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第25讲　直线与圆
基础回归
经典回眸
1．过点P(1，1)作圆E：x2＋y2－4x＋2y=0的切线，则切线方程为(　C　)
A．x＋y－2=0 B．2x－y－1=0
C．x－2y＋1=0 D．x－2y＋1=0或2x－y－1=0
【解析】 由题意可知，圆E：x2＋y2－4x＋2y=0的圆心E(2，－1)，半径r=．因为12＋12－4×1＋2×1=0，所以点P在圆E上，又kPE==－2，则切线的斜率k=，所以切线方程为y－1=(x－1)，即x－2y＋1=0.
2．若过点P(0，－1)的直线l与圆(x－)2＋y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的最大值为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】如图，直线l的倾斜角最大时，直线与圆相切，此时斜率存在，圆(x－)2＋y2=1的圆心为C(，0)，半径r=1.设切线的方程为y=kx－1，即kx－y－1=0，圆心到切线的距离为d==1，解得k=或k=0.当k=时，l的倾斜角最大，为．
3．已知圆C：x2＋y2=25与直线l：3x－4y＋m=0(m＞0)相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为(　D　)
A．(x＋3)2＋(y－4)2=16 B．(x＋3)2＋(y－4)2=25
C．(x＋6)2＋(y－8)2=16 D．(x＋6)2＋(y－8)2=25
【解析】 圆C：x2＋y2=25的圆心为原点O，半径为5，又圆C与直线l相切，则O到直线l的距离d==5，解得m=25.设过点O且与l垂直的直线为l0，则l0：4x＋3y=0.联立解得得直线l与l0的交点为(－3，4)．设圆心O(0，0)关于点(－3，4)的对称点为(p，n)，由中点公式有解得所以圆心O(0，0)关于点(－3，4)的对称点为(－6，8)，因此圆C关于直线l对称的圆的方程为(x＋6)2＋(y－8)2=25.
4．(多选)已知直线l1：4x－3y＋3=0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋m=0(m∈R)，则(　ABD　)
A．直线l2过定点(1，2)
B．当m=2时，l1∥l2
C．当m=－1时，l1⊥l2
D．当l1∥l2时，l1，l2之间的距离为
【解析】 由l2：mx＋2x－my－y＋m=m(x－y＋1)＋2x－y=0，令可得所以l2过定点(1，2)，故A正确；当m=2时，l2：4x－3y＋2=0，而l1：4x－3y＋3=0，即l1∥l2，故B正确；当m=－1时，l2：x－1=0，而l1：4x－3y＋3=0，显然不垂直，故C错误；若l1∥l2，则－3(m＋2)=－4(m＋1)，解得m=2，由上知，l1，l2之间的距离为=，故D正确．
5．(2025·天津卷)已知直线l1：x－y＋6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2=r2(r＞0)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=　2　．
【解析】 如图，因为直线l1：x－y＋6=0与x轴交于A(－6，0)，与y轴交于B(0，6)，所以|AB|==6，所以|CD|=2．而圆(x＋1)2＋(y－3)2=r2的半径为r，圆心(－1，3)到直线l1：x－y＋6=0的距离为d==，故|CD|=2=2=2，解得r=2.
6．(人A 选必一P80习题T14)已知点 A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1=0的距离相等，则实数a的值为　－或－　．
【解析】 因为点A(－3，－4)，B(6，3)到直线l的距离相等，所以=，于是=，所以27a2＋30a＋7=0，解得a=－或a=－．
要点梳理
1．两条直线平行与垂直的判定
(1) 平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有 l1∥l2 　k1=k2　．
(2) 垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 　k1·k2=－1　．
2．三种距离公式
(1) 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|=　　．
(2) 点P(x0，y0)到直线l： Ax＋By＋C=0的距离d=　　．
(3) 两条平行线Ax＋By＋C1=0与Ax＋By＋C2=0间的距离d=　　．
3．圆的弦长
(1) 几何法：因为半弦长，弦心距d，半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得l=2．
(2) 代数法：若直线y=kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|= |x1－x2|=|y1－y2|．
4．圆的切线与切线长
(1) 过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2=r2上一点 M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y=r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2上一点 M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)=r2.
