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综合与实践 最短路径问题
数学人教版八年级上册
1. 能利用轴对称、平移等变化解决简单的最短路径问题.
2. 体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟转化思想．
我们学过的最短有什么呢？
一、学习目标
本节课我们就要将最短路径问题转化成“两点之间，线段最短”的问题。
复习1：如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？
A
B
①
②
③
路线②最短
因为两点之间，线段最短.
二、复习导入
复习2：如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？
P
l
A
B
C
D
PC 最短，因为垂线段最短.
复习3：在我们前面的学习中，还有哪些涉及比较线段大小的基本事实？
三角形三边关系：两边之和大于第三边；
直角三角形中边的关系：斜边大于直角边.
复习4：如图，如何作点 A 关于直线 l 的对称点？
A
l
A′
引例 在直线 l 上找到一点C，使得CA+CB最短？
A
l
B
C
引例 在直线 l 上找到一点C，使得CA+CB最短？
A
l
B
C
依据：
两点之间，线段最短。
作法：
连接 AB，与直线 l 相交于点 C，点 C 即为所求.
有关“两点间的所有连线中，线段最短”“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称之为最短路径问题.
现实生活中经常涉及选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史上著名的“牧马人饮马问题”及“造桥选址问题”.
A
B
①
②
③
P
l
A
B
C
D
相传古希腊亚历山大城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦。有一天，一位将军专程拜访海伦，请教一个百思不得其解的问题：将军每天从图中的军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的B地开会，应该怎样走才能使路程最短？
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”。
B
A
三、典型例题1---将军饮马问题
你能将这个问题抽象为数学问题吗？
(1)这是一个实际问题，你打算首先做什么？
(2)你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
如图，牧马人从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？
B
l
A
实际问题
抽象成
A
B
l
数学问题
C
？
(1)如图所示，将A，B 两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线.
(2)在直线l上是否存在一点C，满足AC+BC的值最小？
作图问题：在直线 l 上求作一点 C，使 AC+BC 最短.
实际问题：从A 地到C饮马，再到B 地的路程之和
AC+BC的线段和问题
当C直线l上运动时，C在什么位置时，AC+BC的和最小？
B
·
·
A
l
C
回忆引例 现在假设点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？
A
l
B
C
根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点 C 即为所求.
连接 AB，与直线 l 相交于点 C.
挑战 如果点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，又应该如何解决？
想一想：对于问题 2，如何将点B“移”到 l 的另一侧 B′ 处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB′ 的长度相等？
A
B
l
利用轴对称，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B′.
B
′
方法揭晓
作法：
(1) 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′；
(2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求．
A
B
l
B′
C
再来挑战　你能用所学的知识证明 AC + BC 最短吗？
需要证明AC + BC＜AC′ + BC′
证明：如图，在直线l上任取一点C′(与点 C 不重合)，连接AC′，BC′，B′C′，由轴对称的性质可知：
BC = B′C，BC′ = B′C′．
∴ AC + BC = AC + B′C = AB′，
AC′ + BC′ = AC′ + B′C′．
在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′
∴ AC + BC＜AC′ + BC′
　 即 AC + BC 最短．
A
B
l
B′
C
C′
练一练1：如图，直线 l 是一条河，P、Q 是两个村庄.欲在 l 上的某处修建一个水泵站，向 P、Q 两地供水，现有如下四种铺设方案，图中实线表示铺设的管道，则所需要管道最短的是（ ）
D
P
Q
l
A
M
P
Q
l
B
M
P
Q
l
C
M
P
Q
l
D
M
练一练2：如图，小瑞同学需要在田地A点挖红薯，然后走到田坎上（直线l）上喝水，最后走到田地B点挖红薯，为了节省时间，挖到更多红薯，需要走的路程最短，请你为小瑞同学设计喝水的地方并写出结论．
解：作点A关于直线l的对称点C，
连接BC，
直线BC与直线l的交点D即为喝水的地方．
D
C
练一练3：如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中 BC、AB边的中点，AD=5，点F是AD边上的动点，则BF+EF 的最小值为 。
思路：
∵△ABC 为等边三角形，点 D 是 BC 边的中点
∴点 B 与点 C 关于直线 AD 对称
∴BF = CF
∴BF + EF 的最小值可转化为 CF + EF 的最小值∴连接 CE ，CE 的长即为 BF + EF 的最小值
又∵D、E是等边三角形ABC中BC、AB边的中点
∴CE=AD=5
方法总结：此类求线段和的最小值问题，找准对称点是关键，利用轴对称转移线段，将问题转化为“两点之间，线段最短”的问题.
练一练4：如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为(1，4) 和 (3，0)，点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A，B，C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时点 C 的坐标是（ ）
A．(0，3) B．(0，2)
C．(0，1) D．(0，0)
解析：作 B 点关于 y 轴对称点 B′，连接 AB′，
交 y 轴于点 C′，此时△ABC 的周长最小. 然后依据点 A 与点 B′ 的坐标可得到 B′E、AE 的长，再证明△B′OC′ 为等腰直角三角形即可得出，答案A.
B′
C′
E
练一练5：如图，已知两点P、Q在锐角∠AOB内，分别在OA、OB上求作点M、N，使PM+MN+NQ最短．
解：作点P关于直线OA的对称点P′，
连接P′Q′分别交OA，OB于点M、N，
则点M、点N即为所求.
Q′
P′
M
N
作点Q关于直线OB的对称点Q′，
情景拓展
如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径。
1.过点A作关于线段MN的对称点A',过点B作关于直线l的对称点B'
2.连接A'B'，分别交MN、l于点E、F，连接AE、BF；
3.线段AE、EF、FB即所求的最短路径.
