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第21讲　计数原理与古典概型
基础回归
经典回眸
1．(2023·全国乙卷理)甲、乙两名同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　 　)
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
2．(2023·全国甲卷文)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　 　)
A． B．
C． D．
(2023·新高考Ⅰ卷)某校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 　 种．
(用数字作答)
5．(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为　 　．
6．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有　 　种．
要点梳理
1．(1) 排列数公式：=　 　= 　(n，m∈N*，且m≤n)；
(2) 组合数公式：=　 　=(n，m∈N*，且m≤n)．
2．古典概型
(1) 特点
①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．
(2) 计算公式：P(A)=　 　．
举题固法
排列与组合
例 1　(1) (2025·黄山二模)某单位在“五一”假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班(每天只需1人值班)，不出现同一人连续值班2天，则共有　 　种不同的安排方法．
(2025·景德镇二模)小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色(有一种颜色是黑色)的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有　 种．
(用数字作答)
解决排列与组合问题的“四项基本原则”
(1) 特殊优先原则：若问题中有特殊元素或特殊位置，则优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
(2) 先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3) 正难则反原则：当直接求解较困难时，采用间接法解决问题．
(4) 先分组后分配原则：在分配问题中，如果被分配的元素多于位置，那么要先进行分组，再进行分配．
1．(2023·全国甲卷理)有5名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的方法种数为(　 　)
A．120 B．60
C．40 D．30
2．(2025·马鞍山二模)如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色(全部用完)对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为　 　．(用数字作答)
3．(2025·厦门四模)A，B，C，D四个人排成一排，当A，B相邻时，A必须在B的右边，那么不同的排法共有　 　种．
4．(2025·郑州三模)河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝(每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食)．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为　 　．
古典概型
例 2　(1) (2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　 　)
A． B．
C． D．
(2) (2025·郑州二检)某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为(　 　)
A． B．
C． D．
样本点个数的确定方法
(1) 列举法；
(2) 树状图法；
(3) 运用排列组合的知识．
提醒：在确定样本点时，有时(x，y)可看成是有序的，有时也可看成是无序的，具体问题具体分析．
1．(2025·苏州期末)现有标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲、乙两人随机依次从中各抽取两张，则仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为(　 　)
A． B．
C． D．
2．有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2025·茂名一模)在一个箱子中放5个白球，3个红球，摇匀后采用不放回方式随机摸球3次，每次一个，第3次摸到红球的概率是(　 　)
A． B．
C． D．
4．(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　 　．
配套热练
1．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　 　)
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
2．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　 　)
A． B．
C． D．
3．(2025·佛山二模)学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为(　 　)
A． B．
C． D．
4．(2025·南京期初)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)，甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为(　 　)
A．4 B．6
C．8 D．12
5．某中学新开设文学社、街舞社、话剧社、天文社和棋社五个社团，甲同学准备和另外3名同学一同去参加这五个社团中的某一社团，则甲同学参加文学社且4人中恰有两人参加同一社团的概率为(　 　)
A． B．
C． D．
6．如图，16颗黑色围棋子构成4×4的正方形网格，从其中任选3颗互相连线，可以围成不同的三角形的个数为(两个三角形中至少有一个顶点不同即认为是不同的三角形)(　 　)
A．576 B．528
C．520 D．516
7．(2025·湛江期末)《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有(　 　)
A．715种 B．572种
C．312种 D．286种
8．(多选)某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以A，B，C，D，E，F，G，H区分，现安排专家发言顺序，则(　 　)
A．F专家和C专家发言中间必须间隔1个人，共有种排法
B．E专家和G专家发言不相邻，共有种排法
C．A，B，C三位专家的发言必须相邻，共有720种排法
