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第23讲　一般离散型随机变量的分布列、期望与方差
基础回归
经典回眸
1．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答错误得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值的个数是(　D　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 依题意知每题回答正确得100分，回答错误得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的可能取值为300，100，－100，－300，共4种情况．
2．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且2m＋n=1.2，则m－n=(　D　)
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A．－0.2 B．0.4
C．0.2 D．0
【解析】 由分布列的性质可得0.1＋m＋n＋0.1=1，即m＋n=0.8.因为2m＋n=1.2，所以m=n=0.4，所以m－n=0.
3．2024年5月，中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》(5枚)、《鄱阳湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为X，则E(X)=(　A　)
A． B．
C．1 D．
【解析】 依题意，X的可能取值有0，1，2，则P(X=0)==，P(X=1)==，P(X=2)==，故E(X)=0×＋1×＋2×=．
4．某一射手射击所得环数ξ的分布列如下表：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21
则P(ξ≤8)=(　B　)
A．0.58 B．0.5
C．0.29 D．0.21
【解析】 由题意可得0.02＋0.05＋0.06＋0.08＋2m＋0.21=1，解得m=0.29，则P(ξ≤8)=1－P(ξ＞8)=1－0.29－0.21=0.5.
5．已知某随机变量X的方差D(X)=1， 则D(2X＋1)=(　D　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 因为D(X)=1，所以D(2X＋1)=4D(X)=4.
6．设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(1≤X≤4，k∈Z)，则P(2＜X≤4)=　0.7　．
【解析】 由题意可知=1，解得a=5，所以P(X=k)=，所以P(2＜X≤4)=P(X=3)＋P(X=4)=＋==0.7.
要点梳理
1．离散型随机变量的分布列及性质
(1) 若离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率分别为p1，p2，…，pn，则下表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列．
(2) 离散型随机变量分布列的性质：
①　pi≥0(i=1，2，3，…，n)　；
②　p1＋p2＋…＋pn=1　；
③P(xi≤X≤xj)=pi＋pi＋1＋…＋pj．
2．离散型随机变量的期望与方差
(1) 期望
E(X)=x1p1＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
(2) 方差
D(X)=[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn叫做这个离散型随机变量X的方差．方差反映了离散型随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小(离散程度)．
3．若X为随机变量，a，b为常数，则E(aX＋b)=aE(X)＋b，D(aX＋b)=a2D(X)，D(X)=E(X2)－[E(X)]2.
举题固法
一般离散型随机变量的期望与方差
例 1　(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答．若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1) 若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
【解答】 由题可知，X的所有可能取值为0，20，100，P(X=0)=1－0.8=0.2，P(X=20)=0.8×(1－0.6)=0.32，P(X=100)=0.6×0.8=0.48，所以X的分布列为
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
