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第33讲　利用导数研究函数的性质(2)——极值与最值
基础回归
经典回眸
1．函数f(x)=ln x＋＋3的最小值是(　 　)
A． B．4
C． D．3
2．已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在x=－1处取得极大值7，在x=3处取得极小值，则a＋b＋c的值为(　 　)
A．－10 B．－14
C．－18 D．－20
3．若函数f(x)=x3－x2在区间(a，a＋5)内存在最小值，则实数a的取值范围是(　 　)
A．(－3，2) B．[－3，2)
C．[－1，2) D．(－1，2)
4．(2023·新高考Ⅱ卷)(多选)若函数f(x)=aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　 　)
A．bc＞0 B．ab＞0
C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0
5．(人A选必二 P98习题T8)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．当x=　 　时，方盒的容积V最大．
要点梳理
1．函数的极值
如果x＜x0时有f′(x)　 　0，x＞x0时有f′(x)　 　0，那么f(x0)是极大值；如果x＜x0时有f′(x)　 　0，x＞x0时有f′(x)　 　0，那么f(x0)是极小值．
2．函数的最值
设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y=f(x)的最大(最小)值．求法：①求出极值以及区间端点值；②比大小．
举题固法
不含参函数的极值与最值
例 1　(2025·保定期末)已知函数f(x)=2ln x＋x2－ax＋b在x=1处的切线方程为x＋y－1=0.
(1) 求实数a，b的值；
(2) 求f(x)的单调区间和极值．
①在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．
②最值是比较整个定义域内的函数值得出的；极值是比较极值点附近函数值得出的．
③函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个都没有．
变式 1　(2025·广东省一模)已知函数f(x)=aln x－bx2＋1(a，b∈R)，曲线y=f(x)在x=1处与直线y=0相切．
(1) 求a，b的值；
(2) 求f(x)在上的最大值和最小值．(其中e=2.718…为自然对数的底数)
根据极、最值求参数
例 2　(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x＋－x．
(1) 设a=1，b=－2，求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程；
(2) 若x=1是f(x)的极小值点，求实数b的取值范围．
①极值是一个局部概念，极值只是该点与它附近点的函数值比较大小；
②极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
③函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
变式 2　(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)=　 　．
含参函数的极、最值
例 3　已知函数 f(x)=aln x－2x－(a≠0)．
(1) 当a=1时，求f(x)的单调区间和极值；
(2) 求f(x)在区间(0，1]上的最大值．
配套热练
1．函数f(x)=6＋12x－x3的极小值点为(　 　)
A．(4，－10)　 B．(－2，－10)
C．4 D．－2
2．(2022·全国甲卷)当x=1时，函数f(x)=aln x＋取得最大值－2，则f′(2)=(　 　)
A．－1　 B．－
C．　 D．1
3．(2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x＋(x＋1)·sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　 　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
4．(2025·汕头一模)设a∈R，若函数f(x)=x3－x2＋x＋2在(1，2)内存在极值点，则a的取值范围是(　 　)
A． B．
C．(－∞，3) D．
5．(2025·苏北七市二调)若函数f(x)=有最大值，则实数k的最大值为(　 　)
A． B．
C． D．
6．(2024·新高考Ⅰ卷)(多选)设函数f(x)=(x－1)2(x－4)，则(　 　)
A．x=3是f(x)的极小值点
B．当0＜x＜1时，f(x)＜f(x2)
C．当1＜x＜2时，－4＜f(2x－1)＜0
D．当－1＜x＜0时，f(2－x)＞f(x)
7．(2025·杭州质检)(多选)设函数f(x)=(x3－x)ln x，则(　 　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)≥0
C．f(x)在区间(0，1)上单调递增
D．x=1为f(x)的极小值点
8．(2025·茂名一模)已知函数f(x)=ln x－ax2＋1.
