资源简介

　微切口10——构造法在解题中的应用
构造函数比大小
例 1　(1) 已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小顺序为　b＞a＞c　．
【解析】 令f(x)=，则a=f==，b=f(e)=，c=f(2)=．而f′(x)=且x＞0，即0＜x＜e时，f(x)单调递增，x＞e时，f(x)单调递减，又2＜＜e，所以f(e)＞f＞f(2)．综上，b＞a＞c．
(2) 已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是　a＞b＞c　．
【解析】 根据题意，构造函数y=xe2－x，所以y′=(1－x)e2－x，当0＜x＜1时y′=(1－x)e2－x＞0，所以y=xe2－x在(0，1)上单调递增，因为＞＞，所以a＞b＞c．
变式 1　设a=，b=，c=，则(　D　)
A．a＜c＜b B．c＜b＜a
C．a＜b＜c D．b＜c＜a
【解析】 由－=＜0得b＜c．而a==，c=，设f(x)=，f′(x)=，所以x∈[e，＋∞)时，f′(x)≤0，所以f(x)在[e，＋∞)上单调递减，所以f(e)＞f(3)，且a=f(e)，c=f(3)，所以c＜a．综上，b＜c＜a．
构造函数解不等式
例 2　(1) 已知函数f(x)的导数为f′(x)， x∈R，都有f(x)－f′(x)＞0，且f(1)=1，则f(x)＞ex－1的解集为　(－∞，1)　．
【解析】 由f(x)＞ex－1，可得＞=．令g(x)=，结合f(x)－f′(x)＞0，得
g′(x)=＜0，所以g(x)在R上单调递减．由g(x)＞g(1)，得x＜1，则原不等式的解集为(－∞，1)．
(2) (2025·南平期中)若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＜x，且f(1)=1，则不等式f(x)＜的解集为　(1，＋∞)　．
【解析】 令函数g(x)=f(x)－，可得g′(x)=f′(x)－x，由f′(x)＜x可得g′(x)=
f′(x)－x＜0恒成立，因此g(x)在R上单调递减，又g(1)=f(1)－=0，所以f(x)＜等价于f(x)－＜0，即g(x)＜g(1)，解得x＞1，所以不等式的解集为(1，＋∞)．
若条件是f′(x)g(x)＋g′(x)f(x)≥0，可构造F(x)=f(x)g(x)，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)＋f(x)≥0，可构造F(x)=exf(x)，则F(x)单调递增；
若条件是xf′(x)＋f(x)≥0，可构造F(x)=xf(x)，则F(x)单调递增；
若条件是xf′(x)＋nf(x)≥0，可构造F(x)=xnf(x)，若xn－1＞0，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)＋nf(x)≥0，可构造F(x)=enxf(x)，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)cos x－f(x)sin x≥0，可构造F(x)=f(x)cos x，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)sin x＋f(x)cos x≥0，可构造F(x)=f(x)sin x，则F(x)单调递增．
变式 2　已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)=e，且对任意的实数x满足
f′(x)－f(x)＜ex，则不等式f(x)＞xex的解集是　(－∞，1)　．
【解析】 构造g(x)=－x，则g′(x)=－1，因为f′(x)－f(x)＜ex，所以－1＜0，即g′(x)＜0，可知g(x)在R上单调递减，且g(1)=0，由f(x)＞xex可得－x＞0，即g(x)＞g(1)，解得x＜1，所以不等式f(x)＞xex的解集是(－∞，1)．
构造函数求参数范围
例 3　(2025·威海期末)已知函数f(x)=2ax2－2x－1＋x，若对 x1，x2∈(1，3)，且x1≠x2，都有＜1，则(　A　)
A．a≤ B．a≤0
C．a≥－3 　D．a≥1
【解析】 由题设， x1，x2∈(1，3)，且x1≠x2，都有＜0，所以f(x)－x=2ax2－2x－1在(1，3)上单调递减，易知y=ax2－2x－1在(1，3)上单调递减．当a=0时，y=－2x－1满足题设；当a≠0时，则有或解得0＜a≤或a＜0.综上，a≤．
(1) 若对任意x1，x2∈D，当x1≠x2时，恒有＞k，则y=f(x)－kx在D上是增函数；
(2) 若对任意x1，x2∈D，当x1≠x2时，恒有＞，则y=f(x)＋在D上是增函数；
(3) 若对任意x1，x2∈D，当x1≠x2时，恒有＞x1＋x2，则y=f(x)－x2在D上是增函数．
变式 3　已知函数f(x)=x－1－aln x，若a＜0，且对任意x1，x2∈(0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围是　[－3，0)　．