【解答】 由(1)知E(X)=0×0.2＋20×0.32＋100×0.48=54.4.若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y=0)=1－0.6=0.4，P(Y=80)=0.6×(1－0.8)=0.12，P(Y=100)=0.8×0.6=0.48，所以E(Y)=0×0.4＋80×0.12＋100×0.48=57.6.因为54.4＜57.6，所以小明应选择先回答B类问题．
变式 1　(2025·汕头三模)2024年10月30日，我国“神舟十九号”载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，，，，，且各题是否答对互不影响．
(1) 若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；
【解答】 用Mi(i=1，2，3，4，5)表示张某第i道题答对，用(i=1，2，3，4，5)表示张某第i道题答错，由题意得P(M1)=，P(M2)=，P(M3)=，P(M4)=，P(M5)=，记“张某得到直升卡”为事件K，则P(K)=P(M1M2M3M4)＋P(M2M3M4M5)=×××＋××××=．即张某得到直升卡的概率为．
(2) 记张某初赛结束时已答题的个数为X，求X的分布列及数学期望．
【解答】 由题可得X的可能取值为2，3，4，5，P(X=2)=×=，P(X=3)=××=，P(X=4)=×××＋×××=，P(X=5)=1－－－=，则X的分布列为
X 2 3 4 5
P
所以E(X)=2×＋3×＋4×＋5×=．
期望与方差的性质
例 2　(1) (多选)已知两个离散型随机变量ξ，η，满足η=3ξ＋1，其中ξ的分布列如下：
ξ 1 2 3
P a b
其中a，b为非负数．若E(ξ)=，D(ξ)=，则(　AD　)
A．a= B．b=
C．E(η)=5 D．D(η)=5
【解析】 对于A，B，由分布列的性质，可得a＋b＋=1①，因为E(ξ)=，所以1×a＋2×b＋3×=②，联立①②解得a=，b=，故A正确，B错误；对于C，D，因为η=3ξ＋1，所以E(η)=3E(ξ)＋1=6，D(η)=9D(ξ)=9×=5，故C错误，D正确．
(2) (多选)已知正数a，b，c成等差数列，且随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a b c
则下列选项正确的是(　BCD　)
A．b=
B．a＋c=
C．＜E(X)＜
D．D(X)的最大值为
【解析】 对于A，B，由已知得解得故A错误，B正确．对于C，由a＋c=，a＞0，c＞0，得0＜c＜，则0＜2c＜．又b=，则E(X)=a＋2b＋3c=2c＋∈，故C正确．对于D，D(X)=a2＋2＋c2=2＋2＋c2=－4c2＋c＋=－42＋，当c=时，D(X)取得最大值，且最大值为，故D正确．
1．求随机变量η=aξ＋b的均值的方法
(1) 定义法：先列出η的分布列，再求均值．
(2) 性质法：直接套用公式E(η)=E(aξ＋b)=aE(ξ)＋b求解即可．
2．方差性质应用的关注点
(1) 公式：D(aX＋b)=a2D(X)．
(2) 优势：既避免了求随机变量Y=aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程．
变式 2　(多选)若随机变量ξ的分布列如下表：
ξ －1 0 1 2
P 2a a 2a b
则下列选项正确的是(　BD　)
A．2a＋b=1 B．E(ξ)=2b
C．D(ξ)=4a－b2 D．D(ξ)的最大值为
【解析】 由题意得2a＋a＋2a＋b=1，得a=(1－b)，故A错误；E(ξ)=－1×2a＋0＋1×2a＋2b=2b，故B正确；由题知随机变量ξ2的分布列为
ξ2 0 1 4
P a 4a b
所以D(ξ)=pi)－2=0×a＋1×4a＋4×b－(2b)2=4(a＋b－b2)，故C错误；因为a=(1－b)，0＜b＜1，所以D(ξ)=4(a＋b－b2)=－4=－42＋，当b=时，D(ξ)取得最大值，故D正确．
生产生活中的预测与决策问题
例 3　(2025·郑州三模)某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态(正常/故障)高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下：
触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布
正常 25台 正常 450台
故障 475台 故障 50台
运维单台服务器时，可选操作及经济损失(单位：千元)如下：
状态/操作 保持运行 快速诊断 深度检修
正常 0 1 3
故障 10 4 6
假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立．
(1) 若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率．
【解答】 设“服务器触发警报时其处于故障状态”为事件A，“服务器未触发警报时其处于故障状态”为事件B．由题意可知，n(Ω)=500，n(A)=475，由古典概型知识可知，P(A)===0.95.