(2) 过圆外一点的圆的切线
可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而求得切线方程．
(3) 切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(D2＋E2－4F＞0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为．
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b=．
5．公共弦
要求两圆相交所得的公共弦所在直线的方程，只要把两圆的方程相减即可．
举题固法
圆的方程
例 1　(1) (2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为　(x－2)2＋(y－3)2=13　．
【解析】 依题意设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0，若过点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，则解得所以圆的方程为x2＋y2－4x－6y=0，即(x－2)2＋(y－3)2=13；若过点(0，0)，(4，0)，(4，2)，则解得所以圆的方程为x2＋y2－4x－2y=0，即(x－2)2＋(y－1)2=5；若过点(0，0)，(－1，1)，(4，2)，则解得所以圆的方程为x2＋y2－x－y=0，即2＋2=；若过点(－1，1)，(4，0)，(4，2)，则解得所以圆的方程为x2＋y2－x－2y－=0，即2＋(y－1)2=．
(2) (2025·泉州二检)写出一个与直线y=x和x轴都相切且半径为1的圆的标准方程：　(x－)2＋(y－1)2=1　．
【解析】 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2=1，根据题意有|b|=1 b=±1，圆心(a，b)到直线y=x的距离为d==|a－b|=1.当b=1时，a=或－；当b=－1时，a=－或．所以满足条件的圆的标准方程为(x－)2＋(y－1)2=1或2＋(y－1)2=1或(x＋)2＋(y＋1)2=1或2＋(y＋1)2=1.
变式 1　(1) (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1=0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的方程为　(x－1)2＋(y＋1)2=5　．
【解析】 由题意，设点M(a，1－2a)，因为点(3，0)和(0，1)均在圆M上，所以点M到两点的距离相等且为半径R，所以==R，解得a=1，所以M(1，－1)，R=，圆M的方程为(x－1)2＋(y＋1)2=5.
(2) (2025·南京二模)若圆心在x轴上的圆C与直线l：x－y＋1=0相切于点A(1，2)，则圆心C的坐标为　(3，0)　．
【解析】 设过点A(1，2)且与直线l：x－y＋1=0垂直的直线为x＋y＋m=0，则1＋2＋m=0，解得m=－3，所以x＋y－3=0，即圆心在直线x＋y－3=0上．又圆心在x轴上，令y=0，可得x=3，所以圆心坐标为(3，0)．
直线、圆的位置关系
例 2　(1) (2021·新高考Ⅰ卷)(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2=16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　ACD　)
A．点 P 到直线AB 的距离小于10
B．点P到直线AB 的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|=3
D．当∠PBA最大时，|PB|=3
【解析】 直线AB的方程为＋=1，即x＋2y－4=0，设圆心为M(5，5)，点P到直线AB的最大距离为＋4＜10，故A正确；点P到直线AB的最小距离为－4＜2，故B错误；当∠PBA最小时，PB与圆M相切，又|BM|=，所以|PB|==3，故C正确；当∠PBA最大时，PB与圆M也相切，故D正确．
(2) (2020·全国乙卷)已知圆x2＋y2－6x=0，则过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为(　B　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
【解析】 圆x2＋y2－6x=0化为(x－3)2＋y2=9，所以圆心坐标为C(3，0)，半径为3，设P(1，2)，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时|CP|==2，根据弦长公式得最小值为2=2=2.
(3) (2025·安庆二模)已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1=0与圆C2：x2＋y2－2x＋2y－7=0相交于两点A，B，则四边形AC1BC2的面积等于　9　．
【解析】 由已知，圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2=9，圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2=9，圆心C1(－2，2)，半径r1=3，圆心C2(1，－1)，半径r2=3.
方法一：如图，准确画图，容易发现四边形AC1BC2是边长为3的正方形，其面积为9.
方法二：将两圆方程相减，可得公共弦AB所在直线的方程为x－y＋1=0，C1到AB的距离d==，所以=，即|AB|=3，又|C1C2|==3，所以四边形AC1BC2的面积S=|AB|·|C1C2|=9.
