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微切口3——爪形三角形研究
与特殊线段相关的解三角形问题
角度1　等分线段
例1－1　(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C．
(1) 证明：BD=b；
(2) 若AD=2DC，求cos∠ABC．
若AD=λDC，可由两个角度列式：
(1) 利用cos∠BDA＋cos∠BDC=0结合余弦定理找关系；
(2) 利用=＋平方后找关系．
角度2　角平分线
例1－2　(2023·全国甲卷理)在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=，D为BC上一点，且AD为∠BAC的平分线，则AD=　 　．
在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1) 角平分线定理：=，该结论可以由两三角形面积之比得证，即==；
(2) 等面积法：由S△ABD＋S△ACD=S△ABC，可得AD．
变式1－2　(2025·湛江一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
asin B＋bcos∠BAC=b，D为BC边上的点，且AD平分∠BAC．
(1) 求∠BAC的大小；
(2) 若AD=，a=7，求△ABC的周长．
角度3　高线问题
例1－3　(2025·苏北七市二调)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且S=a2sin 2B．
(1) 证明：tan B=3tan A；
(2) 若A=45°，BC边上的高为6，求b．
1．设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶．
2．求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和相应底边的长度．
向量的三点共线问题
例 2　(多选)已知P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)，且=λ＋，则下列说法正确的是(　 　)
A．2λ＋μ=1
B．λμ的最大值为
C．λ2＋μ2的最小值为
D．＋的最小值是8
三点共线定理：已知，为平面内两个不共线的向量且=x＋y(x，y∈R)，x＋y=1是A，B，C三点共线的充要条件．
变式 2　(多选)在Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足=2，点M，N在过点P的直线上，若=m，=n(m＞0，n＞0)，则下列结论正确的是(　 　)
A．＋为常数
B．m＋n的最小值为
C．m＋2n的最小值为3
D．m，n的值可以为m=，n=2
配套热练
1．在△ABC中，已知=2，=3，直线BD与CE交于点M，则=(　 　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，BC边上中线AD长为1，则bc的最大值为(　 　)
A． B．
C． D．2
3．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接EF交AC于点M，且满足=4，=3，=λ＋，则5λ＋=(　 　)
A． B．1
C．－ D．－3
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的高线AH的长等于(　 　)
A． B．
C．2 D．
5．(2025·武汉4月调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C=，c=6，△ABC的面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的平分线，则CD=(　 　)
A． B．1
C． D．
6．(多选)在△ABC中，AB=2，AC=3，A=，D为边BC上一动点，则(　 　)
A．BC=
B．当AD为边BC上的高时，AD=
C．当AD为边BC上的中线时，AD=
D．当AD为角A的平分线时，AD=
7．如图，在△ABC中，=3，E是BD上一点，且=λ＋(λ∈R)，则λ的值等于　 　．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC=，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，且AD长为定值．若△ABC面积的最小值为，则AD的长为　 　．
9．(2025·南通一调)在△ABC中，已知tan A=，sin(A－B)=．
(1) 求角B的大小；
(2) 若AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积为14，求AD．
10．(2025·南宁期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且=．
(1) 求角A．
(2) 若△ABC的面积为4．
①已知E为BC的中点，且b＋c=10，求△ABC的中线AE的长；
②求∠BAC的平分线AD长的最大值．
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与特殊线段相关的解三角形问题
角度1　等分线段
例1－1　(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2=ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C．
(1) 证明：BD=b；
【解答】 设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理得sin∠ABC=，sin C=．因为BDsin∠ABC=asin C，所以BD·=a·，即BD·b=ac．又因为b2=ac，所以BD=b．
(2) 若AD=2DC，求cos∠ABC．
【解答】 方法一：因为AD=2DC，如图，在△ABC中，cos C=①．在△BCD中，cos C=②．由①②得a2＋b2－c2=3，整理得2a2－b2＋c2=0.又因为b2=ac，所以6a2－11ac＋3c2=0，解得a=或a=．当a=时，b2=ac=，a＋b=＋＜c(舍去)．当a=时，b2=ac=，cos∠ABC==．所以cos∠ABC=．
方法二：(平面向量基本定理)因为AD=2DC，所以=2．以向量，为基底，则=＋，所以2=2＋＋2，即b2=a2＋accos∠ABC＋c2.又因为b2=ac，所以9ac=4a2＋4accos∠ABC＋c2③．由余弦定理得b2=a2＋c2－2accos∠ABC，所以ac=a2＋c2－2accos∠ABC④．联立③④，得6a2－11ac＋3c2=0，所以a=c或a=．当a=时，b2=ac=，a＋b=＋＜c(舍去)．当a=时，b2=ac=，cos∠ABC==．所以
cos∠ABC=．
若AD=λDC，可由两个角度列式：
(1) 利用cos∠BDA＋cos∠BDC=0结合余弦定理找关系；
(2) 利用=＋平方后找关系．
角度2　角平分线
例1－2　(2023·全国甲卷理)在△ABC中，AB=2，∠BAC=60°，BC=，D为BC上一点，且AD为∠BAC的平分线，则AD=　2　．
【解析】 如图，记AB=c，AC=b，BC=a．
方法一：由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°=6，由b＞0，解得b=1＋．由S△ABC=S△ABD＋S△ACD可得×2×b×sin 60°=×2×AD×sin 30°＋×AD×b×sin 30°，解得AD===2.