(1) 当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；
(2) 若函数f(x)的最大值为0，求实数a的值．
9．(2025·上海卷)已知f(x)=x2－(m＋2)x＋mln x，m∈R．
(1) 若f(1)=0，求不等式f(x)≤x2－1的解集；
(2) 若函数y=f(x)在(0，＋∞)上存在极大值，求m的取值范围．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)第33讲　利用导数研究函数的性质(2)——极值与最值
基础回归
经典回眸
1．函数f(x)=ln x＋＋3的最小值是(　C　)
A． B．4
C． D．3
【解析】 由题意得f′(x)=－=，x＞0.令f′(x)＞0，得x＞1；令f′(x)＜0，得0＜x＜1，则f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f(x)的最小值是f(1)=．
2．已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在x=－1处取得极大值7，在x=3处取得极小值，则a＋b＋c的值为(　A　)
A．－10 B．－14
C．－18 D．－20
【解析】 f′(x)=3x2＋2ax＋b，而x=－1和x=3是极值点，所以解得a=－3，b=－9.又f(－1)=－1＋a－b＋c=－1－3＋9＋c=7，解得c=2，所以a=－3，b=－9，c=2，经检验知符合题意．所以a＋b＋c=－10.
3．若函数f(x)=x3－x2在区间(a，a＋5)内存在最小值，则实数a的取值范围是(　C　)
A．(－3，2) B．[－3，2)
C．[－1，2) D．(－1，2)
【解析】 令f′(x)=x2－2x=0，解得x=0或x=2，在开区间(a，a＋5)内的最小值一定是f(2)=－，又f(－1)=f(2)=－，故解得－1≤a＜2.
4．(2023·新高考Ⅱ卷)(多选)若函数f(x)=aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　BCD　)
A．bc＞0 B．ab＞0
C．b2＋8ac＞0 D．ac＜0
【解析】 函数f(x)=aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)=－－=，因为函数f(x)既有极大值也有极小值，则函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0，因此方程ax2－bx－2c=0有两个不等的正根x1，x2，于是即有b2＋8ac＞0，ab＞0，ac＜0，显然a2bc＜0，即bc＜0，故A错误，B，C，D正确．
5．(人A选必二 P98习题T8)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形，做成一个无盖方盒．当x=　　时，方盒的容积V最大．
【解析】 由题意可知，无盖方盒的棱长分别为x，a－2x，a－2x，所以方盒的容积V(x)=(a－2x)2x，V′(x)=－4(a－2x)x＋(a－2x)2=(2x－a)(6x－a)，令V′(x)=0，解得x=．当＜x＜时，V′(x)＜0，函数V(x)单调递减；当0＜x＜时，V′(x)＞0，函数V(x)单调递增，所以当x=时，方盒的容积V最大．
要点梳理
1．函数的极值
如果x＜x0时有f′(x)　＞　0，x＞x0时有f′(x)　＜　0，那么f(x0)是极大值；如果x＜x0时有f′(x)　＜　0，x＞x0时有f′(x)　＞　0，那么f(x0)是极小值．
2．函数的最值
设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y=f(x)的最大(最小)值．求法：①求出极值以及区间端点值；②比大小．
举题固法
不含参函数的极值与最值
例 1　(2025·保定期末)已知函数f(x)=2ln x＋x2－ax＋b在x=1处的切线方程为x＋y－1=0.
(1) 求实数a，b的值；
【解答】 因为f′(x)=＋2x－a，切点坐标为(1，0)，所以f′(1)=－1，f(1)=0，即所以a=5，b=4.
(2) 求f(x)的单调区间和极值．
【解答】 f(x)=2ln x＋x2－5x＋4，定义域为(0，＋∞)，f′(x)==，令f′(x)＞0得x＞2或0＜x＜，令f′(x)＜0得＜x＜2.所以f(x)的单调递增区间为，(2，＋∞)，单调递减区间为；f(x)的极大值为f=－2ln 2＋，极小值为f(2)=2ln 2－2.