(1) 直线、圆的位置关系，核心是圆心到直线的距离，写出弦的方程至关重要；
(2) 在设直线的斜率前，优先考虑斜率不存在的特殊情形．
变式 2　(2025·青岛二测)若直线l：y=kx＋2与圆O：x2＋y2=4交于A，B两点，=－2，则k=(　B　)
A． B．±
C． D．±1
【解析】 如图，因为=2×2×cos∠AOB=－2，所以∠AOB=，所以点O到直线AB的距离为r=1，即=1，解得k=±．
隐圆问题
例 3　(2025·镇江期初)(多选)已知点M在圆x2＋y2＋2x－3=0上，点P(0，1)，Q(1，2)，则(　AD　)
A．存在点M，使得|MP|=1
B．∠MQP的最大值为
C．存在点M，使得|MP|=|MQ|
D．|MQ|=|MP|
【解析】圆x2＋y2＋2x－3=0即(x＋1)2＋y2=4，圆心C(－1，0)，半径r=2，又P(0，1)，所以|CP|=．因为点M在圆x2＋y2＋2x－3=0上，所以|MP|∈[2－，2＋]，所以存在点M，使得|MP|=1，故A正确．因为(1＋1)2＋22=8＞4，所以点Q在圆外，又|CP|=＜r=2，点P在圆内，所以当QM与圆C相切时，∠MQP取最大值，此时∠MQP=，所以∠MQP≤，故B错误．设M(x，y)，若|MQ|=|MP| |MQ|2=2|MP|2 (x－1)2＋(y－2)2=2[x2＋(y－1)2] x2＋y2＋2x－3=0，又点M在圆x2＋y2＋2x－3=0上，所以|MQ|=|MP|一定成立，故C错误，D正确．
常见的“隐形圆”类型(M为动点，A，B为定点，r，λ(λ≠1)为定值)：
(1) “定义圆”：{M||MA|=r}．
(2) “斜率圆”：{M|kMA·kMB=－1}，且点M的横坐标不等于A，B的横坐标．
(3) “平方圆”：{M||MA|2＋|MB|2=λ}，λ为定值．
(4) “向量圆”：{M|=λ}，λ为定值．特别地，若A，B为定点，且=0，则点M的轨迹是以AB为直径的圆．
(5) “比值圆”(阿波罗尼斯圆)：．
变式 3　(1) (2025·鹰潭一模)已知直线l1：mx＋y＋m=0和l2：x－my－3=0相交于点P，则点P的轨迹方程为(　C　)
A．(x－1)2＋y2=4
B．(x＋1)2＋y2=4
C．(x－1)2＋y2=4(x≠－1)
D．(x＋1)2＋y2=4(x≠1)
【解析】 由m·1＋1·(－m)=0，知l1⊥l2.由l1：(x＋1)m＋y=0，知直线l1过定点A(－1，0)；由l2：x－3－my=0，知直线l2过定点B(3，0)，易知点P的轨迹为以AB为直径的圆，圆心(1，0)，半径r=2.由题意易知直线l1的斜率存在，则交点P不能是(－1，0)，故点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2=4(x≠－1)．
(2) 已知A，B是圆C1：x2＋y2=1上的动点，|AB|=，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2=1上的动点，则|＋|的取值范围为　[7，13]　．
【解析】 方法一：将问题特殊化，所求问题与两圆的具体位置无关，只与其相对位置有关，故问题可转化为圆C1：x2＋y2=1与圆C′2：(x－5)2＋y2=1中相应问题，这样易于解决．如图，当AB⊥x轴，且AB与点P位于较近一侧时，|＋|取得最小值，此时|＋|min=2×=7.同理，求得|＋|max=2×=13.所以|＋|的取值范围为[7，13]．
方法二：设AB的中点为M，由|AB|=，知|C1M|=，所以点M的轨迹为以C1为圆心，为半径的圆，所以||的取值范围是．由于|＋|=2||，所以|＋|的取值范围为[7，13]．
配套热练
1．(2020·全国甲卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3=0的距离为(　B　)
A． B．
C． D．
【解析】 由于圆上的点(2，1)在第一象限，若圆心不在第一象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不合题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为(a，a)，则圆的半径为a，圆的标准方程为(x－a)2＋(y－a)2=a2.由题意可得(2－a)2＋(1－a)2=a2，即a2－6a＋5=0，解得a=1或a=5，所以圆心的坐标为(1，1)或(5，5)．圆心(1，1)到直线2x－y－3=0的距离为d1==，圆心(5，5)到直线2x－y－3=0的距离为d2==，所以圆心到直线2x－y－3=0的距离为．
2．在平面内，M，N是两个定点，P是动点，若=4，则点P的轨迹为(　D　)
A．椭圆 B．抛物线
C．直线 D．圆
【解析】 不妨设|MN|=2c，以MN为x轴，MN的中点O为原点，过点O且垂直于MN的直线为y轴，建立平面直角坐标系，设点P(x，y)，点M(－c，0)，N(c，0)，则=(x＋c，y)，=(x－c，y)．由=4可得(x＋c)(x－c)＋y2=4，即x2＋y2=4＋c2，所以点P的轨迹为圆．
3．(2025·苏州期初)若直线l1：x＋ay＋3=0和直线l2：(a－2)x＋3y＋a=0互相平行，则a的值为(　A　)
A．－1 B．3
C．3或－1 D．－3
【解析】 已知直线l1：x＋ay＋3=0和l2：(a－2)x＋3y＋a=0，由于l2的斜率存在，故l1的斜率也一定存在，所以k1=－，k2=，由于两条直线互相平行，故k1=k2，即－=，解得a=3或a=－1.又a=3时，两条直线重合，所以a=－1.
