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第30讲　函数的图象与性质
基础回归
经典回眸
1．(2022·北京卷)已知函数f(x)=，则对任意实数x，有(　 　)
A．f(－x)＋f(x)=0 B．f(－x)－f(x)=0
C．f(－x)＋f(x)=1 D．f(－x)－f(x)=
2．函数y=的图象大致为(　 　)
　　　　　　
　　　　　　　　　A　　　　　　B　　　　 　 C　　　　　　D
3．(2017·全国卷)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)=－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　 　)
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
4．(2023·全国甲卷)若y=(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则实数a=　 　．
5．已知函数f(x)=在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　 )
A．(－∞，1]　 B．[1，3]
C．[3，＋∞) D．(－∞，1]∪[3，＋∞)
6．(2025·全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5－2x，则f=(　 　)
A．－ B．－
C． D．
要点梳理
1．若函数f(x)，g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上具有以下性质：
(1) f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有　 　的单调性．
(2) f(x)与a·f(x)，当a＞0时，具有相同的单调性；当a＜0时，具有相反的单调性．
(3) 当f(x)恒不等于零时，f(x)与具有　 的单调性．
(4) 当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
2．奇、偶函数的性质
(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于　 　对称，这是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件．
(2) 奇函数的图象关于　 　对称，偶函数的图象关于　 　对称．
(3) 若奇函数的定义域包含0，则f(0)=　 　．
(4) 定义域关于原点对称的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
举题固法
函数图象的识别
例 1　(2025·合肥一检)函数f(x)=的图象大致为(　 　)
A B C D
对于给定函数解析式，判断函数图象的问题，我们往往通过研究函数定义域、值域、奇偶性、对称性、特殊点等进行解决．
变式 1　(2025·天津卷)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　 　)
A．f(x)= B．f(x)=
C．f(x)= D．f(x)=
函数的性质
例 2　(1) (2025·晋城一模)已知f(x)为定义在R上的奇函数，f(1)=f(4)=0，当0＜x＜2时，f(x)单调递减，当x＞2时，f(x)单调递增，则不等式≤0的解集为(　 　)
A．(－∞，－1]∪[0，3]∪[4，＋∞)
B．[－4，－1]∪(0，1]∪(3，4]
C．(－∞，－4]∪[－1，1]∪(3，＋∞)
D．[－4，－1]∪[0，1]∪(3，4]
(2) (2025·南通一调)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增．设a=f，b=f，c=f(－13)，则(　 　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
1．对称性
若函数y=f(x)的图象关于直线x=a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
(1) f(a＋x)=f(a－x)；(2) f(2a－x)=f(x)；(3) f(2a＋x)=f(－x)．
若函数y=f(x)的图象关于点(a，0)中心对称，则以下三个式子成立且等价：
(1) f(a＋x)=－f(a－x)；(2) f(2a－x)=－f(x)；(3) f(2a＋x)=－f(－x)．
2．周期性
(1) f(x＋T)=f(x) y=f(x)的周期为T；
(2) f(x＋a)=f(x＋b) y=f(x)的周期T=b－a；
(3) f(x＋a)=－f(x) y=f(x)的周期T=2a；
(4) f(x＋a)=± y=f(x)的周期T=2a．
1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　 　)
A．(－∞，0]　 B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
(2025·杭州质检)设函数y=f(x)－x2是奇函数，若函数g(x)=f(x)＋5，f(4)=9，则
g(－4)=(　 　)
A．27 B．28
C．29 D．30
3．(2025·湛江期末)已知函数f(x)满足f(x－2)＋f(－x)=0，且f(x＋1)是奇函数，若f(2)=3，则f(9)＋f(10)=(　 　)
A．－6 B．－3
C．3 D．6
4．(2025·新乡二模)若函数f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，f(2)＋g(2)=20，且f(x)－xg(x)=x3，则f(－2)＋5g(－2)=　 　．
函数与方程
例 3　(1) 已知函数f(x)=有唯一的零点，则实数a的取值范围是　 　．
(2) 已知函数f(x)=若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是(　 　)
A．(1，10) B．(5，6)