①在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．
②最值是比较整个定义域内的函数值得出的；极值是比较极值点附近函数值得出的．
③函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个都没有．
变式 1　(2025·广东省一模)已知函数f(x)=aln x－bx2＋1(a，b∈R)，曲线y=f(x)在x=1处与直线y=0相切．
(1) 求a，b的值；
【解答】 因为函数f(x)=aln x－bx2＋1，其中x＞0，则f′(x)=－2bx，因为曲线y=f(x)在x=1处与直线y=0相切，所以解得
(2) 求f(x)在上的最大值和最小值．(其中e=2.718…为自然对数的底数)
【解答】 由(1)可得f(x)=2ln x－x2＋1，所以f′(x)=－2x==，当≤x＜1时，f′(x)＞0，当1＜x≤e2时，f′(x)＜0，所以f(x)在上单调递增，在(1，e2]上单调递减，所以函数f(x)在x=1处取得极大值即最大值，则f(x)max=f(1)=0.又f=2ln－2＋1=－－1＞－2，f(e2)=2ln e2－(e2)2＋1=－e4＋5＜－2，所以f(x)min=f(e2)=－e4＋5.
根据极、最值求参数
例 2　(2025·八省联考)已知函数f(x)=aln x＋－x．
(1) 设a=1，b=－2，求曲线y=f(x)的斜率为2的切线方程；
【解答】 f(x)=ln x－－x(x＞0)，f′(x)=＋－1.设切点坐标为(x0，f(x0))，则＋－1=2，解得x0=－(舍去)或x0=1，f(x0)=－3.因此所求切线方程为y=2x－5.
(2) 若x=1是f(x)的极小值点，求实数b的取值范围．
【解答】 f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)=－－1=－(x2－ax＋b)．由题意知f′(1)=0，即a=b＋1，故f′(x)=－(x－1)(x－b)．若b≤0，则当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，则x=1是f(x)的极大值点，不合题意．若0＜b＜1，则当x∈(b，1)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，故x=1是f(x)的极大值点，不合题意．若b=1，则f′(x)≤0，x=1不是f(x)的极值点．若b＞1，则当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，b)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，故x=1是f(x)的极小值点，符合题意．综上，实数b的取值范围是(1，＋∞)．
①极值是一个局部概念，极值只是该点与它附近点的函数值比较大小；
②极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
③函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
变式 2　(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)=
　－4　．
【解析】 由题意有f(x)=(x－1)(x－2)(x－a)=(x2－3x＋2)(x－a)，所以f′(x)=(2x－3)(x－a)＋(x2－3x＋2)，因为2是函数f(x)的极值点，所以f′(2)=2－a=0，得a=2.当a=2时，f′(x)=(2x－3)(x－2)＋x2－3x＋2=3x2－10x＋8=(x－2)(3x－4)．当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以x=2是函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－a)的极小值点，符合题意．所以f(0)=－1×
(－2)×(－a)=－2a=－4.
含参函数的极、最值
例 3　已知函数 f(x)=aln x－2x－(a≠0)．
(1) 当a=1时，求f(x)的单调区间和极值；
【解答】 当a=1时，f(x)=ln x－2x－，x∈(0，＋∞)，则f′(x)=－2＋==，当0＜x＜1时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；当x＞1时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，故函数f(x)的单调递增区间是(0，1)，单调递减区间是(1，＋∞)，函数f(x)的极大值为f(1)=－3，没有极小值．
(2) 求f(x)在区间(0，1]上的最大值．
【解答】 由题意得f′(x)=－2＋=－=－．若a≥1，当x∈(0，1]时，f′(x)≥0，f(x)在区间(0，1]上单调递增，此时f(x)的最大值为f(1)=－2－a2.若0＜a＜1，当x∈(0，a)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(a，1]时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，此时f(x)的最大值为f(a)=aln a－3a．若－2＜a＜0，则0＜－＜1，当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，此时f(x)的最大值为f=
aln＋3a．若a≤－2，则－≥1，当x∈(0，1]时，f′(x)≥0，f(x)在区间(0，1]上单调递增，此时f(x)的最大值为f(1)=－2－a2.综上可得，f(x)max=
配套热练
1．函数f(x)=6＋12x－x3的极小值点为(　D　)
A．(4，－10)　 B．(－2，－10)
C．4 D．－2
【解析】 函数f(x)=6＋12x－x3的定义域为R，且f′(x)=12－3x2=3(2－x)(2＋x)，所以当－2＜x＜2时，f′(x)＞0，当x＜－2或x＞2时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－2，2)上单调递增，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，所以f(x)在x=－2处取得极小值，在x=2处取得极大值，即极小值点为－2，极大值点为2.