4．(2025·泰州一模)已知直线y=kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2=4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则实数k的取值范围为(　C　)
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．
C．
D．[－，]
【解析】 圆(x－2)2＋(y－3)2=4的圆心坐标为(2，3)，半径为r=2，当弦长|AB|≥2时，弦心距d=≤=1，即≤1，解得k∈．
5．(2025·全国Ⅰ卷)若圆x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)上到直线y=x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是(　B　)
A．(0，1) B．(1，3)
C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)
【解析】 圆x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)的圆心E(0，－2)到直线y=x＋2的距离为d==2，由图可知，当r=1时，圆E上有且仅有一个点(A点)到直线y=x＋2的距离等于1；当r=3时，圆E上有且仅有三个点(B，C，D点)到直线y=x＋2的距离等于1；当r∈(1，3)时，圆E上有且仅有两个点到直线y=x＋2的距离等于1.
6．(2023·新高考Ⅰ卷)设过点(0，－2)且与圆x2＋y2－4x－1=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α=(　B　)
A．1 B．
C．　 D．
【解析】 由x2＋y2－4x－1=0，即(x－2)2＋y2=5，可得圆心C(2，0)，半径r=，如图，过点P(0，－2)作圆C的切线，切点分别为A，B，因为==2，则==，可得sin∠APC==，cos∠APC==，则sin∠APB=
sin 2∠APC=2sin∠APCcos∠APC=2××=，cos∠APB=cos 2∠APC=cos2∠APC－
sin2∠APC=2－2=－＜0，即∠APB为钝角，所以sin α=sin(π－∠APB)=
sin∠APB=．
7．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2＋4y－1=0交于A，B两点，则 |AB|的最小值为(提示：直线过定点)(　C　)
A．2 B．3
C．4　 D．2
【解析】因为b是a，c的等差中项，所以2b=a＋c，c=2b－a，代入直线方程ax＋by＋c=0，得ax＋by＋2b－a=0，即a(x－1)＋b(y＋2)=0，令 得故直线恒过定点P(1，－2)．圆化为标准方程得x2＋(y＋2)2=5，设圆心为C，如图，画出直线与圆的图形，由图可知，当PC⊥AB时，最小，=1，==，此时=2=2=2=4.