D．D专家不第一个发言，H专家不最后一个发言，共有(＋)种排法
9．(2025·永州模拟)(多选)2025年春节档共上映6部电影，全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录．其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座．小数想要观看这6部电影，(　 　)
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
10．(2025·厦门二模)在中秋放假期间，要从7人中选若干人在3天假期值班(每天只需1人值班)，不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有　 　种．
11．(2025·湛江二模)4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有　 　种．
12．(2025·广州一模)将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有　 　种．
13．(2025·广州二模)一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为　 　．
14．有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同的分配方案有　 　种．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第21讲　计数原理与古典概型
基础回归
经典回眸
1．(2023·全国乙卷理)甲、乙两名同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有(　C　)
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
【解析】 首先确定相同的读物，共有种情况，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，则共有·=120(种)选法．
2．(2023·全国甲卷文)某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有=6(个)，其中这2名学生来自不同年级的基本事件有=4(个)，所以这2名学生来自不同年级的概率为=．
3．(2024·全国甲卷)甲、乙、丙、丁四人排成一列，则丙不在排头，且甲或乙在排尾的概率是(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 方法一：画出树状图，如图，由树状图可得，甲、乙、丙、丁四人排成一列，共有24种排法，其中丙不在排头，且甲或乙在排尾的排法共有8种，故所求概率P==．
方法二：当甲排在排尾，乙排第一位，丙有2种排法，丁就1种，共2种；当甲排在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1种排法，丁就1种，共2种，于是甲排在排尾共4种方法．同理乙排在排尾共4种方法，于是共8种排法符合题意．基本事件总数为=24，根据古典概型的计算公式，丙不在排头，甲或乙在排尾的概率为=．
4．(2023·新高考Ⅰ卷)某校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有　64　种．(用数字作答)
【解析】 当从8门课中选修2门，则不同的选课方案共有=16种．当从8门课中选修3门，①若体育类选修1门课，则不同的选课方案共有=24种；②若体育类选修2门课，则不同的选课方案共有=24种．综上所述，不同的选课方案共有16＋24＋24=64(种)．
5．(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为　288　．
【解析】 先选两位家长排在首尾有=12种排法，再排剩下的四人有=24种排法，故共有12×24=288种排法．
6．高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有　90　种．
【解析】 根据题意，分2步进行分析：将5名交警分成1，2，2的三组，有=15种分组方法；将分好的三组全排列，对应3个路口，有=6种情况，则共有15×6=90种分配方案．
要点梳理
1．(1) 排列数公式：=　n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)　=　　(n，m∈N*，且m≤n)；
(2) 组合数公式：=　　=(n，m∈N*，且m≤n)．
2．古典概型
(1) 特点
①有限性：在一次试验中所有可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件．
②等可能性：每个基本事件出现的可能性是均等的．
(2) 计算公式：P(A)=　　．
举题固法
排列与组合
例 1　(1) (2025·黄山二模)某单位在“五一”假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班(每天只需1人值班)，不出现同一人连续值班2天，则共有　1 280　种不同的安排方法．
【解析】 根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；第二天不能选第一天值班的人，所以有4种选法；第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；第四天也不能选第三天值班的人，有4种选法；第五天不能选第四天值班的人，有4种选法．综上，共有5×4×4×4×4=1 280种不同的安排方法．
(2) (2025·景德镇二模)小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色(有一种颜色是黑色)的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有　1 890　种．(用数字作答)
【解析】 若仅小崔选了黑色，则有=630种选法；若仅小汪选了黑色，同理也有=630种选法；若两人都没有选择黑色，则有=630种选法．故共有1 890种选法．
解决排列与组合问题的“四项基本原则”
(1) 特殊优先原则：若问题中有特殊元素或特殊位置，则优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
(2) 先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3) 正难则反原则：当直接求解较困难时，采用间接法解决问题．
(4) 先分组后分配原则：在分配问题中，如果被分配的元素多于位置，那么要先进行分组，再进行分配．
1．(2023·全国甲卷理)有5名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的方法种数为(　B　)
A．120 B．60
C．40 D．30
【解析】 不妨记5名志愿者为a，b，c，d，e，假设a连续参加了两天社区服务，再从剩余的4人中抽取2人分别参加星期六与星期天的社区服务，共有=12种方法．同理，b，c，d，e连续参加了两天社区服务，也各有12种方法．所以恰有1人连续参加了两天社区服务的方法种数为5×12=60.
