资源简介

2　交变电流的描述
[定位·学习目标]　1.通过对周期和频率、峰值和有效值的概念的学习,学会解决峰值和有效值的相关问题,培养物理观念核心素养。2.通过对正弦式交变电流的公式和图像的分析,掌握求解正弦式交变电流的公式和图像的方法,培养科学思维核心素养。
知识点一　周期和频率
探究新知
1.周期(T)
交变电流完成一次周期性变化所需的时间。
2.频率(f)
交变电流完成周期性变化的次数与所用时间之比叫作它的频率,数值等于交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数。
3.周期和频率的关系:T=或f=。
4.角速度与周期、频率的关系:ω==2πf。
正误辨析
依据下面情境,判断下列说法的对错。
(1)打点计时器所接交变电流频率f=50 Hz时,打点周期为T=0.02 s。(　√　)
(2)我国电网中交变电流的频率是100 Hz。(　×　)
(3)交变电流在1 s内电流方向变化的次数就是它的频率。(　×　)
知识点二　峰值和有效值
探究新知
1.峰值:交变电流的最大值。峰值Im或Um可以用来表示电流的强弱或电压的高低。
2.有效值:让交变电流与恒定电流分别通过大小相同的电阻,如果在交变电流的一个周期内它们产生的热量相等,则这个恒定电流的电流与电压的数值就叫作这一交变电流的有效值。
3.正弦式交变电流的有效值与峰值的关系
理论计算表明,正弦式交变电流的有效值I、U与峰值Im、Um之间的关系为I==0.707Im,
U==0.707Um。
正误辨析
依据下面情境,判断下列说法对错。
(1)正弦式交变电流的正负两部分是对称的,所以有效值为零。(　×　)
(2)交变电流的有效值就是一个周期内的平均值。(　×　)
(3)一个正弦式交变电流的峰值同周期、频率一样是不变的,但有效值是随时间不断变化的。(　×　)
知识点三　正弦式交变电流的公式和图像
探究新知
1.正弦式交变电流的公式和图像可以详细描述交变电流的情况。若线圈通过中性面时开始计时,交变电流的图像是正弦曲线。
2.若已知电压、电流最大值分别是Um、Im,周期为T,则正弦式交变电流电压、电流表达式分别为u=Umsint,i=Imsint。
正误辨析
依据下面情境,判断下列说法的对错。
一矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时,产生的交变电动势的图像如图所示。
(1)交变电流的频率是4π Hz。(　×　)
(2)当t=0时,线圈平面与磁感线垂直,磁通量最大。(　√　)
(3)当t=π s时,e有最大值。(　×　)
要点一　周期和频率　峰值和有效值
情境探究
某交流电压的瞬时值表达式为u=6sin 100πt V,把标有“6 V　2 W”字样的小灯泡接在此电源上会不会被烧坏 把耐压值为6 V的电容器接在此电源上会不会被击穿
【答案】 交流电压的瞬时值表达式u=6sin 100πt V中6 V是最大值,其有效值为
6 V,而标有“6 V　2 W”字样的小灯泡中的6 V是有效值,小灯泡不会被烧坏;电容器会被
击穿。
要点归纳
1.周期和频率
(1)理解:交变电流的周期T是指交变电流完成一次周期性变化所需的时间;交变电流的频率f是指交变电流在单位时间内完成周期性变化的次数。周期和频率都是表征交变电流变化快慢的物理量,且f=。
(2)线圈在匀强磁场中的转速与交变电流的周期和频率的关系。
①交变电流的周期就是线圈在磁场中转动一周所用的时间,频率就是线圈在磁场中1 s内转动的圈数。
②交变电流的周期和频率跟线圈转动的角速度ω或转速n有关,其关系为T=,ω=2πf=2πn。
2.峰值
(1)理解:交变电流的峰值Im或Um是指电流或电压所能达到的最大值,线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动时产生的感应电动势的峰值Em=NBSω。
(2)应用。
①电容器耐压值要高于交流电压的峰值,否则电容器就可能被击穿。
②电气元件或设备上所标的耐压值指该元件或设备所能承受的交流电压的最大值。
3.有效值
(1)理解:确定交变电流有效值的依据是电流的热效应。
(2)正弦式交变电流的有效值和峰值的关系。
E==0.707Em,U==0.707Um,I==0.707Im。