(2) 某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器．现有三种操作方案：
方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行；
方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行；
方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断．
从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案最优．
【解答】 因为P(A)=0.95，所以P()=1－P(A)=0.05.又n(B)=50，所以P(B)===0.1，所以P()=1－P(B)=0.9.方案甲：触发警报的服务器深度检修的经济损失的数学期望为E1=0.95×6＋0.05×3=5.85(千元)，未触发警报的服务器保持运行的经济损失的数学期望为E2=10×0.1＋0×0.9=1(千元)，所以E甲=E1＋E2=6.85(千元)．方案乙：触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为E3=0.95×4＋0.05×1=3.85(千元)，所以E乙=E2＋E3=1＋3.85=4.85(千元)．方案丙：未触发警报的服务器快速诊断的经济损失的数学期望为E4=0.1×4＋0.9×1=1.3(千元)，所以E丙=E1＋E4=5.85＋1.3=7.15(千元)．因为E乙＜E甲＜E丙，所以方案乙最优．
随机变量的期望和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
配套热练
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
若Y=X＋2，则D(Y)=(　D　)
A．1 B．
C． D．
【解析】 由X的分布列得E(X)=(－1)×＋0×＋1×=－，D(X)=2×＋2×＋2×=．又Y=X＋2，所以D(Y)=D(X)=．
2．(多选)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则下列结论正确的是(　BD　)
X －2 1 3
P 2a a
A．a= B．E(X)=0
C．D(2X)=9 D．P=
【解析】 对于A，由分布列的性质可得2a＋＋a=1，解得a=，故A错误；对于B，E(X)=－2×＋1×＋3×=0，故B正确；对于C，D(X)=(－2－0)2×＋(1－0)2×＋(3－0)2×=，所以D(2X)=4D(X)=18，故C错误；对于D，P=P(X=1)＋P(X=3)=，故D正确．
3．(多选)已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为Y，则(　BD　)
A．P(X=2)= B．P(Y＜3)=
C．E(X)＞E(Y) D．D(X)＜D(Y)
【解析】 对于A，记正四面体骰子向下的数字为X，当X=2时，对应的概率为P(X=2)=，故A错误．对于B，记正六面体骰子向上的数字为Y，其中Y＜3时，即Y=1，Y=2，则P(Y＜3)=P(Y=1)＋P(Y=2)=＋=，故B正确．对于C，D，X的分布列为
X 1 2 3 4
P
则E(X)=1×＋2×＋3×＋4×=，且D(X)=E(X2)－2=12×＋22×＋32×＋42×－2=；Y的分布列为
Y 1 2 3 4 5 6
P
则E(Y)=1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×=，且D(Y)=E(Y2)－2=12×＋22×＋32×＋42×＋52×＋62×－2=，所以E(X)＜E(Y)，D(X)＜D(Y)，故C错误，D正确．
4．已知一批产品中次品率为5%，随机抽取一件，定义X=则D(X)=　　．
【解析】 由题意知P(X=1)=，P(X=0)=，可得X的分布列为
X 1 0
P
故E(X)=1×＋0×=，D(X)=×2＋×2=．
5．从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E(X)=　8　．
【解析】 从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张卡片有(1，2)，(1，3)，(2，3)，(1，5)，(2，5)，(3，5)，(1，9)，(2，9)，(3，9)，(5，9)，共10种，其中2张卡片上的数字之和分别为3，4，5，6，7，8，10，11，12，14，P(X=3)=P(X=4)=P(X=5)=P(X=6)=P(X=7)=P(X=8)=P(X=10)=P(X=11)=P(X=12)=P(X=14)=，所以E(X)=×(3＋4＋5＋6＋7＋8＋10＋11＋12＋14)=8.
6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局，且每一局比赛甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终比赛的局数，若0＜p≤，则E(X)的最大值为　　．
【解析】 依题可知，随机变量X的所有可能取值为2，3，P(X=2)=p2＋(1－p)2=2p2－2p＋1，P(X=3)=p2(1－p)＋(1－p)2p=2p－2p2，所以E(X)=2(2p2－2p＋1)＋3(2p－2p2)=－2p2＋2p＋2=－22＋，而0＜p≤，所以当p=时，E(X)的最大值为．
7．(2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．
(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p；
【解答】 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p==．
(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；
【解答】 设事件A为“从甲校抽取1人做对”，则P(A)=0.8，P()=0.2.设事件B为“从乙校抽取1人做对”，则P(B)=0.75，P()=0.25.设事件C为“恰有1人做对”，则P(C)=P(A)＋P(B)=P(A)P()＋P()P(B)=0.35.依题可知，X可取0，1，2，P(X=0)=0.2×0.25=0.05，P(X=1)=P(C)=0.35，P(X=2)=0.8×0.75=0.6，故X的分布列为
X 0 1 2
P 0.05 0.35 0.6
故E(X)=0×0.05＋1×0.35＋2×0.6=1.55.
(3) 假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%．设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小(结论不要求证明)．
【解答】 设事件D为“甲校掌握这个知识点的学生做该题”，因为甲校掌握这个知识点的学生有100%的概率做对该题目，未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个，所以P(D)＋[1－P(D)]=0.8，即p1＋(1－p1)=0.8，解得p1=，同理有0.85p2＋(1－p2)=0.75，解得p2=，故p1＜p2.