方法二：由余弦定理可得22＋b2－2×2×b×cos 60°=6，由b＞0，解得b=1＋．由正弦定理可得==，解得sin B=，sin C=．因为1＋＞＞2，所以B＞A＞C，所以C=45°，B=180°－60°－45°=75°．又∠BAD=30°，所以∠ADB=75°，即AD=AB=2.
在△ABC中，AD平分∠BAC，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．
(1) 角平分线定理：=，该结论可以由两三角形面积之比得证，即==；
(2) 等面积法：由S△ABD＋S△ACD=S△ABC，可得AD．
变式1－2　(2025·湛江一模)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且
asin B＋bcos∠BAC=b，D为BC边上的点，且AD平分∠BAC．
(1) 求∠BAC的大小；
【解答】 由题设及正弦定理得sin∠BACsin B＋sin Bcos∠BAC=sin B．又因为sin B≠0，所以sin∠BAC＋cos∠BAC=1，所以sin=，又因为∠BAC∈(0，π)，所以∠BAC＋∈，则∠BAC＋=，所以∠BAC=．
(2) 若AD=，a=7，求△ABC的周长．
【解答】 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD=∠CAD=．因为S△ABC=S△ABD＋S△ADC，所以bcsin∠BAC=AD·c·sin∠BAD＋AD·b·sin∠CAD，即bcsin=×c×sin＋×b×sin，整理得bc=(b＋c)×，即bc=(b＋c)①．由余弦定理得72=b2＋c2－2bc·cos，即49=(b＋c)2－bc②．将①代入②得8(b＋c)2－15(b＋c)－8×49=0，所以b＋c=8或b＋c=－(舍去)，所以△ABC的周长为a＋b＋c=7＋8=15.
角度3　高线问题
例1－3　(2025·苏北七市二调)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且S=a2sin 2B．
(1) 证明：tan B=3tan A；
【解答】 因为S=a2sin 2B，所以acsin B=2a2sin Bcos B．又sin B＞0，所以c=4acos B．由正弦定理=，得sin C=4sin Acos B．因为A＋B＋C=180°，所以sin C=sin(A＋B)=
sin Acos B＋cos Asin B，所以4sin Acos B=sin Acos B＋cos Asin B，即cos Asin B=3sin Acos B，所以tan B=3tan A．
(2) 若A=45°，BC边上的高为6，求b．
【解答】 因为A=45°，所以tan A=1，由(1)知tan B=3.