(3)有效值的几点说明。
①在计算交变电流通过导体的电功、产生的热量和电功率时,要用交变电流的有效值。
②保险丝的熔断电流为有效值。
③各种使用交变电流的电气设备上所标的额定电压、额定电流均指有效值。
④交流电表的示数为有效值。
⑤我国民用照明电压220 V和动力电压380 V都是指有效值。
⑥若无特别说明,通常所说的交变电流的电压、电流、电动势都是指有效值。
⑦对非正弦式交变电流有效值的计算,时间一般选取一个周期。
典例研习
[例1] (周期和频率)一个矩形线圈在匀强磁场中转动,产生的感应电动势e=220sin 100πt V,则以下说法正确的是(　　)
[A] 交变电流的频率是100π Hz
[B] 交变电流的周期是0.01 s
[C] t=0时,线圈位于中性面
[D] t=0.05 s时,e有最大值
【答案】 C
【解析】 线圈的角速度ω=100π rad/s,则T==0.02 s,故其频率为f==50 Hz,故A、B错误;t=0时e=0,此时线圈处在中性面上,故C正确;t=0.05 s时,e=220sin 100π×0.05 V=0,故D错误。
[例2] (峰值和有效值的关系) 如图所示,正方形线圈abcd绕对称轴OO′在匀强磁场中匀速转动,角速度为 100 rad/s,已知ab=ad=20 cm,匝数N=100,磁感应强度B=1 T,图示位置线圈平面与磁感线平行。闭合回路中线圈的电阻 r=4 Ω,外电阻R=12 Ω。求:
(1)线圈转动过程中感应电动势的最大值;
(2)交流电压表的示数。(结果保留1位小数)
【答案】 (1)400 V　(2)212.1 V
【解析】 (1)线圈转动过程中感应电动势的最大值为
Em=NBSω=100×1×0.2×0.2×100 V=400 V。
(2)线圈转动过程中感应电动势的有效值为E== V=200 V,
交流电压表的示数为U=R=×12 V≈212.1 V。
[例3] (对有效值的理解与计算)先后用如图甲、乙所示的电流通过图丙中的电阻R,则电流表的示数分别为多少 (结果除不尽的保留2位小数)
【答案】 I甲=2.5 A　I乙=4.33 A
【解析】 电流表的示数为通过R的电流的有效值。
题图甲中的i-t图像在前半个周期内是正弦式曲线,它的有效值与正弦式交变电流的有效值相同,有I== A,
后半个周期不产生热量,则交变电流在一个周期内通过电阻R所产生的热量Q交=,
恒定电流在一个周期内通过电阻R所产生的热量Q恒=RT,
因为Q交=Q恒,所以=RT,I甲=2.5 A;
题图乙中周期为0.04 s,前0.02 s内i大小、方向不变,产生的热量Q1=R·,后0.02 s内有效值为,产生的热量Q2=()2R·,
由有效值的定义有R·+()2R·=RT,
可得I乙= A≈4.33 A。
有效值的两种计算方法
(1)公式法:若图像部分是正弦(或余弦)交变电流,其中从零(或最大值)开始的周期整数倍的部分可直接应用正弦式交变电流有效值与最大值间的关系Im=I、Um=U求解。
(2)热效应法:若交变电流为非正弦式交变电流,在计算有效值时要注意根据电流的热效应,抓住“三同”,即“相同时间”内在“相同电阻”上产生“相同热量”。再利用公式Q=I2Rt和Q=t分别求电流有效值和电压有效值。
要点二　交变电流“四值”问题
要点归纳
1.正弦式交变电流“四值”比较及应用
名称 物理含义 重要关系 适用情况
瞬 时 值 交变电流某一时刻的值 e=Emsin ωt i=Imsin ωt 分析交变电流在某一时刻的情况,如计算某一时刻线圈受到的安培力
峰 值 最大的瞬时值 Em=NBSω Im= 电容器的击穿电压
有 效 值 跟交变电流的热效应等效的恒定电动势、电压或电流值 E= U= I= (1)计算与电流热效应相关的量(如电功率、电热、热功率); (2)交流电表的测量值; (3)电气设备标注的额定电压、额定电流; (4)保险丝的熔断电流
平 均 值 交变电流图像中图线与时间轴所围“面积”与时间的比值 =n = 计算通过电路某横截面的电荷量q=Δt=n
2.易错提醒
(1)不能混淆“四值”的物理意义,解决不同的问题要选用不同的物理量。
(2)不能认为有效值是平均值,有效值和平均值的物理意义、计算方法、应用对象都不同。
典例研习