C．(10，12) D．(20，24)
方程f(x)=k的解的个数 函数y=f(x)与函数y=k图象的交点的个数．
变式 3　若函数f(x)=没有零点，则实数a的取值范围是(　 　)
A．[－4，＋∞) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[4，＋∞)
配套热练
1．(2025·茂名一模)已知函数f(x)=在区间(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　 　)
A．(－∞，1] B．(－∞，3]
C．[3，＋∞) D．[5，＋∞)
2．(2025·天津卷)函数f(x)=0.3x－的零点所在区间是(　 　)
A．(0，0.3) B．(0.3，0.5)
C．(0.5，1) D．(1，2)
3．(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则实数a=(　 　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
4．(2025·泉州二检)已知定义在R上的函数f(x)＋1为奇函数，且f(－1)=－2，则f(1)=(　 　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
5．(2025·武汉2月调研)已知函数f(x)满足f(x＋1)=f(x)＋f(x＋2)，若f(1)=2，f(11)=3，则f(2 025)=(　 　)
A．1 B．－1
C．5 D．－5
6．函数f(x)=cos 2x的部分图象大致为(　 　)
　　　
　　　　　　　 A　　　　　　 B 　　　　　　C　　　　　　　D
7．已知函数f(x)=，则下列结论正确的是(　 　)
A．函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增
B．函数f(x)的图象关于直线x=1对称
C． m＞2，方程f(x)=m都有两个不等的实根
D．不等式f(x)＞－x＋1恒成立
8．(2025·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)－1为奇函数，y=f(x＋1)为偶函数，若f(2 025)=2，则f(3)=(　 　)
A．1 B．－1
C．0 D．－3
9．(多选)已知函数f(x)为R上的奇函数，且在R上单调递增．若f(2a)＋f(a－2)＞0，则实数a的取值可以是(　 　)
A．－1 B．0
C．1　 D．2
10．(2025·全国Ⅱ卷)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=(x2－3)ex＋2，则(　 　)
A．f(0)=0
B．当x＜0时，f(x)=－(x2－3)e－x－2
C．f(x)≥2当且仅当x≥
D．x=－1是f(x)的极大值点
11．若定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为　 　．
12．(2025·汕尾、肇庆二模)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是　 　．
13．已知函数f(x)=g(x)=f(x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是　 　．
14．(2025·潍坊5月模拟)已知函数f(x)=是奇函数，则函数g(x)=f(x)－的零点个数为　 　．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第30讲　函数的图象与性质
基础回归
经典回眸
1．(2022·北京卷)已知函数f(x)=，则对任意实数x，有(　C　)
A．f(－x)＋f(x)=0 B．f(－x)－f(x)=0
C．f(－x)＋f(x)=1 D．f(－x)－f(x)=
【解析】 函数f(x)的定义域为R，f(－x)==，所以f(－x)＋f(x)=＋=1.
2．函数y=的图象大致为(　B　)
　　　　　　
　　　　　　　　　A　　　　　　B　　　　 　 C　　　　　　D
【解析】 由函数 y=f(x)=， 可得x≠±1，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)．又 f(－x)===f(x)， 所以y=是偶函数，其图象关于y轴对称，排除A，D；当0＜x＜1时，x2－1＜0，y=＜0，排除C．
3．(2017·全国卷)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)=－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是(　D　)
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
【解析】 由f(x)是奇函数，知f(－1)=－f(1)=1.又f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，－1≤f(x－2)≤1，即f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，则有－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.
4．(2023·全国甲卷)若y=(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则实数a=　2　．
【解析】 因为y=f(x)=(x－1)2＋ax＋sin=(x－1)2＋ax＋cos x为偶函数，定义域为R，所以f=f，即2－a＋cos=2＋a＋cos ，则πa=2－2=2π，故a=2，此时y=f(x)=(x－1)2＋2x＋cos x=x2＋1＋cos x为偶函数，所以实数a=2.
5．已知函数f(x)=在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　B)
A．(－∞，1]　 B．[1，3]
C．[3，＋∞) D．(－∞，1]∪[3，＋∞)
【解析】 由题知解得1≤a≤3.