解题思路
小结
点在直线同侧
两点一线型
点在直线异侧
B
l
A
C
B′
A
B
l
C
最短路径问题：
依据：两点之间，线段最短
关键：利用轴对称实现线段的转移
思路：区分哪些是定点，哪些是动点，哪条直线是对称轴
如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN，桥造在何处可使从A和B的路径AMNB最短（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）？
三、典型例题2---造桥选址问题
B
A
A
B
N
M
B
A
●
●

N
M
N
M
N
M
折
移
假定任选位置造桥 MN，连接 AM 和 BN，从 A 到 B 的路径是 AM + MN + BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？
河岸宽度是固定的，即MN固定，所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小。
我们能否在不改变 AM + MN + BN 的前提下将问题转化为研究过的问题呢？你能想到什么样的图形变化呢？
思维火花
（轴对称，平移等），
A′
将AM沿与河岸垂直的方向平移，
点M移动到点N，点A移动到A′.
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AN′+NB最小
则：AA′=MN，
AN′=AM，
AM+NB=AN′+NB
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
N
A′
N′
M′
连接A′B，交直线b于点N.
点 N 即为所求.
桥去哪儿了呢？
N
A′
N′
M′
M
连接A′B，交直线b于点N.
点 N 即为所求.
问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，A′N+NB最小？
N
A′
2. 连接A′B，交直线b于点N，点 N 即为所求.
1. 将A沿与河岸垂直的方向平移到A′，使得AA′的长度等于桥长.
M
作法：
3. 过 N 作NM⊥a于M，线段MN即为桥的位置.
a
b
规范作法
关键是将固定线段“桥”平移，利用平移实现线段的转移，构造平行四边形.
当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
A′
当点N在直线b的什么位置时，AM+NB最小？
转化1：
当点N在直线b的什么位置时， A′N+NB最小？
转化2：
利用平移，实现线段的转移.
把已知问题转化成容易解决的问题.
造桥选址问题总结
N
A′
N′
M′
M
只需证明：
AM+MN+NBAM+NBA′N+NB< A′N′+N′B.
由两点之间，线段最短可证.
如何证明这条路径AMNB最短？
思考
只需证明：
只需证明：
a
b
a
b
如何证明这条路径AMNB最短？
思考
N
A′
N′
M′
M
a
b
a
b
由平移性质可知，AM=A′N，AM′=A′N′.
AM+NB=A′N +NB=A′B
AM′+N′B=A′N′+N′B.
由两点之间，线段最短可知：
A′B即AM+NB< AM′+N′B
即AM+MN+NB< AM′+M′N′+N′B.
理由：任作一个桥M′N′ ，连接AM′，A′N′，N′B
已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．
哪些点是定点？
哪些点是动点？
思考：
问题转化为：当点Q在什么位置时，AP+PQ+QB+BA最小．
练习
问题是否可以简化？
思考：
问题转化为：当点Q在什么位置时，AP+QB最小．
通过哪种图形的变化（轴对称，平移等），可以将问题转化为研究过的问题呢？
思考：
问题转化为：当点Q在什么位置时，AP+QB最小．
A′
将AP沿直线l的方向平移，
点A移动到A′，点P移动到点Q.
则：AP=A′Q.
问题转化为：当点Q在什么位置时，A′Q+QB最小.
问题转化为：当点Q在什么位置时，A′Q+QB最小．
A′
A′′
Q
′
′
作A′关于直线l的对称点A′′
连接A′′B，与直线l交于一点
点Q即为所求.
怎么求点P？
在点Q左侧取点P，使得PQ=a
此时四边形APQB的周长最小．
已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上求作两点P，Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，使得四边形APQB的周长最小．
A′
A′′
Q
P
1. 将点A沿直线l的方向平移A′，使得AA′=a.
2. 作A′关于直线l的对称点A′′
3. 连接A′′B，与直线l交于一点，点Q即为所求
4. 在点Q左侧取点P，使得PQ=a，点P即为所求.
作法：
练习
此时四边形APQB的周长最小．
四、当堂检测
1. 如图，边长为 1 的正方形组成的网格中，△AOB 的顶点均在格点上，点 A、B 的坐标分别
是 A(3，2)，B(1，3)．
点 P 在 x 轴上，当 PA
+ PB 的值最小时，在
图中画出点 P．
x
y
O
B
A
B'
P
·
·
2. 如图，荆州古城河在 CC′ 处直角转弯，河宽相同，从A 处到 B 处，须经两座桥：DD′，EE′ (桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西、
南北方向的，怎样架桥可
使 ADD′E′EB 的路程最短？
A
D
D′
C
C′
E
E′
B
解：作 AF⊥CD，且 AF = 河宽，作 BG⊥CE，且 BG = 河宽，连接 GF，与内河岸相交于 E′，D′. 过 E′，D′ 作河岸的垂线段 DD′，EE′ 即为桥.
理由：由平移的性质可知，
AD∥FD′，AD = FD′.
同理，BE = GE′.
由两点之间线段最短可知，
GF 最小.
A
D′
C
C′
E
E′
B
F
G
D
3.（1）如图①，在 AB 直线一侧 C、D 两点，在 AB 上找一点 P，使 C、D、P 三点组成的三角形的周长最短，找出此点，并说明理由；
A
B
C
D
C'
P
图①
（2）如图②，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由；
P
O
A
B
P'
P''
E
F
图②
（3）如图③，在∠AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、M、N 四点组成的四边形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由．
M'
N'
E
F
图③
N
O
A
B
M
五、课堂总结
（将实际问题中的“村庄，河”抽象成“点、线”，将实际问题抽象成线段和最小的问题，将线段和最小的问题抽象成“两点之间、线段最短”的问题，）
最短路径问题
解题方法
造桥选址问题
关键是将固定线段“桥”平移
轴对称知识 + 线段知识
解题方法

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