【解析】 f′(x)=1－，x＞0，当a＜0时，f′(x)＞0，f(x)在(0，1]上是增函数．又函数y=在(0，1]上是减函数，不妨设0＜x1＜x2≤1，则|f(x1)－f(x2)|=f(x2)－f(x1)，=－，所以|f(x1)－f(x2)|≤4等价于f(x2)－f(x1)≤－，即f(x2)＋≤f(x1)＋．设h(x)=f(x)＋=x－1－aln x＋，则|f(x1)－f(x2)|≤4等价于h(x)在区间(0，1]上是减函数．因为
h′(x)=1－－=，所以x2－ax－4≤0在x∈(0，1]时恒成立，即a≥x－在x∈(0，1]时恒成立．因为y=x－在区间(0，1]上是增函数，所以y=x－的最大值为－3，所以a≥－3.又a＜0，所以a∈[－3，0)．
配套热练
1．已知a=ln－，b=ln π－π，c=ln 3－3，则(　A　)
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【解析】 构造函数f(x)=ln x－x，因为f′(x)=－1＜0对一切x∈(1，＋∞)恒成立，所以函数f(x)=ln x－x在(1，＋∞)上是减函数，从而有f＞f(3)＞f(π)，即a＞c＞b．
2．已知x1，x2∈R，则“x1＞x2＞1”是“x1－ln x1＞x2－ln x2”的(　A　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
【解析】 设f(x)=x－ln x，则f′(x)=，则当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．若x1＞x2＞1，则f(x1)＞f(x2)；但f(x1)＞f(x2)不能推出x1＞x2＞1，故“x1＞x2＞1”是“x1－ln x1＞x2－ln x2”的充分不必要条件．
3．已知a=，b=ln ，c=，则(　D　)
A．b＜c＜a B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．a＜b＜c
【解析】 a=，b=ln ==，c=．设f(x)=，x＞0，则f′(x)=，令f′(x)=＜0，解得x＞e，所以f(x)在(e，＋∞)上单调递减．因为e＜3＜4＜e2，所以f(3)＞f(4)＞f(e2)，即a＜b＜c．
4．已知函数f(x)，若对任意的x∈R都有f′(x)＜f(x)，则2f(2)与e2f(ln 2)的大小关系正确的是(　C　)
A．2f(2)＞e2f(ln 2) B．2f(2)=e2f(ln 2)
C．2f(2)＜e2f(ln 2) D．无法比较大小
【解析】 令g(x)=，则g′(x)=，因为对任意的x∈R都有f′(x)＜f(x)，所以g′(x)＜0，即g(x)在R上单调递减，又2＞ln 2，所以g(2)＜g(ln 2)，即＜，可得2f(2)＜e2f(ln 2)．
5．(2025·孝义二模)设函数f(x)=x3－sin x＋x＋2，则满足f(x)＋f(2－3x)＜4的实数x的取值范围是(　A　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
【解析】 令函数g(x)=f(x)－2=x3－sin x＋x，其定义域为R，g(－x)=(－x)3－sin(－x)＋
(－x)=－(x3－sin x＋x)=－g(x)，函数g(x)是奇函数．因为g′(x)=3x2－cos x＋1≥0，当且仅当x=0时取等号，所以函数g(x)在R上单调递增．不等式f(x)＋f(2－3x)＜4 f(x)－2＜－[f(2－3x)－2] g(x)＜－g(2－3x)=g(3x－2)，则x＜3x－2，解得x＞1，所以实数x的取值范围是(1，＋∞)．
6．已知函数f(x)=ln x＋ax(a＞0)，若对任意的x1，x2∈，且x1≠x2，不等式|f(x2)－f(x1)|＜恒成立，则实数a的取值范围是(　C　)
A．(0，2) B．(2，＋∞)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
【解析】 因为f′(x)=＋a＞0，所以函数f(x)=ln x＋ax在上单调递增，不妨设x1＜x2，则|f(x2)－f(x1)|＜等价于f(x2)＋＜f(x1)＋对任意的x1，x2∈恒成立．令F(x)=f(x)＋=ln x＋ax＋，x∈，则有F(x2)＜F(x1)，即函数F(x)在x∈上单调递减，所以F′(x)=≤0在x∈时恒成立，等价于ax2＋x－1≤0在x∈时恒成立．又a＞0，只需满足＋－1≤0即可，所以0＜a≤2，即实数a的取值范围是(0，2]．
7．若0＜x1＜x2＜1，则下列关系式一定成立的是(　C　)
A．ex2＋ln x1＞ex1＋ln x2
B．ex2＋ln x1＜ex1＋ln x2
C．x2ex1＞x1ex2
D．x2ex1＜x1ex2
【解析】 令f(x)=ex－ln x，则f′(x)=ex－，令h(x)=ex－，则h′(x)=ex＋＞0恒成立，即f′(x)=ex－在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f′=－e＜0，f′(1)=e－1＞0，因此在区间上必然存在唯一x0，使得f′(x0)=0，所以当x∈(0，x0)时，f(x)单调递减；当x∈(x0，1)时，f(x)单调递增，故A，B均错误；令g(x)=，则g′(x)=，当0＜x＜1时，g′(x)＜0，故g(x)在区间(0，1)上为减函数，因为0＜x1＜x2＜1，所以＞，即x2ex1＞x1ex2，故C正确，D不正确．