6．(2025·全国Ⅰ卷)设f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5－2x，则f=(　A　)
A．－ B．－
C． D．
【解析】 由题知f(x)=f(－x)，f(x＋2)=f(x)对一切x∈R恒成立，于是f=f=f=5－2×=－．
要点梳理
1．若函数f(x)，g(x)在区间B上具有单调性，则在区间B上具有以下性质：
(1) f(x)与f(x)＋C(C为常数)具有　相同　的单调性．
(2) f(x)与a·f(x)，当a＞0时，具有相同的单调性；当a＜0时，具有相反的单调性．
(3) 当f(x)恒不等于零时，f(x)与具有　相反　的单调性．
(4) 当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数．
2．奇、偶函数的性质
(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于　原点　对称，这是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件．
(2) 奇函数的图象关于　原点　对称，偶函数的图象关于　y轴　对称．
(3) 若奇函数的定义域包含0，则f(0)=　0　．
(4) 定义域关于原点对称的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
举题固法
函数图象的识别
例 1　(2025·合肥一检)函数f(x)=的图象大致为(　A　)
A B C D
【解析】 由ex－e－x≠0知函数f(x)的定义域为{x|x≠0}，因为f(－x)===－f(x)，所以f(x)为奇函数，排除C；当x→＋∞时，分母→＋∞，分子在[－1，1]内变化，所以函数图象不可能恒正或恒负，排除B，D．
对于给定函数解析式，判断函数图象的问题，我们往往通过研究函数定义域、值域、奇偶性、对称性、特殊点等进行解决．
变式 1　(2025·天津卷)已知函数y=f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　D　)
A．f(x)= B．f(x)=
C．f(x)= D．f(x)=
【解析】 由题图可知函数为偶函数，而函数f(x)=和函数f(x)=为奇函数，故排除A，B；又当x∈(0，1)时，1－x2＞0，x2－1＜0，此时f(x)=＞0，f(x)=＜0，结合题图可知C不符合，D符合．
函数的性质
例 2　(1) (2025·晋城一模)已知f(x)为定义在R上的奇函数，f(1)=f(4)=0，当0＜x＜2时，f(x)单调递减，当x＞2时，f(x)单调递增，则不等式≤0的解集为(　D　)
A．(－∞，－1]∪[0，3]∪[4，＋∞)
B．[－4，－1]∪(0，1]∪(3，4]
C．(－∞，－4]∪[－1，1]∪(3，＋∞)
D．[－4，－1]∪[0，1]∪(3，4]
【解析】 因为f(x)为定义在R上的奇函数，所以f(0)=0，又f(1)=f(4)=0，所以f(－1)=
f(－4)=0，根据题意作出f(x)的大致图象如图所示，≤0等价于或由图可得x∈[－4，－1]∪[0，1]∪(3，4]．
(2) (2025·南通一调)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)=f(4－x)，且f(x)在[－2，2]上单调递增．设a=f，b=f，c=f(－13)，则(　D　)
A．a＜b＜c B．c＜b＜a
C．b＜a＜c D．b＜c＜a
【解析】 由f(x)=f(4－x)知f(x)的图象关于直线x=2对称．由f(x)为奇函数知f(x)的图象关于点(0，0)中心对称，从而f(x)是周期为8的周期函数．作出f(x)的大致图象如图所示，因为f(x)在[－2，2]上单调递增，所以f(x)在[2，6]上单调递减，又f=f，f=f，
f(－13)=f(3)，2＜＜3＜＜6，所以f＜f(－13)＜f，即b＜c＜a．
1．对称性
若函数y=f(x)的图象关于直线x=a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
(1) f(a＋x)=f(a－x)；(2) f(2a－x)=f(x)；(3) f(2a＋x)=f(－x)．
若函数y=f(x)的图象关于点(a，0)中心对称，则以下三个式子成立且等价：