8．(2025·莆田二模)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响．
(1) 已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6.某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7.
①求测试结果为语音识别成功的概率；
②已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率．
【解答】 ①记事件A是“当天处于安静环境”，则是“当天处于嘈杂环境”，记事件B是“语音识别成功”，所以P(B)=P(B|A)P(A)＋P(B|)P()=0.9×0.3＋0.6×0.7=0.69.
②已知测试结果为语音识别成功，则当天处于安静环境的概率P(A|B)====．
(2) 已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案，方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2，则再测试2次，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？
【解答】 设方案一和方案二的测试次数分别为X，Y，方案一：测试4次，则E(X)=4；方案二：Y可取3，5，则P(Y=3)=0.8×0.8×0.8=0.512，P(Y=5)=1－0.8×0.8×0.8=0.488，所以E(Y)=3×0.512＋5×0.488=3.976.因为E(X)＞E(Y)，即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二．
9．(2024·北京卷)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元，前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立，用频率估计概率．
(1) 估计一份保单索赔次数不少于2的概率．
【解答】 设事件A为“随机抽取一单，赔偿不少于2次”，由题设中的统计数据可得P(A)==．
(2) 一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
①记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；
②如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望E(Y)估计值与①中E(X)估计值的大小．(结论不要求证明)
【解答】 ①设ξ为赔付金额，则ξ的可能取值为0，0.8，1.6，2.4，3，由题设中的统计数据可得P(ξ=0)==，P(ξ=0.8)==，P(ξ=1.6)==，P(ξ=2.4)==，P(ξ=3)==，则E(ξ)=0×＋0.8×＋1.6×＋2.4×＋3×=0.278(万元)，故E(X)=0.4－0.278=0.122(万元)．
②由题知调整后的保费变为0.4××96%＋0.4××1.2=0.403 2(万元)，故E(Y)=0.403 2－0.278=0.125 2(万元)，从而E(X)＜E(Y)．
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基础回归
经典回眸
1．在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答错误得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值的个数是(　 　)
A．1 B．2
C．3 D．4
2．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且2m＋n=1.2，则m－n=(　 　)
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
A．－0.2 B．0.4
C．0.2 D．0
3．2024年5月，中国邮政发行了《巢湖》特种邮票3枚，巢湖是继《太湖》(5枚)、《鄱阳湖》(3枚)、《洞庭湖》(4枚)后，第四个登上特种邮票的五大淡水湖．现从15枚邮票中随机抽取2枚，记抽取邮票《巢湖》的枚数为X，则E(X)=(　 　)
A． B．
C．1 D．
4．某一射手射击所得环数ξ的分布列如下表：
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21
则P(ξ≤8)=(　 　)
A．0.58 B．0.5
C．0.29 D．0.21
5．已知某随机变量X的方差D(X)=1， 则D(2X＋1)=(　 　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6．设随机变量X的概率分布为P(X=k)=(1≤X≤4，k∈Z)，则P(2＜X≤4)=　 　．
要点梳理
1．离散型随机变量的分布列及性质
(1) 若离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i=1，2，…，n)的概率分别为p1，p2，…，pn，则下表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列．
(2) 离散型随机变量分布列的性质：
①　 　；
②　 　；
③P(xi≤X≤xj)=pi＋pi＋1＋…＋pj．
2．离散型随机变量的期望与方差
(1) 期望
E(X)=x1p1＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)．期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
(2) 方差
D(X)=[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn叫做这个离散型随机变量X的方差．方差反映了离散型随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小(离散程度)．
3．若X为随机变量，a，b为常数，则E(aX＋b)=aE(X)＋b，D(aX＋b)=a2D(X)，D(X)=E(X2)－[E(X)]2.