8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＞0，且f(－1)=0，则不等式＜0的解集是　(－∞，－1)∪(0，1)　．
【解析】 令g(x)=，所以g′(x)=，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＞0，g′(x)＞0，g(x)单调递增．因为f(x)为偶函数，所以f(x)=f(－x)，所以g(－x)==－=－g(x)，所以g(x)为奇函数，所以g(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增．因为f(－1)=0，所以f(1)=0，所以g(－1)=g(1)=0.若x＞0，则＜0等价于g(x)＜g(1)，所以0＜x＜1；若x＜0，则＜0等价于g(x)＜g(－1)，所以x＜－1.综上所述，不等式＜0的解集是(－∞，－1)∪(0，1)．
9．已知函数f(x)的定义域为，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)tan x．若f=，则关于x的不等式f(x)＞sin x的解集是　　．
【解析】 因为f(x)＜f′(x)tan x，x∈，所以f′(x)·sin x－f(x)cos x＞0.令g(x)=，x∈，则g′(x)=＞0，所以g(x)在上为增函数．由f(x)＞sin x，得＞1=，即g(x)＞g，所以x＞．又0＜x＜，所以＜x＜，所以不等式的解集为．
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构造函数比大小
例 1　(1) 已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小顺序为　 　．
(2) 已知a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系是　 　．
变式 1　设a=，b=，c=，则(　 　)
A．a＜c＜b B．c＜b＜a
C．a＜b＜c D．b＜c＜a
构造函数解不等式
例 2　(1) 已知函数f(x)的导数为f′(x)， x∈R，都有f(x)－f′(x)＞0，且f(1)=1，则f(x)＞ex－1的解集为　 　．
(2) (2025·南平期中)若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)＜x，且f(1)=1，则不等式f(x)＜的解集为　 　．
若条件是f′(x)g(x)＋g′(x)f(x)≥0，可构造F(x)=f(x)g(x)，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)＋f(x)≥0，可构造F(x)=exf(x)，则F(x)单调递增；
若条件是xf′(x)＋f(x)≥0，可构造F(x)=xf(x)，则F(x)单调递增；
若条件是xf′(x)＋nf(x)≥0，可构造F(x)=xnf(x)，若xn－1＞0，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)＋nf(x)≥0，可构造F(x)=enxf(x)，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)cos x－f(x)sin x≥0，可构造F(x)=f(x)cos x，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)sin x＋f(x)cos x≥0，可构造F(x)=f(x)sin x，则F(x)单调递增．
变式 2　已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)=e，且对任意的实数x满足
f′(x)－f(x)＜ex，则不等式f(x)＞xex的解集是　 　．
构造函数求参数范围
例 3　(2025·威海期末)已知函数f(x)=2ax2－2x－1＋x，若对 x1，x2∈(1，3)，且x1≠x2，都有＜1，则(　 　)
A．a≤ B．a≤0
C．a≥－3 　D．a≥1
(1) 若对任意x1，x2∈D，当x1≠x2时，恒有＞k，则y=f(x)－kx在D上是增函数；
(2) 若对任意x1，x2∈D，当x1≠x2时，恒有＞，则y=f(x)＋在D上是增函数；
(3) 若对任意x1，x2∈D，当x1≠x2时，恒有＞x1＋x2，则y=f(x)－x2在D上是增函数．
变式 3　已知函数f(x)=x－1－aln x，若a＜0，且对任意x1，x2∈(0，1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤4，则实数a的取值范围是　 　．
配套热练
1．已知a=ln－，b=ln π－π，c=ln 3－3，则(　 　)
A．a＞c＞b B．a＞b＞c
C．b＞c＞a D．b＞a＞c
2．已知x1，x2∈R，则“x1＞x2＞1”是“x1－ln x1＞x2－ln x2”的(　 　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件
3．已知a=，b=ln ，c=，则(　 　)
A．b＜c＜a B．b＜a＜c
C．c＜a＜b D．a＜b＜c
4．已知函数f(x)，若对任意的x∈R都有f′(x)＜f(x)，则2f(2)与e2f(ln 2)的大小关系正确的是(　 　)