(1) f(a＋x)=－f(a－x)；(2) f(2a－x)=－f(x)；(3) f(2a＋x)=－f(－x)．
2．周期性
(1) f(x＋T)=f(x) y=f(x)的周期为T；
(2) f(x＋a)=f(x＋b) y=f(x)的周期T=b－a；
(3) f(x＋a)=－f(x) y=f(x)的周期T=2a；
(4) f(x＋a)=± y=f(x)的周期T=2a．
1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知函数f(x)=在R上单调递增，则实数a的取值范围是(　B　)
A．(－∞，0]　 B．[－1，0]
C．[－1，1] D．[0，＋∞)
【解析】 因为f(x)在R上单调递增，且x≥0时，f(x)=ex＋ln(x＋1)单调递增，则需满足解得－1≤a≤0，即实数a的取值范围是[－1，0]．
(2025·杭州质检)设函数y=f(x)－x2是奇函数，若函数g(x)=f(x)＋5，f(4)=9，则
g(－4)=(　B　)
A．27 B．28
C．29 D．30
【解析】 由函数y=f(x)－x2是奇函数可知f(x)－x2＋f(－x)－(－x)2=0，因此可得f(x)＋
f(－x)=2x2.又g(x)=f(x)＋5，因此g(4)＋g(－4)=f(4)＋5＋f(－4)＋5=2×42＋10=42.又g(4)=f(4)＋5=14，因此g(－4)=42－14=28.
3．(2025·湛江期末)已知函数f(x)满足f(x－2)＋f(－x)=0，且f(x＋1)是奇函数，若f(2)=3，则f(9)＋f(10)=(　C　)
A．－6 B．－3
C．3 D．6
【解析】 因为f(x＋1)是奇函数，所以f(1)=0，f(x＋1)=－f(－x＋1)，所以f(x＋2)=
－f(－x)．因为f(x－2)＋f(－x)=0，所以f(x－2)=f(x＋2)，所以f(x)=f(x＋4)，即f(x)是周期为4的周期函数，则f(9)＋f(10)=f(1)＋f(2)=3.
4．(2025·新乡二模)若函数f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，f(2)＋g(2)=20，且f(x)－xg(x)=x3，则f(－2)＋5g(－2)=　4　．
【解析】 依题意得f(2)－2g(2)=8，又f(2)＋g(2)=20，解得f(2)=16，g(2)=4，所以f(－2)＋5g(－2)=－f(2)＋5g(2)=－16＋20=4.
函数与方程
例 3　(1) 已知函数f(x)=有唯一的零点，则实数a的取值范围是
　[－1，＋∞)　．
【解析】 由可得x=0是f(x)唯一的零点，所以y=2x＋a在x＞0无零点．又y=2x＋a在(0，＋∞)上单调递增，所以y=2x＋a∈(a＋1，＋∞)，故只需a＋1≥0，解得a≥－1.
(2) 已知函数f(x)=若a，b，c互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则abc的取值范围是(　C　)
A．(1，10) B．(5，6)
C．(10，12) D．(20，24)
【解析】 画出f(x)的大致图象如图所示，不妨设a＜b＜c，则f(a)=f(b) |lg a|=|lg b|，所以lg a＋lg b=0 ab=1.由图易得c∈(10，12)，所以abc=c∈(10，12)．
方程f(x)=k的解的个数 函数y=f(x)与函数y=k图象的交点的个数．
变式 3　若函数f(x)=没有零点，则实数a的取值范围是(　A　)
A．[－4，＋∞) B．(－4，＋∞)
C．(－∞，－4] D．[4，＋∞)
【解析】 当x≤2时，y=2x－a＞0恒成立，要使f(x)没有零点，则x＞2时，2x＋a＞0恒成立，即a＞－2x恒成立，所以a≥－2×2=－4，即实数a的取值范围是[－4，＋∞)．
配套热练
1．(2025·茂名一模)已知函数f(x)=在区间(a，＋∞)上单调递增，则a的取值范围为(　D　)
A．(－∞，1] B．(－∞，3]
C．[3，＋∞) D．[5，＋∞)
【解析】 由x2－6x＋5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f(x)的定义域为(－∞，1]∪[5，＋∞)，又因为t=x2－6x＋5在[5，＋∞)上单调递增，在(－∞，1]上单调递减，y=在[0，＋∞)上单调递增，由复合函数的单调性可知f(x)=在区间[5，＋∞)上单调递增，故a≥5.