8．(2021·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2=0与圆C：x2＋y2=r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(　ABD　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【解析】 对于A，因为点A在圆C上，所以a2＋b2=r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d==|r|，所以直线l与圆C相切，故A正确；对于B，因为点A在圆C内，所以a2＋b2＜r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d=＞|r|，所以直线l与圆C相离，故B正确；对于C，因为点A在圆C外，所以a2＋b2＞r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d=＜|r|，所以直线l与圆C相交，故C错误；对于D，因为点A在直线l上，所以a2＋b2=r2，圆心C(0，0)到直线l的距离d==|r|，所以直线l与圆C相切，故D正确．
9．(多选)已知圆O：x2＋y2=1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2=4，a∈R，则 (　AD　)
A．两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B．若圆O与圆C相切，则a=±2
C．若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2＜a＜2
D．若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2
【解析】 根据题意，可得圆O：x2＋y2=1的圆心为O(0，0)，半径r=1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2=4的圆心为C(a，1)，半径R=2.对于A，因为两圆的圆心距d==≥1，故A正确．对于B，两圆内切时，圆心距d=|OC|=R－r=1，即=1，解得a=0；两圆外切时，圆心距d=|OC|=R＋r=3，即=3，解得a=±2．综上所述，若两圆相切，则a=0或a=±2，故B错误．对于C，若圆O与圆C恰有两条公切线，则两圆相交，d=|OC|∈(R－r，R＋r)，即∈(1，3)，可得1＜＜3，解得－2＜a＜2且a≠0，故C错误．对于D，若圆O与圆C相交，则当圆O：x2＋y2=1的圆心O在公共弦上时，公共弦长等于2r=2，达到最大值，因此，两圆相交时，公共弦长的最大值为2，故D正确．
10．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于直线y=a对称的直线l与圆(x＋3)2＋(y＋2)2=1有公共点，则a的取值范围是　　．
【解析】 A(－2，3)关于直线y=a对称的点的坐标为A′(－2，2a－3)，B(0，a)在直线y=a上，所以A′B所在直线即为直线l，所以直线l：y=x＋a，即(a－3)x＋2y－2a=0.又圆C：(x＋3)2＋(y＋2)2=1的圆心为C(－3，－2)，半径r=1，依题意，圆心C到直线l的距离d=≤1，即(5－5a)2≤(a－3)2＋22，解得≤a≤，即a∈．
11．(2025·枣庄期末)设P是直线l：x＋y＋2=0上的动点，过P作圆C：(x－2)2＋(y－2)2=9的切线，则切线长的最小值为　3　．
【解析】 设切点为A，则|PA|2=|PC|2－9，而|PC|的最小值为圆心C(2，2)到直线l的距离，即=3，则|PA|的最小值为=3，故切线长的最小值为3.
12．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1=0与圆C：(x－1)2＋y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值为　2　．
【解析】 设圆心C(1，0)到直线AB的距离为d，由弦长公式得|AB|=2，所以
S△ABC=×d×2=，解得d=或d=，又d==，所以=或=，解得m=±或m=±2.
13．(2025·上饶二模)已知曲线x=2＋与直线y=x＋b有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是　(－2－，－3]　．
【解析】 曲线x=2＋即(x－2)2＋y2=1(x≥2)，表示以(2，0)为圆心，1为半径的一个半圆，直线y=x＋b表示斜率为1的一组平行线．当直线y=x＋b过(3，0)时，b=－3；当直线y=x＋b和半圆相切时，由1=，解得b=－2－或b=－2＋(舍去)．由图可知，要使曲线x=2＋与直线y=x＋b有两个相异的交点，则－2－＜b≤－3.
14．(2025·湛江一模)已知A(－1，0)，B(1，0)，点P满足|PA|=|PB|，当∠PAB取到最大值时，△PAB的面积为　　．
【解析】 设P(x，y)，由|PA|=|PB|得=×，即(x－2)2＋y2=3，则点P的轨迹是圆心为D(2，0)，半径为的圆．如图，当直线AP与圆D相切时，∠PAB最大，则AP⊥PD．又|PD|=，|AD|=3，所以|PA|==．又|AB|=|AD|，所以S△PAB=S△PAD=×|PA||PD|=．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第25讲　直线与圆
基础回归
经典回眸
1．过点P(1，1)作圆E：x2＋y2－4x＋2y=0的切线，则切线方程为(　 　)
A．x＋y－2=0 B．2x－y－1=0
C．x－2y＋1=0 D．x－2y＋1=0或2x－y－1=0
2．若过点P(0，－1)的直线l与圆(x－)2＋y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的最大值为(　 　)
A． B．
C． D．
3．已知圆C：x2＋y2=25与直线l：3x－4y＋m=0(m＞0)相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为(　 　)
A．(x＋3)2＋(y－4)2=16 B．(x＋3)2＋(y－4)2=25
C．(x＋6)2＋(y－8)2=16 D．(x＋6)2＋(y－8)2=25
4．(多选)已知直线l1：4x－3y＋3=0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋m=0(m∈R)，则(　 　)
A．直线l2过定点(1，2)
B．当m=2时，l1∥l2
C．当m=－1时，l1⊥l2
D．当l1∥l2时，l1，l2之间的距离为
5．(2025·天津卷)已知直线l1：x－y＋6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2=r2(r＞0)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=　 　．
6．(人A 选必一P80习题T14)已知点 A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1=0的距离相等，则实数a的值为　 ．
要点梳理
1．两条直线平行与垂直的判定
(1) 平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有 l1∥l2 　 　．
(2) 垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 　 　．
2．三种距离公式
(1) 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|=　 　．
(2) 点P(x0，y0)到直线l： Ax＋By＋C=0的距离d=　 　．
(3) 两条平行线Ax＋By＋C1=0与Ax＋By＋C2=0间的距离d=　 　．
3．圆的弦长
(1) 几何法：因为半弦长，弦心距d，半径r构成直角三角形，所以由勾股定理得l=2．
(2) 代数法：若直线y=kx＋b与圆有两交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有|AB|= |x1－x2|=|y1－y2|．
4．圆的切线与切线长
(1) 过圆上一点的圆的切线
①过圆x2＋y2=r2上一点 M(x0，y0)的切线方程是x0x＋y0y=r2.