方法一：因为tan C=－tan(A＋B)=－=2，所以△ABC为锐角三角形．如图，过点A作AD⊥BC，过点C作CE⊥AB，D，E分别为垂足．设AE=CE=3x，因为tan B=3，所以CE=3EB=3x，AD=3BD=6，所以在Rt△ADB中，AD=6，BD=2，AB=4x，即36＋4=16x2，解得x2=．在Rt△AEC中，AC==3，即b=3．
方法二：因为tan B==3，且sin2B＋cos2B=1，所以sin2B=，cos2B=．因为tan B=3＞0，所以B∈，所以sin B=,cos B=.由S=a2sin 2B=a×6,得a2×(2sin Bcos B)=3a，解得a=5.由正弦定理=，得=，解得b=3．
1．设h1，h2，h3分别为△ABC的边a，b，c上的高，则h1∶h2∶h3=∶∶=∶∶．
2．求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和相应底边的长度．
向量的三点共线问题
例 2　(多选)已知P是△ABC的中线BD上一点(不包含端点)，且=λ＋，则下列说法正确的是(　BC　)
A．2λ＋μ=1
B．λμ的最大值为
C．λ2＋μ2的最小值为
D．＋的最小值是8
【解析】 由=λ＋，得=λ＋2，又B，P，D共线，所以λ＋2μ=1，A错误；由λ＞0，μ＞0，得1=λ＋2μ≥2，则λμ≤，当且仅当λ=，μ=时取等号，B正确；由λ2＋μ2=(1－2μ)2＋μ2=52＋，得当μ=时，λ2＋μ2取得最小值，C正确；因为＋=(λ＋2μ)=5＋＋≥5＋2=9，当且仅当=，即λ=μ=时取等号，所以＋的最小值是9，D错误．
三点共线定理：已知，为平面内两个不共线的向量且=x＋y(x，y∈R)，x＋y=1是A，B，C三点共线的充要条件．
变式 2　(多选)在Rt△ABC中，P是斜边BC上一点，且满足=2，点M，N在过点P的直线上，若=m，=n(m＞0，n＞0)，则下列结论正确的是(　ACD　)
A．＋为常数
B．m＋n的最小值为
C．m＋2n的最小值为3
D．m，n的值可以为m=，n=2
【解析】 如图，由=2，可得－=2(－)，所以=＋．若=m，=n(m＞0，n＞0)，则=，=，所以=＋．因为M，P，N三点共线，所以＋=1，所以＋=3，故A正确；当m=，n=2时，满足＋=3，故D正确；因为m＋2n=(m＋2n)=＋＋≥2＋=3，当且仅当m=n时等号成立，故C正确；因为m＋n=(m＋n)=＋＋1≥2＋1=＋1，当且仅当n=m，即m=，n=时等号成立，故B错误．
配套热练
1．在△ABC中，已知=2，=3，直线BD与CE交于点M，则=(　B　)
A．＋ B．＋
C．＋ D．＋
【解析】 如图，由E，M，C三点共线，可设=x＋(1－x)，又=，=3，所以=x＋3(1－x)，又B，M，D三点共线，则x＋3(1－x)=1，解得x=，所以=×＋=＋．
2．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=，BC边上中线AD长为1，则bc的最大值为(　A　)
A． B．
C． D．2
【解析】 由题意得∠ADB＋∠ADC=π，所以cos∠ADB＋cos∠ADC=0，又a=，且D是BC的中点，所以BD=CD=．在△ABD中，cos∠ADB==，在△ADC中，cos∠ADC==，所以cos∠ADC＋cos∠ADB=＋=0，即b2＋c2=，则2bc≤b2＋c2= bc≤，当且仅当b=c=时取等号．
3．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接EF交AC于点M，且满足=4，=3，=λ＋，则5λ＋=(　B　)
A． B．1
C．－ D．－3
【解析】 设==＋，又=x＋(1－x)=＋，则λ=，μ=，从而5λ＋=x＋1－x=1.
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c=3，b=2，∠BAC的平分线AD的长为，则BC边上的高线AH的长等于(　B　)
A． B．
C．2 D．
【解析】 由题意，设∠BAD=∠CAD=α，则∠BAC=2α，如图所示．由S△ABC=S△ABD＋
S△ACD可得×3×2sin 2α=×3×sin α＋×2×sin α，整理得3sin 2α=2sin α，即
sin α·(3cos α－)=0，又因为sin α≠0，所以cos α=，所以cos 2α=2cos2α－1=，所以
sin 2α==．在△ABC中，由余弦定理得a2=32＋22－2×3×2cos 2α=13－4=9，所以a=3.由S△ABC=bcsin 2α=a·AH可得×3×2×=×3AH，解得AH=．
5．(2025·武汉4月调研)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且C=，c=6，△ABC的面积为，D为边AB上一点，CD是∠ACB的平分线，则CD=(　B　)
A． B．1
C． D．
【解析】 在△ABC中，C=，c=6，由余弦定理可得c2=b2＋a2－2bacos C，所以62=b2＋a2－2bacos，所以36=b2＋a2－ba．又△ABC的面积为，所以basin=，所以ba=4，所以36=b2＋a2－ba=(a＋b)2－3×4，所以a＋b=4．因为CD是∠ACB的平分线，C=，所以∠ACD=∠DCB=，因为S△ACD＋S△BCD=S△ABC，所以AC·CDsin∠ACD＋BC·CD·
sin∠BCD=b·CDsin＋a·CDsin=，所以b·CD＋a·CD=(b＋a)CD=4，所以CD=1.