2．(2025·天津卷)函数f(x)=0.3x－的零点所在区间是(　B　)
A．(0，0.3) B．(0.3，0.5)
C．(0.5，1) D．(1，2)
【解析】 由指数函数、幂函数的单调性可知，y=0.3x在R上单调递减，y=在[0，
＋∞)上单调递增，所以f(x)=0.3x－在定义域上单调递减，显然f(0)=1＞0，f(0.3)=0.30.3－0.30.5＞0，f(0.5)=0.30.5－0.50.5＜0，所以根据函数零点存在定理可知f(x)的零点位于(0.3，0.5)．
3．(2023·全国乙卷)已知f(x)=是偶函数，则实数a=(　D　)
A．－2 B．－1
C．1 D．2
【解析】 因为f(x)=为偶函数，所以f(x)－f(－x)=－==0.又因为x不恒为0，所以ex－e(a－1)x=0，即ex=e(a－1)x恒成立，则x=(a－1)x恒成立，即1=a－1，解得a=2.
4．(2025·泉州二检)已知定义在R上的函数f(x)＋1为奇函数，且f(－1)=－2，则f(1)=(　B　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
【解析】 因为函数f(x)＋1为奇函数，所以f(－x)＋1=－[f(x)＋1] f(－x)＋f(x)=－2，令x=1，得f(－1)＋f(1)=－2，又f(－1)=－2，所以f(1)=0.
5．(2025·武汉2月调研)已知函数f(x)满足f(x＋1)=f(x)＋f(x＋2)，若f(1)=2，f(11)=3，则f(2 025)=(　D　)
A．1 B．－1
C．5 D．－5
【解析】 由题意可得f(x＋2)=f(x＋1)－f(x)，用x＋1代替x可得f(x＋3)=f(x＋2)－f(x＋1)，两式相加得f(x＋3)=－f(x)，所以f(x＋6)=－f(x＋3)=f(x)，所以函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(11)=f(5)=3.又f(5)=－f(2)，所以f(2)=－3，所以f(3)=f(2)－f(1)=－3－2=－5，所以f(2 025)=f(337×6＋3)=f(3)=－5.
6．函数f(x)=cos 2x的部分图象大致为(　A　)
　　　
　　　　　　　 A　　　　　　 B 　　　　　　C　　　　　　　D
【解析】 设g(x)=，则g(－x)===－g(x)，所以g(x)为奇函数．设h(x)=
cos 2x，可知h(x)为偶函数，所以f(x)=cos 2x为奇函数，则B，C错误；易知f(0)=0，所以A正确，D错误．
7．已知函数f(x)=，则下列结论正确的是(　C　)
A．函数f(x)在(1，＋∞)上单调递增
B．函数f(x)的图象关于直线x=1对称
C． m＞2，方程f(x)=m都有两个不等的实根
D．不等式f(x)＞－x＋1恒成立
【解析】 因为f(2)=6，f(3)=4，f(2)＞f(3)，故A错误．若函数f(x)的图象关于直线x=1对称，则f(0)=f(2)，而f(0)=2，f(2)=6，所以函数f(x)的图象不关于直线x=1对称，故B错误．当x＞1时，f(x)==2＋，此时f(x)的值域为(2，＋∞)；当x＜1时，f(x)==－2＋，此时f(x)的值域为(－2，＋∞)，如图，则 m＞2，方程f(x)=m都有两个不等的实根，故C正确．f(－1)=0，显然f(－1)＜－(－1)＋1=2，故D错误．
8．(2025·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)－1为奇函数，y=f(x＋1)为偶函数，若f(2 025)=2，则f(3)=(　C　)
A．1 B．－1
C．0 D．－3
【解析】 由y=f(x)－1为奇函数，得f(－x)＋f(x)=2，由y=f(x＋1)为偶函数，得f(1－x)=f(1＋x) f(x)=f(2－x)，所以有f(－x)＋f(2－x)=2，即f(x)＋f(2＋x)=2 f(x＋2)＋f(x＋4)=2，所以f(x＋4)=f(x)，函数f(x)的周期为T=4，所以f(2 025)=f(4×506＋1)=f(1)=2，又f(1)＋f(3)=2，所以f(3)=0.