②过圆(x－a)2＋(y－b)2=r2上一点 M(x0，y0)的切线方程是(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)=r2.
(2) 过圆外一点的圆的切线
可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k，从而求得切线方程．
(3) 切线长
①从圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0(D2＋E2－4F＞0)外一点M(x0，y0)引圆的两条切线，切线长为．
②两切点弦长：利用等面积法，切线长a与半径r的积的2倍等于点M与圆心的距离d与两切点弦长b的积，即b=．
5．公共弦
要求两圆相交所得的公共弦所在直线的方程，只要把两圆的方程相减即可．
举题固法
圆的方程
例 1　(1) (2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为　 　．
(2) (2025·泉州二检)写出一个与直线y=x和x轴都相切且半径为1的圆的标准方程：　 　．
变式 1　(1) (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1=0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的方程为　 　．
(2) (2025·南京二模)若圆心在x轴上的圆C与直线l：x－y＋1=0相切于点A(1，2)，则圆心C的坐标为 　．
直线、圆的位置关系
例 2　(1) (2021·新高考Ⅰ卷)(多选)已知点P在圆(x－5)2＋(y－5)2=16上，点A(4，0)，B(0，2)，则(　 　)
A．点 P 到直线AB 的距离小于10
B．点P到直线AB 的距离大于2
C．当∠PBA最小时，|PB|=3
D．当∠PBA最大时，|PB|=3
(2) (2020·全国乙卷)已知圆x2＋y2－6x=0，则过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为( 　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
(3) (2025·安庆二模)已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1=0与圆C2：x2＋y2－2x＋2y－7=0相交于两点A，B，则四边形AC1BC2的面积等于　 　．
(1) 直线、圆的位置关系，核心是圆心到直线的距离，写出弦的方程至关重要；
(2) 在设直线的斜率前，优先考虑斜率不存在的特殊情形．
变式 2　(2025·青岛二测)若直线l：y=kx＋2与圆O：x2＋y2=4交于A，B两点，=－2，则k=(　 　)
A． B．±
C． D．±1
隐圆问题
例 3　(2025·镇江期初)(多选)已知点M在圆x2＋y2＋2x－3=0上，点P(0，1)，Q(1，2)，则(　 　)
A．存在点M，使得|MP|=1
B．∠MQP的最大值为
C．存在点M，使得|MP|=|MQ|
D．|MQ|=|MP|
常见的“隐形圆”类型(M为动点，A，B为定点，r，λ(λ≠1)为定值)：
(1) “定义圆”：{M||MA|=r}．
(2) “斜率圆”：{M|kMA·kMB=－1}，且点M的横坐标不等于A，B的横坐标．
(3) “平方圆”：{M||MA|2＋|MB|2=λ}，λ为定值．
(4) “向量圆”：{M|=λ}，λ为定值．特别地，若A，B为定点，且=0，则点M的轨迹是以AB为直径的圆．
(5) “比值圆”(阿波罗尼斯圆)：．
变式 3　(1) (2025·鹰潭一模)已知直线l1：mx＋y＋m=0和l2：x－my－3=0相交于点P，则点P的轨迹方程为(　 　)
A．(x－1)2＋y2=4
B．(x＋1)2＋y2=4
C．(x－1)2＋y2=4(x≠－1)
D．(x＋1)2＋y2=4(x≠1)
(2) 已知A，B是圆C1：x2＋y2=1上的动点，|AB|=，P是圆C2：(x－3)2＋(y－4)2=1上的动点，则|＋|的取值范围为　 　．
配套热练
1．(2020·全国甲卷)若过点(2，1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x－y－3=0的距离为(　 　)
A． B．
C． D．
2．在平面内，M，N是两个定点，P是动点，若=4，则点P的轨迹为(　 　)
A．椭圆 B．抛物线
C．直线 D．圆
3．(2025·苏州期初)若直线l1：x＋ay＋3=0和直线l2：(a－2)x＋3y＋a=0互相平行，则a的值为(　 　)
A．－1 B．3
C．3或－1 D．－3
4．(2025·泰州一模)已知直线y=kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2=4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则实数k的取值范围为(　 　)