A．2f(2)＞e2f(ln 2) B．2f(2)=e2f(ln 2)
C．2f(2)＜e2f(ln 2) D．无法比较大小
5．(2025·孝义二模)设函数f(x)=x3－sin x＋x＋2，则满足f(x)＋f(2－3x)＜4的实数x的取值范围是(　 　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
6．已知函数f(x)=ln x＋ax(a＞0)，若对任意的x1，x2∈，且x1≠x2，不等式|f(x2)－f(x1)|＜恒成立，则实数a的取值范围是(　 　)
A．(0，2) B．(2，＋∞)
C．(0，2] D．[2，＋∞)
7．若0＜x1＜x2＜1，则下列关系式一定成立的是(　 　)
A．ex2＋ln x1＞ex1＋ln x2
B．ex2＋ln x1＜ex1＋ln x2
C．x2ex1＞x1ex2
D．x2ex1＜x1ex2
8．已知f(x)是定义在R上的偶函数，当x＜0时，xf′(x)－f(x)＞0，且f(－1)=0，则不等式＜0的解集是　 　．
9．已知函数f(x)的定义域为，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)＜f′(x)tan x．若f=，则关于x的不等式f(x)＞sin x的解集是　 　．
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专题七
函数与导数
能力进阶　微切口10——构造法在解题中的应用
构造函数比大小
视角
1
b＞a＞c
1
【解析】
a＞b＞c
【解析】
D
变式1　
【解析】
构造函数解不等式
视角
2
(1) 已知函数f(x)的导数为f′(x)， x∈R，都有f(x)－f′(x)＞0，且f(1)=1，则f(x)＞ex－1的解集为_____________．
(－∞，1)
2
【解析】
(1，＋∞)
【解析】
若条件是f′(x)g(x)＋g′(x)f(x)≥0，可构造F(x)=f(x)g(x)，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)＋f(x)≥0，可构造F(x)=exf(x)，则F(x)单调递增；
若条件是xf′(x)＋f(x)≥0，可构造F(x)=xf(x)，则F(x)单调递增；
若条件是xf′(x)＋nf(x)≥0，可构造F(x)=xnf(x)，若xn－1＞0，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)＋nf(x)≥0，可构造F(x)=enxf(x)，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)cos x－f(x)sin x≥0，可构造F(x)=f(x)cos x，则F(x)单调递增；
若条件是f′(x)sin x＋f(x)cos x≥0，可构造F(x)=f(x)sin x，则F(x)单调递增．
已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)=e，且对任意的实数x满足f′(x)－f(x)＜ex，则不等式f(x)＞xex的解集是_____________．
(－∞，1)
变式2　
【解析】
构造函数求参数范围
视角
3
A
3
【解析】
变式3　

【解析】
【答案】[－3，0)
热练
1．
A
【解析】
2．
已知x1，x2∈R，则“x1＞x2＞1”是“x1－ln x1＞x2－ln x2”的 (　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
A
【解析】
3．
D
【解析】
4．
已知函数f(x)，若对任意的x∈R都有f′(x)＜f(x)，则2f(2)与e2f(ln 2)的大小关系正确的是 (　　)
A．2f(2)＞e2f(ln 2) B．2f(2)=e2f(ln 2)
C．2f(2)＜e2f(ln 2) D．无法比较大小
C
【解析】
5．
(2025·孝义二模)设函数f(x)=x3－sin x＋x＋2，则满足f(x)＋f(2－3x)＜4的实数x的取值范围是 (　　)
A．(1，＋∞) B．(－∞，1)
C．(3，＋∞) D．(－∞，3)
A
令函数g(x)=f(x)－2=x3－sin x＋x，其定义域为R，g(－x)=(－x)3－sin(－x)＋(－x)=－(x3－sin x＋x)=－g(x)，函数g(x)是奇函数．
因为g′(x)=3x2－cos x＋1≥0，当且仅当x=0时取等号，所以函数g(x)在R上单调递增．
不等式f(x)＋f(2－3x)＜4 f(x)－2＜－[f(2－3x)－2] g(x)＜－g(2－3x)=g(3x－2)，则x＜3x－2，解得x＞1，所以实数x的取值范围是(1，＋∞)．
【解析】
6．
【解析】
【答案】C
7．
若0＜x1＜x2＜1，则下列关系式一定成立的是 (　　)
A．ex2＋ln x1＞ex1＋ln x2 B．ex2＋ln x1＜ex1＋ln x2
C．x2ex1＞x1ex2 D．x2ex1＜x1ex2
C
【解析】
8．
(－∞，－1)∪(0，1)
【解析】
9．
【解析】

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