9．(多选)已知函数f(x)为R上的奇函数，且在R上单调递增．若f(2a)＋f(a－2)＞0，则实数a的取值可以是(　CD　)
A．－1 B．0
C．1　 D．2
【解析】 因为函数f(x)是奇函数，所以不等式f(2a)＋f(a－2)＞0可变形为f(2a)＞－f(a－2)=f(2－a)．因为函数f(x)在R上单调递增，所以2a＞2－a，解得a＞，故C，D符合题意．
10．(2025·全国Ⅱ卷)(多选)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)=(x2－3)ex＋2，则(　ABD　)
A．f(0)=0
B．当x＜0时，f(x)=－(x2－3)e－x－2
C．f(x)≥2当且仅当x≥
D．x=－1是f(x)的极大值点
【解析】 对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，故A正确；对于B，当x＜0时，－x＞0，则f(x)=－f(－x)=－{[(－x)2－3]e－x＋2}=－(x2－3)e－x－2，故B正确；对于C，f(－1)=－(1－3)e－2=2(e－1)＞2，故C错误；对于D，当x＜0时，f(x)=(3－x2)e－x－2，则f′(x)=－(3－x2)e－x－2xe－x=(x2－2x－3)e－x，令f′(x)=0，解得x=－1或3(舍去)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，则x=－1是f(x)的极大值点，故D正确．
11．若定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为　[－1，0]　．
【解析】 因为函数f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，又因为f(x)在(－∞，2]上单调递减，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则由f(2x＋3)≤f(1)得|2x＋3－2|≤|1－2|，即|2x＋1|≤1，解得－1≤x≤0，则解集为[－1，0]．
(2025·汕尾、肇庆二模)已知函数f(x)=则f(x)的最小值是
　－5　．
【解析】 当x＜1时，f(x)=2－x＋1，f(x)单调递减，所以f(x)＞2－1＋1=．当x≥1时，f(x)=x2－6x＋4，f(x)在[1，3)上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以f(x)≥f(3)=－5.综上所述，f(x)的最小值是－5.
13．已知函数f(x)=g(x)=f(x)＋x＋a．若g(x)存在2个零点，则实数a的取值范围是　(－∞，0)∪　．
【解析】 令g(x)=f(x)＋x＋a=0，即f(x)=－x－a有两个根，即y1=f(x)与y2=－x－a有两个交点，在同一平面直角坐标系中分别画出y1=f(x)与y2=－x－a的图象如图所示，由图可知，直线y2=－x－a与y1=ln x始终有一个交点．当x≤0时，①若直线y2=－x－a与y1=x2＋2x相切，即－x－a=x2＋2x x2＋3x＋a=0，则由Δ=0可得a=；②在非相切的情况下，要使得y2=－x－a与y1=x2＋2x(x≤0)的图象有一个交点，则－a＞0，即a＜0.综上可得，a＜0或a=．
14．(2025·潍坊5月模拟)已知函数f(x)=是奇函数，则函数g(x)=f(x)－的零点个数为　2　．
【解析】 因为f(x)是奇函数，设x＞0，则－x＜0，有f(x)=－f(－x)=－[(－x)2＋(－x)]=－x2＋x，可得g(x)=f(x)－=当x≤0时，令x2＋x－=0，解得x=或(舍)；当x＞0时，令－x2＋x－=0，解得x=．综上，g(x)有两个零点．
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专题七
函数与导数
第30讲　函数的图象与性质
基础回归
1．
C
【解析】
2．
B
【解析】
A
B
C
D
3．
(2017·全国卷)已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数，若f(1)=－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是 (　　)
A．[－2，2] B．[－1，1]
C．[0，4] D．[1，3]
D
由f(x)是奇函数，知f(－1)=－f(1)=1.又f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，－1≤ f(x－2)≤1，即f(1)≤f(x－2)≤f(－1)，则有－1≤x－2≤1，解得1≤x≤3.