举题固法
一般离散型随机变量的期望与方差
例 1　(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答．若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1) 若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
(2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
变式 1　(2025·汕头三模)2024年10月30日，我国“神舟十九号”载人飞船顺利升空，并与中国空间站成功对接．为弘扬航天精神，某大学举办了一次“逐梦星辰大海——航天杯”知识竞赛．竞赛分为初赛和决赛，初赛规则为：每位参赛者依次回答5道题，连续答错2道题或5道题都答完，则比赛结束．假定大学生张某答对这5道题的概率依次为，，，，，且各题是否答对互不影响．
(1) 若至少连续答对4道题，可得到一张直升卡，直接进入决赛，求张某得到直升卡的概率；
(2) 记张某初赛结束时已答题的个数为X，求X的分布列及数学期望．
期望与方差的性质
例 2　(1) (多选)已知两个离散型随机变量ξ，η，满足η=3ξ＋1，其中ξ的分布列如下：
ξ 1 2 3
P a b
其中a，b为非负数．若E(ξ)=，D(ξ)=，则(　 　)
A．a= B．b=
C．E(η)=5 D．D(η)=5
(2) (多选)已知正数a，b，c成等差数列，且随机变量X的分布列为
X 1 2 3
P a b c
则下列选项正确的是(　 　)
A．b=
B．a＋c=
C．＜E(X)＜
D．D(X)的最大值为
1．求随机变量η=aξ＋b的均值的方法
(1) 定义法：先列出η的分布列，再求均值．
(2) 性质法：直接套用公式E(η)=E(aξ＋b)=aE(ξ)＋b求解即可．
2．方差性质应用的关注点
(1) 公式：D(aX＋b)=a2D(X)．
(2) 优势：既避免了求随机变量Y=aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程．
变式 2　(多选)若随机变量ξ的分布列如下表：
ξ －1 0 1 2
P 2a a 2a b
则下列选项正确的是(　 　)
A．2a＋b=1 B．E(ξ)=2b
C．D(ξ)=4a－b2 D．D(ξ)的最大值为
生产生活中的预测与决策问题
例 3　(2025·郑州三模)某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态(正常/故障)高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下：
触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布
正常 25台 正常 450台
故障 475台 故障 50台
运维单台服务器时，可选操作及经济损失(单位：千元)如下：
状态/操作 保持运行 快速诊断 深度检修
正常 0 1 3
故障 10 4 6
假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立．
(1) 若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率．
(2) 某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器．现有三种操作方案：
方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行；
方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行；
方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断．
从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案最优．
随机变量的期望和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
配套热练
1．已知离散型随机变量X的分布列为
X －1 0 1
P
若Y=X＋2，则D(Y)=(　 　)
A．1 B．
C． D．
2．(多选)已知离散型随机变量X的分布列如下表所示，则下列结论正确的是(　 　)
X －2 1 3
P 2a a
A．a= B．E(X)=0
C．D(2X)=9 D．P=
3．(多选)已知正四面体骰子的四个面分别标有数字1，2，3，4，正六面体骰子的六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6，抛掷一枚正四面体骰子，记向下的数字为X，抛掷一枚正六面体骰子，记向上的数字为Y，则(　 　)
A．P(X=2)= B．P(Y＜3)=
C．E(X)＞E(Y) D．D(X)＜D(Y)
4．已知一批产品中次品率为5%，随机抽取一件，定义X=则D(X)=　 　．
5．从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E(X)=　 　．
6．甲、乙两人进行乒乓球比赛，现采用三局两胜制，规定每一局比赛都没有平局，且每一局比赛甲赢的概率都是p，随机变量X表示最终比赛的局数，若0＜p≤，则E(X)的最大值为　 　．
7．(2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．
(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p；
(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；
(3) 假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%．设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小(结论不要求证明)．
8．(2025·莆田二模)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响．
(1) 已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6.某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7.
①求测试结果为语音识别成功的概率；
②已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率．
(2) 已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案，方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2，则再测试2次，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？
9．(2024·北京卷)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
假设：一份保单的保费为0.4万元，前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立，用频率估计概率．
(1) 估计一份保单索赔次数不少于2的概率．
(2) 一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
①记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；
②如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望E(Y)估计值与①中E(X)估计值的大小．(结论不要求证明)
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专题五
统计与概率
第23讲　一般离散型随机变量的分布列、期望与方差
基础回归
1．
在一次比赛中，需回答三个问题，比赛规定：每题回答正确得100分，回答错误得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的所有可能取值的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
D
依题意知每题回答正确得100分，回答错误得－100分，则选手甲回答这三个问题的总得分ξ的可能取值为300，100，－100，－300，共4种情况．
【解析】
2．
已知随机变量ξ的分布列如下表所示，且2m＋n=1.2，则m－n= (　　)
A．－0.2 B．0.4
C．0.2 D．0
D
由分布列的性质可得0.1＋m＋n＋0.1=1，即m＋n=0.8.因为2m＋n=1.2，所以m=n=0.4，所以m－n=0.