2．(2025·马鞍山二模)如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色(全部用完)对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为　12　．(用数字作答)
【解析】 若AD同色，3种颜色全部用完，有=6种涂色方法；若BC同色，3种颜色全部用完，有=6种涂色方法．故共有6＋6=12种不同的涂色方法．
3．(2025·厦门四模)A，B，C，D四个人排成一排，当A，B相邻时，A必须在B的右边，那么不同的排法共有　18　种．
【解析】 当A，B不相邻时，采用插空法，先排其余两人再让A，B插空，共有=12种排法；当A，B相邻时，将A，B看作一个整体，并且A在B的右边，相当于3个人排队，则不同的排法有=6种．故共有12＋6=18种不同的排法．
4．(2025·郑州三模)河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝(每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食)．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为　450　．
【解析】 ①按照1＋2＋3分配的选法种数为×××=6×10×1×6=360.②按照2＋2＋2分配的选法种数为×=×6=90.故总的选法种数为360＋90=450.
古典概型
例 2　(1) (2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙两人每人抽取1个主题的所有结果如下表：
乙 甲 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
共有36个不同结果，它们等可能，其中甲、乙抽到相同主题有(1，1)，(2，2)，(3，3)，(4，4)，(5，5)，(6，6)，共6个，因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，故所求概率P==．
(2) (2025·郑州二检)某高校计划安排甲、乙、丙、丁、戊、己6名教师到4所不同的高中学校进行宣讲，每个学校至少安排1人，其中甲、乙必须安排在同一个学校的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 先将这6名教师分成四组，再分配到不同的学校，若教师人数分组为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为=480；若教师人数分组为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为=1 080，故不同的安排方法共有480＋1 080=1 560种．当甲、乙安排在同一个学校时，若教师人数分组为3，1，1，1，则不同的安排方法种数为=96；若教师人数分组为2，2，1，1，则不同的安排方法种数为=144，故不同的安排方法共有96＋144=240种．所以所求事件的概率为=．
样本点个数的确定方法
(1) 列举法；
(2) 树状图法；
(3) 运用排列组合的知识．
提醒：在确定样本点时，有时(x，y)可看成是有序的，有时也可看成是无序的，具体问题具体分析．
1．(2025·苏州期末)现有标号为1，2，3，4，5的五张卡片，甲、乙两人随机依次从中各抽取两张，则仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 从标号为1，2，3，4，5的五张卡片中，甲抽取两张卡片有种，乙抽取两张卡片有种，所以共有=30种不同的取法，仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的取法为：甲抽(1，5)时，乙可抽(2，3)与(3，4)两种，甲抽(2，4)时，乙可抽(1，3)与(3，5)两种，所以共有4种不同的抽法，所以仅有甲抽到的卡片上数字之和为6的概率为=．
2．有4个外包装相同的盒子，其中2个盒子分别装有1个白球，另外2个盒子分别装有1个黑球，现准备将每个盒子逐个拆开，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 将4个盒子按顺序拆开有=24种方法，若恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中，则前两个盒子都是白球或都是黑球，有＋=8种情况，则恰好拆开2个盒子就能确定2个白球在哪个盒子中的概率为P==．
3．(2025·茂名一模)在一个箱子中放5个白球，3个红球，摇匀后采用不放回方式随机摸球3次，每次一个，第3次摸到红球的概率是(　A　)
A． B．
C． D．
【解析】 记第3次摸到红球为事件A，则P(A)==．
4．(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之和相等的概率为　　．
【解析】 因为8张卡片上的数字之和为36，所以3张卡片上的数字之和为18，只有3，7，8；4，6，8；5，6，7三种情况，故所求概率p==．
配套热练
1．(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有(　B　)
A．12种 B．24种
C．36种 D．48种