【解析】
4．
2
【解析】
5．
B
【解析】
6．
A
【解析】
相同
相反
2．奇、偶函数的性质
(1) 具有奇偶性的函数，其定义域关于________对称，这是一个函数为奇函数或偶函数的必要条件．
(2) 奇函数的图象关于________对称，偶函数的图象关于_______对称．
(3) 若奇函数的定义域包含0，则f(0)=_____．
(4) 定义域关于原点对称的任意函数f(x)都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．
原点
原点
y轴
0
举题固法
函数图象的识别
目标
1
A
1
【解析】
A
B
C
D
对于给定函数解析式，判断函数图象的问题，我们往往通过研究函数定义域、值域、奇偶性、对称性、特殊点等进行解决．
D
变式1　
【解析】
函数的性质
目标
2
2
【答案】D
【解析】
D
【解析】
1．对称性
若函数y=f(x)的图象关于直线x=a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
(1) f(a＋x)=f(a－x)；(2) f(2a－x)=f(x)；(3) f(2a＋x)=f(－x)．
若函数y=f(x)的图象关于点(a，0)中心对称，则以下三个式子成立且等价：
(1) f(a＋x)=－f(a－x)；(2) f(2a－x)=－f(x)；(3) f(2a＋x)=－f(－x)．
【解析】
1．
B
题组
高频
强化
由函数y=f(x)－x2是奇函数可知f(x)－x2＋f(－x)－(－x)2=0，因此可得f(x)＋f(－x)=2x2.
又g(x)=f(x)＋5，因此g(4)＋g(－4)=f(4)＋5＋f(－4)＋5=2×42＋10=42.又g(4)=f(4)＋5= 14，因此g(－4)=42－14=28.
【解析】
2．
(2025·杭州质检)设函数y=f(x)－x2是奇函数，若函数g(x)=f(x)＋5，f(4)=9，则 g(－4)= (　　)
A．27 B．28
C．29 D．30
B
因为f(x＋1)是奇函数，所以f(1)=0，f(x＋1)=－f(－x＋1)，所以f(x＋2)= －f(－x)．因为f(x－2)＋f(－x)=0，所以f(x－2)=f(x＋2)，所以f(x)=f(x＋4)，即f(x)是周期为4的周期函数，则f(9)＋f(10)=f(1)＋f(2)=3.
【解析】
3．
(2025·湛江期末)已知函数f(x)满足f(x－2)＋f(－x)=0，且f(x＋1)是奇函数，若f(2)= 3，则f(9)＋f(10)= (　　)
A．－6 B．－3
C．3 D．6
C
依题意得f(2)－2g(2)=8，又f(2)＋g(2)=20，解得f(2)=16，g(2)=4，所以f(－2)＋5g(－2)=－f(2)＋5g(2)=－16＋20=4.
【解析】
4．
(2025·新乡二模)若函数f(x)，g(x)分别为奇函数、偶函数，f(2)＋g(2)=20，且f(x)－xg(x)=x3，则f(－2)＋5g(－2)=_____．
4
函数与方程
目标
3
3
【解析】
[－1，＋∞)
画出f(x)的大致图象如图所示，不妨设a＜b＜c，则f(a)=f(b) |lg a|=|lg b|，所以lg a＋lg b=0 ab=1.由图易得c∈(10，12)，所以abc=c∈(10，12)．
【解析】
C
方程f(x)=k的解的个数 函数y=f(x)与函数y=k图象的交点的个数．
A
变式3　
当x≤2时，y=2x－a＞0恒成立，要使f(x)没有零点，则x＞2时，2x＋a＞0恒成立，即a＞－2x恒成立，所以a≥－2×2=－4，即实数a的取值范围是[－4，＋∞)．
【解析】
热练
1．
D
【解析】
2．
B
【解析】
3．
D

【解析】
4．
(2025·泉州二检)已知定义在R上的函数f(x)＋1为奇函数，且f(－1)=－2，则f(1)= (　　)
A．－2 B．0
C．1 D．2
B
因为函数f(x)＋1为奇函数，所以f(－x)＋1=－[f(x)＋1] f(－x)＋f(x)=－2，令x=1，得f(－1)＋f(1)=－2，又f(－1)=－2，所以f(1)=0.