【解析】
ξ 0 1 2 3
P 0.1 m n 0.1
3．
A
【解析】
4．
某一射手射击所得环数ξ的分布列如下表：
则P(ξ≤8)= (　　)
A．0.58 B．0.5
C．0.29 D．0.21
B
由题意可得0.02＋0.05＋0.06＋0.08＋2m＋0.21=1，解得m=0.29，则P(ξ≤8) =1－P(ξ＞8)=1－0.29－0.21=0.5.
【解析】
ξ 4 5 6 7 8 9 10
P 0.02 0.05 0.06 0.08 m m 0.21
5．
已知某随机变量X的方差D(X)=1， 则D(2X＋1)= (　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
D
因为D(X)=1，所以D(2X＋1)=4D(X)=4.
【解析】
6．
0.7
【解析】
1．离散型随机变量的分布列及性质
(1) 若离散型随机变量X的所有可能取值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i= 1，2，…，n)的概率分别为p1，p2，…，pn，则下表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布或称为离散型随机变量X的分布列．
(2) 离散型随机变量分布列的性质：
①_________________________；
②___________________；
③P(xi≤X≤xj)=pi＋pi＋1＋…＋pj．
pi≥0(i=1，2，3，…，n)
p1＋p2＋…＋pn=1
2．离散型随机变量的期望与方差
(1) 期望
E(X)=x1p1＋x2p2＋…＋xnpn叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望).期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．
(2) 方差
D(X)=[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn叫做这个离散型随机变量X的方差．方差反映了离散型随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小(离散程度).
3．若X为随机变量，a，b为常数，则E(aX＋b)=aE(X)＋b，D(aX＋b)=a2D(X)，D(X) =E(X2)－[E(X)]2.
举题固法
一般离散型随机变量的期望与方差
目标
1
(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答．若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(1) 若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；
1
由题可知，X的所有可能取值为0，20，100，P(X=0)=1－0.8=0.2，P(X=20)= 0.8×(1－0.6)= 0.32，P(X=100)=0.6×0.8=0.48，所以X的分布列为
【解答】
X 0 20 100
P 0.2 0.32 0.48
(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答．若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
(2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
1
由(1)知E(X)=0×0.2＋20×0.32＋100×0.48=54.4.
若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y=0)=1－0.6=0.4，P(Y=80)=0.6×(1－0.8)=0.12，P(Y=100)=0.8×0.6=0.48，所以E(Y)=0×0.4＋80×0.12＋100×0.48=57.6.
因为54.4＜57.6，所以小明应选择先回答B类问题．
【解答】
变式1　
【解答】
变式1　
【解答】
X 2 3 4 5
P
期望与方差的性质
目标
2
AD
2
【解析】
ξ 1 2 3
P a b
X 1 2 3
P a b c
【答案】BCD
【解析】
1．求随机变量η=aξ＋b的均值的方法
(1) 定义法：先列出η的分布列，再求均值．
(2) 性质法：直接套用公式E(η)=E(aξ＋b)=aE(ξ)＋b求解即可．
2．方差性质应用的关注点
(1) 公式：D(aX＋b)=a2D(X)．
(2) 优势：既避免了求随机变量Y=aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程．
变式2　
ξ －1 0 1 2
P 2a a 2a b
【答案】BD
【解析】
ξ2 0 1 4
P a 4a b
生产生活中的预测与决策问题
目标
3
(2025·郑州三模)某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服
3
触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布
正常 25台 正常 450台
故障 475台 故障 50台
运维单台服务器时，可选操作及经济损失(单位：千元)如下：
状态/操作 保持运行 快速诊断 深度检修
正常 0 1 3
故障 10 4 6
假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立．
(1) 若服务器触发高温警报，求其处于故障状态的概率．
务器是否触发“高温异常”警报.历史数据表明，警报与服务器状态(正常/故障)高度相关.从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如右.