【解析】 因为丙、丁要在一起，所以，先把丙、丁捆绑，看作一个元素，连同乙、戊看成三个元素排列，有种排列方式；为使甲不在两端，则甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式，注意到丙、丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有×2×2=24种不同的排列方式．
2．(2022·新高考Ⅰ卷)从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有=21种不同的取法，若两数不互质，则取法有(2，4)，(2，6)，(2，8)，(3，6)，(4，6)，(4，8)，(6，8)，共7种，故所求概率P==．
3．(2025·佛山二模)学校举办篮球赛，将6支球队平均分成甲、乙两组，则两支最强的球队被分在不同组的概率为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 由题意可知，两支最强的球队被分在不同组的分组组数为，所有的分组组数为，结合古典概型计算公式可得所求概率p==．
4．(2025·南京期初)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)，甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为(　C　)
A．4 B．6
C．8 D．12
【解析】 方法一(列举法)：由题意知，4人的名次排列情况有：丁丙甲乙、丁丙乙甲、甲乙丙丁、乙甲丙丁、丁甲乙丙、丁乙甲丙、甲乙丁丙、乙甲丁丙，共8种．
方法二：甲、乙相邻，共有=12种排列，其中丙为第一名的有=4种排列，所以符合题意的名次排列共有12－4=8种．
5．某中学新开设文学社、街舞社、话剧社、天文社和棋社五个社团，甲同学准备和另外3名同学一同去参加这五个社团中的某一社团，则甲同学参加文学社且4人中恰有两人参加同一社团的概率为(　D　)
A． B．
C． D．
【解析】 甲同学和另外3名同学一同去参加这五个社团中的某一社团共有54=625种情况，若只有甲同学参加文学社，则另外3人中有2人参加同一社团的情况有=36种．若甲同学和另外1位同学参加文学社，则另外2人参加其他社团中的2个的情况有=36种，所以甲同学参加文学社且4人中恰有两人参加同一社团的情况有36＋36=72种，则甲同学参加文学社且4人中恰有两人参加同一社团的概率为．
6．如图，16颗黑色围棋子构成4×4的正方形网格，从其中任选3颗互相连线，可以围成不同的三角形的个数为(两个三角形中至少有一个顶点不同即认为是不同的三角形)(　D　)
A．576 B．528
C．520 D．516
【解析】 运用间接法，从16颗棋子中任选3颗的方法种数为，去掉有4颗棋子在一条直线上的10种情形下的方法种数10和恰有三颗棋子在一条直线上的4种情形下的方法种数4，即得可围成的不同的三角形的个数为－10－4=516.
7．(2025·湛江期末)《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有(　D　)
A．715种 B．572种
C．312种 D．286种
【解析】 本题可转化为将14个大小相同、质地均匀的小球分给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分1个，利用隔板法在中间13个空隙(两端除外)当中插入3个隔板，可得分配的方案种数为=286，所以不同的分配方法有286种．
8．(多选)某机构组织举办经验交流活动，共邀请了八位专家，以A，B，C，D，E，F，G，H区分，现安排专家发言顺序，则(　BD　)
A．F专家和C专家发言中间必须间隔1个人，共有种排法
B．E专家和G专家发言不相邻，共有种排法
C．A，B，C三位专家的发言必须相邻，共有720种排法
D．D专家不第一个发言，H专家不最后一个发言，共有(＋)种排法
【解析】 对于A，先排剩下的6人，方法有种，再插入F与C，两人之间必须间隔一个人，方法有6×种，总共有6种排法，故A错误；对于B，若E，G不相邻，剩余6人排列方法有种，形成7个空，则E，G填入7个空的方法种数为，所以共有种排法，故B正确；对于C，先排列A，B，C三位专家，则有种排列方法，3人形成整体与剩余5人再进行全排列，则有种排列方法，所以共有=4 320种方法，故C错误；对于D，分成两类情况，一是H排在第一，则此类情况下排法有种，二是H排在除第一位和最后一位之外的某一位置，有种方法，则共有(＋)种排法，故D正确．
9．(2025·永州模拟)(多选)2025年春节档共上映6部电影，全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录．其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座．小数想要观看这6部电影，(　BD　)
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