A．(－∞，－]∪[，＋∞)
B．
C．
D．[－，]
5．(2025·全国Ⅰ卷)若圆x2＋(y＋2)2=r2(r＞0)上到直线y=x＋2的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是(　 　)
A．(0，1) B．(1，3)
C．(3，＋∞) D．(0，＋∞)
6．(2023·新高考Ⅰ卷)设过点(0，－2)且与圆x2＋y2－4x－1=0相切的两条直线的夹角为α，则sin α=(　 　)
A．1 B．
C．　 D．
7．(2024·全国甲卷)已知b是a，c的等差中项，直线ax＋by＋c=0与圆x2＋y2＋4y－1=0交于A，B两点，则 |AB|的最小值为(提示：直线过定点)(　 　)
A．2 B．3
C．4　 D．2
8．(2021·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2=0与圆C：x2＋y2=r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是( 　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
9．(多选)已知圆O：x2＋y2=1，圆C：(x－a)2＋(y－1)2=4，a∈R，则 (　 　)
A．两圆的圆心距|OC|的最小值为1
B．若圆O与圆C相切，则a=±2
C．若圆O与圆C恰有两条公切线，则－2＜a＜2
D．若圆O与圆C相交，则公共弦长的最大值为2
10．(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于直线y=a对称的直线l与圆(x＋3)2＋(y＋2)2=1有公共点，则a的取值范围是　 　．
11．(2025·枣庄期末)设P是直线l：x＋y＋2=0上的动点，过P作圆C：(x－2)2＋(y－2)2=9的切线，则切线长的最小值为　 　．
12．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直线l：x－my＋1=0与圆C：(x－1)2＋y2=4交于A，B两点，写出满足“△ABC面积为”的m的一个值为　 　．
13．(2025·上饶二模)已知曲线x=2＋与直线y=x＋b有两个相异的交点，那么实数b的取值范围是　 ．
14．(2025·湛江一模)已知A(－1，0)，B(1，0)，点P满足|PA|=|PB|，当∠PAB取到最大值时，△PAB的面积为　 　．
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专题六
解析几何
第25讲　直线与圆
基础回归
1．
过点P(1，1)作圆E：x2＋y2－4x＋2y=0的切线，则切线方程为 (　　)
A．x＋y－2=0 B．2x－y－1=0
C．x－2y＋1=0 D．x－2y＋1=0或2x－y－1=0
C
【解析】
2．
C
【解析】
3．
已知圆C：x2＋y2=25与直线l：3x－4y＋m=0(m＞0)相切，则圆C关于直线l对称的圆的方程为 (　　)
A．(x＋3)2＋(y－4)2=16
B．(x＋3)2＋(y－4)2=25
C．(x＋6)2＋(y－8)2=16
D．(x＋6)2＋(y－8)2=25
【答案】D
【解析】
4．
【答案】ABD
【解析】
5．
(2025·天津卷)已知直线l1：x－y＋6=0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2=r2(r＞0)交于C，D两点，|AB|=3|CD|，则r=_____．
2
【解析】
6．
(人A 选必一P80习题T14)已知点 A(－3，－4)，B(6，3)到直线l：ax＋y＋1=0的
距离相等，则实数a的值为____________．
【解析】
1．两条直线平行与垂直的判定
(1) 平行：对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有 l1∥l2 _____ ___.
(2) 垂直：如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 ___________.
2．三种距离公式
(1) 平面上的两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离|P1P2|=_______________________．
(2) 点P(x0，y0)到直线l： Ax＋By＋C=0的距离d=________________．
(3) 两条平行线Ax＋By＋C1=0与Ax＋By＋C2=0间的距离d=__________．
k1=
k2
k1·k2=－1
举题固法
圆的方程
目标
1
(1) (2022·全国乙卷)过四点(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三点的一个圆的方程为_______________________________.