【解析】
5．
(2025·武汉2月调研)已知函数f(x)满足f(x＋1)=f(x)＋f(x＋2)，若f(1)=2，f(11)=3，则f(2 025)= (　　)
A．1 B．－1
C．5 D．－5
D
由题意可得f(x＋2)=f(x＋1)－f(x)，用x＋1代替x可得f(x＋3)=f(x＋2)－f(x＋1)，两式相加得f(x＋3)=－f(x)，所以f(x＋6)=－f(x＋3)=f(x)，所以函数f(x)是以6为周期的周期函数，所以f(11)=f(5)=3.
又f(5)=－f(2)，所以f(2)=－3，所以f(3)=f(2)－f(1)=－3－2=－5，所以f(2 025)=f(337×6＋3)=f(3)=－5.
【解析】
6．
A
【解析】
A
B
C
D
7．
【答案】C
【解析】
8．
(2025·芜湖期末)已知函数f(x)的定义域为R，y=f(x)－1为奇函数，y=f(x＋1)为偶函数，若f(2 025)=2，则f(3)= (　　)
A．1 B．－1
C．0 D．－3
C
由y=f(x)－1为奇函数，得f(－x)＋f(x)=2，
由y=f(x＋1)为偶函数，得f(1－x)=f(1＋x) f(x)=f(2－x)，
所以有f(－x)＋f(2－x)=2，即f(x)＋f(2＋x)=2 f(x＋2)＋f(x＋4)=2，所以f(x＋4)=f(x)，函数f(x)的周期为T=4，
所以f(2 025)=f(4×506＋1)=f(1)=2，又f(1)＋f(3)=2，所以f(3)=0.
【解析】
9．
(多选)已知函数f(x)为R上的奇函数，且在R上单调递增．若f(2a)＋f(a－2)＞0，则实数a的取值可以是 (　　)
A．－1 B．0
C．1　 D．2
CD
【解析】
10．
【答案】ABD
对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，故A正确；
对于B，当x＜0时，－x＞0，则f(x)=－f(－x)=－{[(－x)2－3]e－x＋2}=－(x2－3)e－x－2，故B正确；
对于C，f(－1)=－(1－3)e－2=2(e－1)＞2，故C错误；
对于D，当x＜0时，f(x)=(3－x2)e－x－2，则f′(x)=－(3－x2)e－x－2xe－x=(x2－2x－3)e－x，令f′(x)=0，解得x=－1或3(舍去)，当x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0，此时f(x)单调递增，当x∈(－1，0)时，f′(x)＜0，此时f(x)单调递减，则x=－1是f(x)的极大值点，故D正确.
【解析】
11．
若定义在R上的函数f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)，且f(x)在(－∞，2]上单调递减，则不等式f(2x＋3)≤f(1)的解集为___________．
[－1，0]
因为函数f(x)满足f(2＋x)=f(2－x)，所以f(x)的图象关于直线x=2对称，又因为f(x)在(－∞，2]上单调递减，所以f(x)在[2，＋∞)上单调递增，则由f(2x＋3)≤f(1)得|2x＋3－2|≤|1－2|，即|2x＋1|≤1，解得－1≤x≤0，则解集为[－1，0]．
【解析】
12．
－5
【解答】
13．
令g(x)=f(x)＋x＋a=0，即f(x)=－x－a有两个根，即y1=f(x)与y2=－x－a有两个交点，在同一平面直角坐标系中分别画出y1=f(x)与y2=－x－a的图象如图所示，由图可知，直线y2=－x－a与y1=ln x始终有一个交点．
【解答】
14．
2
【解答】

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