【解析】 若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，可将这两部电影看作一个整体，与其余4部电影全排列，再将这两部电影内部进行全排列，所以观看顺序有=240种，故A错误．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则在6部电影的全排列中，《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前的情况占总情况的一半，故共有=360种观看顺序，故B正确．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则可以从6部电影中先选出2部，再从4部电影中选出2部，最后除以消除重复情况，故分组方式有=15种，故C错误．若将6部电影随机分为2组，则可按两组分别有1和5、2和4、3和3的三种情况分组，按1和5，有=6种分组方式；按2和4，有=15种分组方式；按3和3，有=10种分组方式，所以共有31种分组方式，故D正确．
10．(2025·厦门二模)在中秋放假期间，要从7人中选若干人在3天假期值班(每天只需1人值班)，不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有　252　种．
【解析】 根据题意可知，不同的安排方法有7×6×6=252种．
11．(2025·湛江二模)4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有　408　种．
【解析】 若医生甲不站在医生的最左端，则有=360种不同的站法；若医生甲站在医生的最左端，则有=48种不同的站法，故不同的站法共有360＋48=408种．
12．(2025·广州一模)将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有　12　种．
【解析】 由每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小，得9在左上角，1在右下角，如图．又因为4＞d，4＞f，所以2，3排在d，f位置，有种方法，从余下的4个数字中任取2个按从左到右、由大到小的顺序排在a，b位置，有种方法，最后两个数字从上到下、由大到小的顺序排在c，e位置，有1种方法，所以填写方格表的方法共有×1=12种．
13．(2025·广州二模)一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为　　．
【解析】 每次均有4种不同的取法，故总的取法有44=256种，这列数中恰有3个不同整数，则必有一个数取了2次，故这列数中恰有3个不同整数的取法有×=144种，故这列数中恰有3个不同整数的概率为=．
14．有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同的分配方案有　50　种．
【解析】 根据特殊元素“甲同学”分类讨论，当A单位只有甲时，其余四人分配到B，C，不同的分配方案有＋=14种；当A单位不只有甲时，其余四人分配到A，B，C，不同分配方案有=36种，故共有14＋36=50种不同的分配方案．
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专题五
统计与概率
第21讲　计数原理与古典概型
基础回归
1．
(2023·全国乙卷理)甲、乙两名同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 (　　)
A．30种 B．60种
C．120种 D．240种
C
【解析】
2．
D
【解析】
3．
【解析】
【答案】B
4．
(2023·新高考Ⅰ卷)某校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______种．(用数字作答)
64
【解析】
5．
(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为_______．
288
【解析】
6．
高考期间，为保证考生能够顺利进入考点，交管部门将5名交警分配到该考点周边三个不同路口疏导交通，每个路口至少1人，至多2人，则不同的分配方案共有______种．
90
【解析】
n(n－1)(n－2)·…·(n－m＋1)
举题固法
排列与组合
目标
1
(1) (2025·黄山二模)某单位在“五一”假期，需要从5人中选若干人在5天假期值班(每天只需1人值班)，不出现同一人连续值班2天，则共有_________种不同的安排方法．
1 280
1
根据题意，第一天从5个人中选1个人值班，有5种选法；
第二天不能选第一天值班的人，所以有4种选法；
第三天同样不能选第二天值班的人，所以还是有4种选法；
第四天也不能选第三天值班的人，有4种选法；
第五天不能选第四天值班的人，有4种选法．
综上，共有5×4×4×4×4=1 280种不同的安排方法．
【解析】
(2) (2025·景德镇二模)小崔和小汪两位好朋友想体验制作一把属于自己的漂漆扇，她们每人欲从8种不同颜色(有一种颜色是黑色)的大漆中随机选4种不同的颜色，两人约定不能同时选黑色，且她们两人之间有且只有两种颜色相同，则她们不同的选漆方法共有_________种．(用数字作答)
1 890
【解析】
解决排列与组合问题的“四项基本原则”
(1) 特殊优先原则：若问题中有特殊元素或特殊位置，则优先考虑这些特殊元素或特殊位置．
(2) 先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．
(3) 正难则反原则：当直接求解较困难时，采用间接法解决问题．
(4) 先分组后分配原则：在分配问题中，如果被分配的元素多于位置，那么要先进行分组，再进行分配．
【解析】
1．
(2023·全国甲卷理)有5名志愿者参加社区服务，共服务星期六、星期天两天，每天从中任选两人参加服务，则恰有1人连续参加两天服务的方法种数为 (　　)