[例4] (交变电流“四值”的比较及应用)如图所示,交流发电机的正方形线框共有N=100匝,总电阻 r=1.0 Ω,线框边长为0.1 m,绕垂直于磁场方向的轴OO′以 ω=400 rad/s的角速度匀速转动,给R=7.0 Ω的电阻供电。线框所在匀强磁场的磁感应强度B=0.1 T,从线框处于中性面时开始计时,则(　　)
[A] 电阻R两端的最大电压为40 V
[B] 通过R的电流方向在0～ s内改变1次
[C] 在0～ s内外力至少对系统做功π J
[D] 在0～ s内通过线框导线横截面的电荷量为 C
【答案】 D
【解析】 线框中产生感应电动势的最大值为Em=NBSω=100×0.1×0.1×0.1×400 V=40 V,则电阻R两端的最大电压为Um=Em=35 V,故A错误;交变电流的周期为T== s,可知通过R的电流方向在0～ s内改变2次,故B错误;线框产生感应电动势的有效值为E==20 V,在0～ s内外力对系统做功的最小值为整个电路消耗的电能,即W=T= J,故C错误;t= s=,此时线框平面与中性面夹角为60°,则在0～ s内通过线框导线横截面的电荷量为q=t=t=N·== C,故D正确。
[例5] (交变电流“四值”问题) 如图所示,水平方向有磁感应强度大小为0.5 T的匀强磁场,单匝矩形线框ab边长为2.5 m,ad边长为 0.4 m,电阻r=1 Ω,线框绕垂直磁场方向的转轴OO′匀速转动,转动的角速度为ω=20π rad/s,线框通过金属滑环与阻值为R=9 Ω的电阻构成闭合回路。t=0时刻线圈平面与磁场方向平行。不计导线电阻,求:
(1)线框在转动过程中电动势的最大值;
(2)交流电压表的示数;(结果保留1位小数)
(3)流过电阻R的电流瞬时值表达式;
(4)经过周期通过R的电荷量。
【答案】 (1)10π V　(2)20.0 V　(3)i=πcos 20πt A　(4)0.05 C
【解析】 (1)电动势的最大值为Em=BSω=10π V。
(2)有效值为E=Em=5π V,
交流电压表的示数为路端电压的有效值,为U=IR=R=π V≈20.0 V。
(3)电流的瞬时值表达式为i=Imcos ωt=cos ωt=πcos 20πt A。
(4)此过程中线圈的平均感应电动势=,
通过电阻R的平均电流　=,
则通过电阻R的电荷量q=Δt==0.05 C。
要点三　正弦式交变电流的公式和图像
情境探究
如图所示,图像可以详细记录和反映交变电流的电流(电压)每个时刻的情况。除此之外,还可以用公式描述交变电流。对于第1节中的表达式u=Umsin ωt,若已知周期T、峰值Um或有效值U(U=),该式可进一步表达成什么
【答案】 因为ω=,则有u=Umsint。再根据正弦式交变电流的有效值与峰值的关系式U=,则有u=Usin t。
要点归纳
1.正弦式交变电流的公式
以电压u为例(电流i、电动势e有类似的关系式):
u=Umsin t=Usin t;
u=Umsin 2πft=Usin 2πft。
2.正弦式交变电流的图像
(1)对正弦式交变电流的图像的理解。
正弦式交变电流的图像描述的是正弦式交变电流随时间变化的规律,它是一条正弦(或余弦)曲线,如图所示。
(2)从图像中可以得到的信息。
①交变电流的峰值Em、Im、Um和周期T。
②因线圈在中性面位置时感应电动势、感应电流均为零,磁通量最大,所以可据此确定线圈位于中性面位置的时刻。
③线圈平面平行磁感线的时刻。
④判断线圈中磁通量的变化情况。
⑤分析判断e、i、u的大小和方向随时间的变化规律。
注意:有时给出Φ-t图像,由E=n可以判断感应电动势的变化情况。
典例研习
[例6] (正弦式交变电流的公式)一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律
图像如图甲所示。已知发电机线圈内阻为5.0 Ω,现外接一个电阻为95.0 Ω的灯泡,如图乙所示。
(1)线圈的角速度是多少
(2)求灯泡两端电压的瞬时值表达式。
(3)电压表的示数是多少
【答案】 (1)100π rad/s　(2)u=209sin 100πt V (3)209 V
【解析】 (1)由题图甲可知交变电流的周期为T=2×10-2 s,
所以角速度为ω==100π rad/s。
(2)电动势的瞬时值表达式为e=220sin 100πt V,