2．(2022·全国甲卷)当x=1时，函数f(x)=aln x＋取得最大值－2，则f′(2)=(　B　)
A．－1　 B．－
C．　 D．1
【解析】 因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以依题可知，f(1)=－2，f′(1)=0，而f′(x)=－，所以b=－2，a－b=0，即a=－2，b=－2，所以f′(x)=－＋，因此函数f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，当x=1时取最大值，满足题意，即有f′(2)=－1＋=－．
3．(2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x＋(x＋1)·sin x＋1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为(　D　)
A．－， B．－，
C．－，＋2 D．－，＋2
【解析】 f′(x)=－sin x＋sin x＋(x＋1)cos x=(x＋1)cos x，所以在区间和上f′(x)＞0，即f(x)单调递增；在区间上f′(x)＜0，即f(x)单调递减，又f(0)=f(2π)=2，f=＋2，f=－＋1=－，所以f(x)在区间[0，2π]上的最小值为－，最大值为＋2.
4．(2025·汕头一模)设a∈R，若函数f(x)=x3－x2＋x＋2在(1，2)内存在极值点，则a的取值范围是(　B　)
A． B．
C．(－∞，3) D．
【解析】 依题意，f′(x)=2x2－ax＋1在(1，2)内存在变号零点，而x=0不是f′(x)的零点，可得a=2x＋．又y=2x＋在(1，2)上单调递增，所以3＜a＜．
5．(2025·苏北七市二调)若函数f(x)=有最大值，则实数k的最大值为(　C　)
A． B．
C． D．
【解析】 当x≥2时，f(x)=，则f′(x)=，当2≤x＜e时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，当x＞e时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，则函数f(x)在x=e处取得极大值，且极大值为f(e)=．因为函数f(x)=有最大值，则解得0≤k≤，因此，实数k的最大值为．
6．(2024·新高考Ⅰ卷)(多选)设函数f(x)=(x－1)2(x－4)，则(　ACD　)
A．x=3是f(x)的极小值点
B．当0＜x＜1时，f(x)＜f(x2)
C．当1＜x＜2时，－4＜f(2x－1)＜0
D．当－1＜x＜0时，f(2－x)＞f(x)
【解析】 对于A，因为函数f(x)的定义域为R，而f′(x)=2(x－1)(x－4)＋(x－1)2=3(x－1)·(x－3)，易知当x∈(1，3)时，f′(x)＜0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x=3是函数f(x)的极小值点，故A正确；对于B，当0＜x＜1时，x－x2=x(1－x)＞0，所以1＞x＞x2＞0，而由上可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)＞f(x2)，故B错误；对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以f(1)＞f(2x－1)＞f(3)，即－4＜f(2x－1)＜0，故C正确；对于D，当－1＜x＜0时，f(2－x)－f(x)=(1－x)2·
(－2－x)－(x－1)2(x－4)=(x－1)2(2－2x)＞0，所以f(2－x)＞f(x)，故D正确．
7．(2025·杭州质检)(多选)设函数f(x)=(x3－x)ln x，则(　BD　)
A．f(x)是偶函数
B．f(x)≥0
C．f(x)在区间(0，1)上单调递增
D．x=1为f(x)的极小值点
【解析】 对于A，f(x)的定义域为(0，＋∞)，故f(x)为非奇非偶函数，故A错误．对于B，由于f(x)=(x3－x)ln x=x(x＋1)·(x－1)ln x，且x＞0，故x＋1＞0，当x＞1时，ln x＞0，x－1＞0，此时f(x)＞0；当0＜x＜1时，ln x＜0，x－1＜0，此时f(x)＞0；当x=1时，f(x)=0，因此f(x)≥0，故B正确．对于C，f′(x)=(3x2－1)ln x＋x2－1，当x∈时，3x2－1＞0，ln x＜0，x2－1＜0，此时f′(x)＜0，因此f(x)在上单调递减，故C错误．对于D，
f′(x)=(3x2－1)ln x＋x2－1，当x＞1时，3x2－1＞0，ln x＞0，x2－1＞0，故f′(x)＞0，所以f(x)在(1，＋∞)上单调递增，由C中分析知f(x)在上单调递减，所以x=1为f(x)的极小值点，故D正确．
8．(2025·茂名一模)已知函数f(x)=ln x－ax2＋1.