6．(多选)在△ABC中，AB=2，AC=3，A=，D为边BC上一动点，则(　AC　)
A．BC=
B．当AD为边BC上的高时，AD=
C．当AD为边BC上的中线时，AD=
D．当AD为角A的平分线时，AD=
【解析】 对于A，由余弦定理有BC==，故A正确；对于B，当AD为边BC上的高线时，由等面积法有AB·AC·sin A=BC·AD，即×2×3×=×AD，解得AD=，故B错误；对于C，当AD为边BC上的中线时，AD=||=|＋|===×=，故C正确；对于D，当AD为角A的平分线时，设=λ=＋，由B，C，D三点共线可知，＋=1，解得λ=，所以||===，故D错误．
7．如图，在△ABC中，=3，E是BD上一点，且=λ＋(λ∈R)，则λ的值等于　　．
【解析】 因为=3，所以=4，则=λ＋=λ＋．因为E，B，D三点共线，所以λ＋=1，所以λ=．
8．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠BAC=，∠BAC的平分线AD交边BC于点D，且AD长为定值．若△ABC面积的最小值为，则AD的长为　1　．
【解析】 由题意，S△ABC=S△ABD＋S△ACD，即S△ABC=bcsin∠BAC=AD·c·sin∠BAD＋AD·b·sin∠CAD．因为∠BAC=，AD为∠BAC的平分线，所以bc=，即bc=≥，解得bc≥，当且仅当b=c时等号成立，此时S△ABC=bc·sin A=．因为△ABC面积的最小值为，所以=，解得AD=1.
9．(2025·南通一调)在△ABC中，已知tan A=，sin(A－B)=．
(1) 求角B的大小；
【解答】 在△ABC中，tan A=＞0，所以0＜A＜．因为0＜B＜π，所以－π＜A－B＜．因为sin(A－B)=＞0，所以0＜A－B＜，所以cos(A－B)==，所以tan(A－B)==，所以tan B=tan [A－(A－B)]===1，所以B=．
(2) 若AD为∠BAC的平分线，△ABC的面积为14，求AD．
【解答】 由tan A=，0＜A＜，得sin A=，cos A=，所以sin C=sin(A＋B)=sin Acos B＋cos Asin B=．由正弦定理可得=，所以==，所以S△ABC=AB·ACsin∠BAC=×c2×=14，解得AB=7，所以AC=5.由cos∠BAC=1－2sin2∠BAD=，得sin∠BAD=
sin∠CAD=，由S△ABC=S△ABD＋S△ACD，即14=AB·ADsin∠BAD＋AC·ADsin∠CAD=×AD＋×AD，解得AD=．
10．(2025·南宁期末)已知△ABC的内角A，B，C的对边为a，b，c，且=．
(1) 求角A．
【解答】 由题设及正弦定理得=，即a2=b2＋c2－bc．由余弦定理得cos A=，因为0＜A＜π，所以A=．
(2) 若△ABC的面积为4．
①已知E为BC的中点，且b＋c=10，求△ABC的中线AE的长；
②求∠BAC的平分线AD长的最大值．
【解答】 ①因为S△ABC=bcsin∠BAC=4，所以bc=16.又b＋c=10，解得b=8，c=2或b=2，c=8.由于=＋)，所以2=2＋2＋2)==21，所以AE=．
②由S△ADB＋S△ADC=S△ABC，得·AD·csin＋·AD·bsin=bcsin=4，解得AD=，而bc=16，则b＋c≥2=8，当且仅当b=c=4时取等号，故AD≤2，即AD的最大值为2．
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专题二
三角函数与解三角形
能力进阶　微切口3——爪形三角形研究
与特殊线段相关的解三角形问题
探究
1
【解答】
(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2= ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C．
(1) 证明：BD=b；
角度1　等分线段
1-1
【解答】
(2021·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2= ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC=asin C．
(2) 若AD=2DC，求cos∠ABC．
1-1
角度2　角平分线
【解析】
1-2
【答案】2

【解答】

变式1－2
【解答】
变式1－2
角度3　高线问题
(2025·苏北七市二调)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且S=a2sin 2B．
(1) 证明：tan B=3tan A；
【解答】
1-3
(2025·苏北七市二调)记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且S=a2sin 2B．
(2) 若A=45°，BC边上的高为6，求b．
【解答】
1-3

向量的三点共线问题
探究
2
2
【解析】
【答案】BC
【解析】
变式2　
【答案】ACD
热练
【解析】
B
【解析】
【答案】A
【解析】
B
【解析】
【答案】B

【解析】
【答案】B
【解析】
【答案】AC
【解析】
【解析】

1
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】
【解答】

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