A．120 B．60
C．40 D．30
B
题组
高频
强化
【解析】
2．
(2025·马鞍山二模)如图，一个圆环分成A，B，C，D四个区域，用3种颜色(全部用完)对这四个区域涂色，要求相邻区域不同色，则不同涂色的方法种数为______. (用数字作答)
12
【解析】
3．
(2025·厦门四模)A，B，C，D四个人排成一排，当A，B相邻时，A必须在B的右边，那么不同的排法共有______种．
18
【解析】
4．
(2025·郑州三模)河南具有悠久的历史和丰富的文化底蕴，其美食也独具特色．
现有一名游客计划在三天内品尝完以下六种河南特色美食：烩面、胡辣汤、灌汤包、道口烧鸡、焖饼、黄河鲤鱼．该游客每天从这六种美食中选择1到3种进行品尝(每天必须选择且不能重复选择已品尝过的美食)．若三天后恰好品尝完所有美食，则不同的选法种数为_______．
450
古典概型
目标
2
2
【答案】A
用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙两人每人抽取1个主题的所有结果如右表：
【解析】
乙
甲 1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)

【答案】A
【解析】
样本点个数的确定方法
(1) 列举法；
(2) 树状图法；
(3) 运用排列组合的知识．
提醒：在确定样本点时，有时(x，y)可看成是有序的，有时也可看成是无序的，具体问题具体分析．
【解析】
1．
A
题组
高频
强化
【解析】
2．
B
【解析】
3．
A
【解析】
4．
(2025·八省联考)有8张卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，现从这8张卡片中随机抽出3张，则抽出的3张卡片上的数字之和与其余5张卡片上的数字之
和相等的概率为______．
热练
1．
(2022·新高考Ⅱ卷)有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同的排列方式共有 (　　)
A．12种　　　　　　B．24种　　　　　　C．36种　　　　　　D．48种
B
【解析】
2．
D
【解析】
3．
C
【解析】
4．
(2025·南京期初)甲、乙、丙、丁共4名同学参加某知识竞赛，已决出了第1名到第4名(没有并列名次)，甲、乙、丙三人向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第1名”．从这个回答分析，4人的名次排列情况种数为 (　　)
A．4　　　　　　　　B．6　　　　　　　　C．8　　　　　　　　D．12
C
【解析】
5．
【答案】D
【解析】
6．
如图，16颗黑色围棋子构成4×4的正方形网格，从其中任选3颗互相连线，可以围成不同的三角形的个数为(两个三角形中至少有一个顶点不同即认为是不同的三角形) (　　)
A．576 B．528
C．520 D．516
D
【解析】
7．
(2025·湛江期末)《九章算术》是我国古代数学名著之一，其中记载了关于粟米分配的问题．现将14斗粟米分给4个人，每人分到的粟米斗数均为整数，每人至少分到1斗粟米，则不同的分配方法有 (　　)
A．715种 B．572种
C．312种 D．286种
D
【解析】
8．
【答案】BD
【解析】
9．
(2025·永州模拟)(多选)2025年春节档共上映6部电影，全国电影票房达95.1亿元，刷新了中国影史春节档票房记录．其中，《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》分居票房第一、第二的宝座．小数想要观看这6部电影， (　　)
A．若将《哪吒之魔童闹海》和《唐探1900》放在相邻次序观看，则共有120种观看顺序
B．若《唐探1900》在《哪吒之魔童闹海》之前观看，则共有360种观看顺序
C．若将6部电影每2部一组随机分为3组，则共有90种分组方式
D．若将6部电影随机分为2组，则共有31种分组方式
【解析】
【答案】BD
10．
(2025·厦门二模)在中秋放假期间，要从7人中选若干人在3天假期值班(每天只需1人值班)，不出现同一人连续值班2天，则可能的安排方法有_______种．
252
根据题意可知，不同的安排方法有7×6×6=252种．
【解析】
11．
(2025·湛江二模)4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_______种．
408
【解析】
12．
(2025·广州一模)将1，2，3，…，9这9个数字填在3×3的方格表中，要求每一行从左到右、每一列从上到下的数字依次变小．若将4填在如图所示的位置上，则填写方格表的方法共有______种．
12
【解析】
13．
(2025·广州二模)一个袋子里有大小和质地相同的4个球，标号为1，2，3，4，从中有放回地随机取球，每次取1个球，共取4次，把每次取出的球的标号排成一列
数，则这列数中恰有3个不同整数的概率为______．
【解析】
14．
有5位大学生要分配到A，B，C三个单位实习，每位学生只能到一个单位实习，每个单位至少要接收一位学生实习，已知这5位学生中的甲同学分配在A单位实习，则这5位学生实习的不同的分配方案有______种．
50
【解析】

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