(1) 当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；
【解答】 当a=1时，f(x)=ln x－x2＋1，则f(1)=0，f′(x)=－2x，所以f′(1)=－1，所以切线方程为y=－(x－1)，即x＋y－1=0.
(2) 若函数f(x)的最大值为0，求实数a的值．
【解答】 函数f(x)=ln x－ax2＋1的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)=－2ax=．当a≤0时，f′(x)＞0恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，则无最大值，故舍去；当a＞0时，令1－2ax2=0，解得x=，所以当x∈时，f′(x)＞0，即f(x)在上单调递增，当x∈时，f′(x)＜0，即f(x)在上单调递减，所以f(x)在x=处取得极大值，即最大值，即f=0，所以f=ln－a2＋1=0，即－ln(2a)－＋1=0，即ln(2a)=1，所以a=．
9．(2025·上海卷)已知f(x)=x2－(m＋2)x＋mln x，m∈R．
(1) 若f(1)=0，求不等式f(x)≤x2－1的解集；
【解答】 由f(1)=0，得1－m－2＋0=0，即m=－1，故f(x)=x2－x－ln x，故f(x)≤x2－1即为x＋ln x≥1.设s(x)=x＋ln x，x＞0，则s′(x)=1＋＞0，故s(x)在(0，＋∞)上为增函数，而x＋ln x≥1即为s(x)≥s(1)，则x≥1，故原不等式的解集为[1，＋∞)．
(2) 若函数y=f(x)在(0，＋∞)上存在极大值，求m的取值范围．
【解答】 f(x)在(0，＋∞)上存在极大值即为有极大值点．f′(x)=2x－(m＋2)＋==，若m≤0，则x∈(0，1)时，f′(x)＜0，x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故x=1为f(x)的极小值点，无极大值点，舍去；若0＜＜1，即0＜m＜2，则x∈时，f′(x)＜0，x∈∪(1，＋∞)时，f′(x)＞0，故x=为f(x)的极大值点，符合题设要求；若m=2，则x∈(0，＋∞)时，f′(x)≥0，f(x)无极值点，舍去；若＞1，即m＞2，则x∈时，f′(x)＜0，x∈(0，1)∪时，f′(x)＞0，故x=1为f(x)的极大值点，符合题设要求．综上，m的取值范围是(0，2)∪(2，＋∞)．
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专题七
函数与导数
第33讲　利用导数研究函数的性质(2)——极值与最值
基础回归
1．
C
【解析】
2．
已知函数f(x)=x3＋ax2＋bx＋c，若f(x)在x=－1处取得极大值7，在x=3处取得极小值，则a＋b＋c的值为 (　　)
A．－10 B．－14
C．－18 D．－20
A
【解析】
3．
C
【解析】
4．
BCD
【解析】
5．
(人A选必二 P98习题T8)将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x
的小正方形，做成一个无盖方盒．当x=______时，方盒的容积V最大．
【解析】
1．函数的极值
如果x＜x0时有f′(x)______0，x＞x0时有f′(x)______0，那么f(x0)是极大值；如果x＜x0时有f′(x)______0，x＞x0时有f′(x)______0，那么f(x0)是极小值．
2．函数的最值
设函数y=f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y=f(x)的最大(最小)值．求法：①求出极值以及区间端点值；②比大小．
＞
＜
＜
＞
举题固法
不含参函数的极值与最值
目标
1
(2025·保定期末)已知函数f(x)=2ln x＋x2－ax＋b在x=1处的切线方程为x＋y－1 =0.
(1) 求实数a，b的值；
1
【解答】
(2025·保定期末)已知函数f(x)=2ln x＋x2－ax＋b在x=1处的切线方程为x＋y－1 =0.
(2) 求f(x)的单调区间和极值．
1
【解答】
①在开区间(a，b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值．
②最值是比较整个定义域内的函数值得出的；极值是比较极值点附近函数值得出的.