【解答】
(2025·郑州三模)某云计算平台部署了多台同型号服务器，运维系统会检测服务器是否触发“高温异常”警报．历史数据表明，警报与服务器状态(正常/故障)高度相关．从触发警报和未触发警报的数据中各随机抽取500条，统计如下：
3
触发警报时状态分布 未触发警报时状态分布
正常 25台 正常 450台
故障 475台 故障 50台
状态/操作 保持运行 快速诊断 深度检修
正常 0 1 3
故障 10 4 6
运维单台服务器时，可选操作及经济损失(单位：千元)如右：
假设用频率估计概率，各服务器状态相互独立．
(2) 某次维护中，发现1台触发警报的服务器和1台未触发警报的服务器．现有三种操作方案：
方案甲：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的保持运行；
方案乙：触发警报的服务器快速诊断，未触发警报的保持运行；
方案丙：触发警报的服务器深度检修，未触发警报的快速诊断．
从总经济损失期望最小的角度，判断哪种方案最优．
【解答】
随机变量的期望和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．
热练
1．
D
【解析】
X －1 0 1
P
2．
X －2 1 3
P 2a a
【答案】BD
【解析】
3．
【解析】
【答案】BD
对于C，D，X的分布列为
X 1 2 3 4
P
Y 1 2 3 4 5 6
P
4．
【解析】
X 1 0
P
5．
从分别写有数字1，2，3，5，9的5张卡片中任取2张，设这2张卡片上的数字之和为X，则E(X)=_____．
8
【解析】
6．
【解析】
7．
(2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．
(1) 估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率p；
【解答】
7．
(2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．
(2) 从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计X=1的概率及X的数学期望；
【解答】
故E(X)=0×0.05＋1×0.35＋2×0.6=1.55.
X 0 1 2
P 0.05 0.35 0.6
7．
(2025·北京卷)某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试．为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率．
(3) 假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为100%，乙校学生选择正确的概率为85%．设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为p1，p2，判断p1与p2的大小(结论不要求证明)．
【解答】
8．
(2025·莆田二模)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响．
(1) 已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6.某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7.
①求测试结果为语音识别成功的概率；
【解答】
8．
(2025·莆田二模)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响．
(1) 已知在安静环境下，语音识别成功的概率为0.9；在嘈杂环境下，语音识别成功的概率为0.6.某天进行测试，已知当天处于安静环境的概率为0.3，处于嘈杂环境的概率为0.7.
②已知测试结果为语音识别成功，求当天处于安静环境的概率．
【解答】
8．
(2025·莆田二模)在某人工智能的语音识别系统开发中，每次测试语音识别成功的概率受环境条件(安静或嘈杂)的影响．
(2) 已知当前每次测试成功的概率为0.8，每次测试成本固定，现有两种测试方案，方案一：测试4次；方案二：先测试3次，如果这3次中成功次数小于等于2，则再测试2次，否则不再测试．为降低测试成本，以测试次数的期望值大小为决策依据，应选择哪种方案？
设方案一和方案二的测试次数分别为X，Y，
方案一：测试4次，则E(X)=4；
方案二：Y可取3，5，则P(Y=3)=0.8×0.8×0.8=0.512，P(Y=5)=1－0.8×0.8×0.8= 0.488，所以E(Y)=3×0.512＋5×0.488=3.976.
因为E(X)＞E(Y)，即方案一测试次数的期望值大于方案二测试次数的期望值，所以应选择方案二．
【解答】
9．
(2024·北京卷)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理
这些保单的索赔情况，获得数据如右表：
假设：一份保单的保费为0.4万元，前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立，用频率估计概率．
(1) 估计一份保单索赔次数不少于2的概率．
【解答】
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
9．
(2024·北京卷)某保险公司为了了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同险期限届满的保单中随机抽取1 000份，记录并整理
这些保单的索赔情况，获得数据如右表：
假设：一份保单的保费为0.4万元，前3次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立，用频率估计概率．
(2) 一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．
①记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望E(X)；
②如果无索赔的保单的保费减少4%，有索赔的保单的保费增加20%，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望E(Y)估计值与①中E(X)估计值的大小．(结论不要求证明)
赔偿次数 0 1 2 3 4
单数 800 100 60 30 10
【解答】

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