角平分线的交点即可达到度假
村到三条公路距离相等，A、B、C区都能找到一个点。
选择三角形内角平分线的交点，能找到一个点。
故有4个地址可以选择。
A区
B区
C区
06
作业布置
【综合拓展类作业】
8.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠CAD=∠BAD，DE⊥AB于E，点F在边AC上．
（1）求证：DC=DE；
（2）若AC=4，AB=5，且△ABC的面积等于6，求DE的长．
（1）证明
∵∠CAD=∠BAD，
∴AD是∠BAC的平分线
DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE=DC
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）∵△ABC的面积等于6
∴
∵DE=DC
∴4×DE+5×DE=12
DE=
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，点B、D分别在AN、AM上．
(1)如图1，若∠ABC=∠ADC=90°请你探索线段AD、AB、AC之间的数量关系，并证明之；
(2)如图，若∠ABC+∠ADC=180°，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由．


06
作业布置
【综合拓展类作业】
（1）AD、AB、AC之间的关系是AD+AB=AC
证明过程如下
∵∠MAN=120°，AC平分∠MAN
∴∠CAD=∠CAB=60°
又∵∠CDA=∠CBA=90°
∴∠ACD=∠ACB=30°
AC=2AD, AC=2AB
∴AD+AB=AC
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）AD+AB=AC仍然成立，证明过程如下
过点C分别作AM、AN的垂线，垂足分别为E、F
∵AC平分∠MAN ∴CF=CE
∠ABC+∠ADC=180°,∠CDE+∠ADC=180°
∴∠CDE=∠ABC,∠CEA=∠CFB
∴△BCF≌△DCE
∴ED=BF
AD+AB=AE-ED+AF+FB=AE+AF
由(1)知AE+AF=AC
∴AD+AB=AC
Thanks!
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