③函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个都没有．
(2025·广东省一模)已知函数f(x)=aln x－bx2＋1(a，b∈R)，曲线y=f(x)在x=1处与直线y=0相切．
(1) 求a，b的值；
变式1　
【解答】
变式1　
【解答】
根据极、最值求参数
目标
2
2
【解答】
2
【解答】
①极值是一个局部概念，极值只是该点与它附近点的函数值比较大小；
②极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
③函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
(2025·全国Ⅱ卷)若x=2是函数f(x)=(x－1)(x－2)(x－a)的极值点，则f(0)= _______．
－4
变式2　
【解析】
含参函数的极、最值
目标
3
3
【解答】
3
【解答】

热练
1．
函数f(x)=6＋12x－x3的极小值点为 (　　)
A．(4，－10)　 B．(－2，－10)
C．4 D．－2
D
函数f(x)=6＋12x－x3的定义域为R，且f′(x)=12－3x2=3(2－x)(2＋x)，
所以当－2＜x＜2时，f′(x)＞0，当x＜－2或x＞2时，f′(x)＜0，所以f(x)在(－2，2)上单调递增，在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递减，
所以f(x)在x=－2处取得极小值，在x=2处取得极大值，即极小值点为－2，极大值点为2.
【解析】
2．
B
【解析】
3．
【答案】D
【解析】
4．
B
【解析】
5．
【答案】C
【解析】
6．
(2024·新高考Ⅰ卷)(多选)设函数f(x)=(x－1)2(x－4)，则 (　　)
A．x=3是f(x)的极小值点
B．当0＜x＜1时，f(x)＜f(x2)
C．当1＜x＜2时，－4＜f(2x－1)＜0
D．当－1＜x＜0时，f(2－x)＞f(x)
对于A，因为函数f(x)的定义域为R，而f′(x)=2(x－1)(x－4)＋(x－1)2=3(x－1)·
(x－3)，易知当x∈(1，3)时，f′(x)＜0，当x∈(－∞，1)或x∈(3，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，3)上单调递减，在(3，＋∞)上单调递增，故x=3是函数f(x)的极小值点，故A正确；
【解析】
【答案】ACD
对于B，当0＜x＜1时，x－x2=x(1－x)＞0，所以1＞x＞x2＞0，而由上可知，函数f(x)在(0，1)上单调递增，所以f(x)＞f(x2)，故B错误；
对于C，当1＜x＜2时，1＜2x－1＜3，而由上可知，函数f(x)在(1，3)上单调递减，所以f(1)＞f(2x－1)＞f(3)，即－4＜f(2x－1)＜0，故C正确；
对于D，当－1＜x＜0时，f(2－x)－f(x)=(1－x)2(－2－x)－(x－1)2(x－4)=(x－1)2(2－2x)＞0，所以f(2－x)＞f(x)，故D正确．
7．
(2025·杭州质检)(多选)设函数f(x)=(x3－x)ln x，则 (　　)
A．f(x)是偶函数 B．f(x)≥0
C．f(x)在区间(0，1)上单调递增 D．x=1为f(x)的极小值点
对于A，f(x)的定义域为(0，＋∞)，故f(x)为非奇非偶函数，故A错误．
对于B，由于f(x)=(x3－x)ln x=x(x＋1)·(x－1)ln x，且x＞0，故x＋1＞0，当x＞1时，ln x＞0，x－1＞0，此时f(x)＞0；当0＜x＜1时，ln x＜0，x－1＜0，此时f(x)＞0；当x=1时，f(x)=0，因此f(x)≥0，故B正确．
【解析】
【答案】BD
8．
(2025·茂名一模)已知函数f(x)=ln x－ax2＋1.
(1) 当a=1时，求函数f(x)在x=1处的切线方程；
【解答】
8．
(2025·茂名一模)已知函数f(x)=ln x－ax2＋1.
(2) 若函数f(x)的最大值为0，求实数a的值．
【解答】
9．
(2025·上海卷)已知f(x)=x2－(m＋2)x＋mln x，m∈R．
(1) 若f(1)=0，求不等式f(x)≤x2－1的解集；
【解答】
9．
(2025·上海卷)已知f(x)=x2－(m＋2)x＋mln x，m∈R．
(2) 若函数y=f(x)在(0，＋∞)上存在极大值，求m的取值范围．
【解答】

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