1
【解析】
【解析】
(1) (2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1=0上，点(3，0)和(0，1)均在圆M上，则圆M的方程为____________________．
(x－1)2＋(y＋1)2=5
变式1　
【解析】
(2) (2025·南京二模)若圆心在x轴上的圆C与直线l：x－y＋1=0相切于点A(1，2)，则圆心C的坐标为__________．
(3，0)
设过点A(1，2)且与直线l：x－y＋1=0垂直的直线为x＋y＋m=0，则1＋2＋m =0，解得m=－3，所以x＋y－3=0，即圆心在直线x＋y－3=0上．
又圆心在x轴上，令y=0，可得x=3，所以圆心坐标为(3，0)．
【解析】
直线、圆的位置关系
目标
2
2
【答案】ACD
【解析】
(2) (2020·全国乙卷)已知圆x2＋y2－6x=0，则过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为 (　　)
A．1　 B．2
C．3　 D．4
B
【解析】
(3) (2025·安庆二模)已知圆C1：x2＋y2＋4x－4y－1=0与圆C2：x2＋y2－2x＋2y－7=0相交于两点A，B，则四边形AC1BC2的面积等于_____．
9
由已知，圆C1：(x＋2)2＋(y－2)2=9，圆C2：(x－1)2＋(y＋1)2=9，圆心C1(－2，2)，半径r1=3，圆心C2(1，－1)，半径r2=3.
方法一：如图，准确画图，容易发现四边形AC1BC2是边长为3的正方形，其面积为9.
【解析】
方法二：将两圆方程相减，可得公共弦AB所在直线的方程为x－y＋
(1) 直线、圆的位置关系，核心是圆心到直线的距离，写出弦的方程至关重要；
(2) 在设直线的斜率前，优先考虑斜率不存在的特殊情形．
B
变式2　
【解析】
隐圆问题
增分点
3
【答案】AD
【解析】
(1) (2025·鹰潭一模)已知直线l1：mx＋y＋m=0和l2：x－my－3=0相交于点P，则点P的轨迹方程为 (　　)
A．(x－1)2＋y2=4 B．(x＋1)2＋y2=4
C．(x－1)2＋y2=4(x≠－1) D．(x＋1)2＋y2=4(x≠1)
C
变式3　
由m·1＋1·(－m)=0，知l1⊥l2.由l1：(x＋1)m＋y=0，知直线l1过定点A(－1，0)；由l2：x－3－my=0，知直线l2过定点B(3，0)，
易知点P的轨迹为以AB为直径的圆，圆心(1，0)，半径r=2.由题意易知直线l1的斜率存在，则交点P不能是(－1，0)，故点P的轨迹方程为(x－1)2＋y2=4(x≠－1)．
【解析】
[7，13]
方法一：将问题特殊化，所求问题与两圆的具体位置无关，只与其相对位置有关，故问题可转化为圆C1：x2＋y2=1与圆C′2：(x－5)2＋y2=1中相应问题，这样易于解决．
【解析】
热练
1．
【答案】B
【解析】
2．
D
【解析】
3．
(2025·苏州期初)若直线l1：x＋ay＋3=0和直线l2：(a－2)x＋3y＋a=0互相平行，则a的值为 (　　)
A．－1 B．3
C．3或－1 D．－3
A
【解析】
4．
C
【解析】
5．
【解析】
【答案】B
6．
【答案】B
【解析】
7．
C
【解析】
8．
(2021·新高考Ⅱ卷)(多选)已知直线l：ax＋by－r2=0与圆C：x2＋y2=r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是 (　　)
A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切
B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离
C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离
D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切
【答案】ABD
【解析】
9．
【解析】
【答案】AD
10．
(2022·新高考Ⅱ卷)设点A(－2，3)，B(0，a)，若直线AB关于直线y=a对称的直
线l与圆(x＋3)2＋(y＋2)2=1有公共点，则a的取值范围是_________．
【解析】
11．
(2025·枣庄期末)设P是直线l：x＋y＋2=0上的动点，过P作圆C：(x－2)2＋(y－2)2=9的切线，则切线长的最小值为_____．
3
【解析】
12．
【解析】
13．
【解析】
14．
【解析】

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