由串联电路特点得电压的瞬时值表达式为
u=·220sin 100πt V
=209sin 100πt V。
(3)电压表的示数为路端电压的有效值U=209 V。
[例7] (正弦式交变电流的图像)如图甲所示,一固定的矩形导体线圈水平放置,线圈的两端接一个小灯泡,在线圈所在空间内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场。已知线圈的匝数n=100,总电阻r=1.0 Ω,所围成矩形的面积S=0.04 m2,小灯泡的电阻R=9.0 Ω,磁感应强度随时间按如图乙所示的规律变化,其中Bm为磁感应强度的最大值,T为磁场变化的周期,不计灯丝电阻随温度的变化,求:(π取3.14)
(1)线圈中产生的感应电动势的最大值;
(2)小灯泡消耗的电功率;
(3)磁感应强度变化的0～时间内,通过小灯泡的电荷量。
【答案】 (1)8 V　(2)2.88 W　(3)4×10-3 C
【解析】 (1)线圈中产生的感应电动势的最大值为
Em=nBmSω=nBmS=100×1.0×10-2×0.04× V=8 V。
(2)回路电流的有效值为I=== A= A,
小灯泡消耗的电功率为P=I2R=()2×9.0 W=2.88 W。
(3)0～时间内电流的平均值==n,
通过小灯泡的电荷量为q=Δt=n== C=4×10-3 C。
1.(多选)实验室某单匝矩形金属线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴匀速转动,线圈中磁通量Φ随时间t变化的情况如图所示。已知线圈的电阻为10 Ω,则下列描述中正确的是(　　)
[A] 线圈产生的交变电流的电动势有效值为5π V
[B] 此交变电流1 s内电流的方向改变100次
[C] 在0.1 s时,线圈通过中性面,感应电动势最大
[D] 该交变电流的频率为5 Hz
【答案】 AD
【解析】 线圈转动的角速度为ω== rad/s=10π rad/s,线圈产生的交变电流的电动势有效值为E=== V=5π V,故A正确;由题中图像可知,一周期内,即0.2 s,电流的方向改变2次,故此交变电流1 s内电流的方向改变 10次,故B错误;在0.1 s时,线圈通过与中性面垂直的位置,线圈内的磁通量为零,感应电动势最大,故C错误;该交变电流的频率为f== Hz=5 Hz,故D正确。
2.(2025·安徽阶段练习)如图所示,磁感应强度为B的匀强磁场与纸面垂直,虚线表示匀强磁场的边界,一半径为r、圆心角为θ(θ<)的扇形单匝线框的圆心O在边界线上。当线框围绕圆心O在纸面内以角速度ω匀速转动时,线框中产生感应电动势的有效值为(　　)
[A] Br2ω [B] Br2ω
[C] Br2ω [D] Br2ω
【答案】 B
【解析】 设线框转动周期为T,而线框转动一周中只有进、出磁场过程才产生感应电动势,因此一周之内产生感应电动势的时间t=2×θ×=,此时感应电动势的大小为Br2ω,根据有效值的定义有×t=×T,所以感应电动势的有效值为E=Br2ω,故选B。
3.(2025·山东济南阶段练习)如图为某交变电流随时间变化的图像,其有效值为(　　)
[A] A [B] A
[C] A [D] A
【答案】 A
【解析】 由题图可知Im=0.5 A,根据电流的热效应,可得I2RT=R·T+R·T,代入数据解得I= A,故选A。
4.如图所示,在磁感应强度B=0.4 T的匀强磁场中,面积为S=0.05 m2,匝数为n=100的矩形线圈abcd绕经过ad边中点和bc边中点连线垂直于磁感线的轴以角速度ω=100 rad/s 匀速转动。已知线圈的电阻r=1 Ω,外电路电阻R=9 Ω。
(1)求线圈转动过程中感应电动势的最大值;
(2)从图示位置开始计时,并规定此时电流沿正方向,写出感应电动势的瞬时值表达式;
(3)在线圈由图示位置转过90°角的过程中,求电阻R上产生的焦耳热;(计算时取π=3)
(4)在线圈由图示位置转过90°角的过程中,求通过电阻R的电荷量。
【答案】 (1)200 V　(2)e=200cos 100t V　(3)27 J　(4)0.2 C
【解析】 (1)依题意,可得线圈转动过程中感应电动势的最大值为Em=nBSω=200 V。
(2)从题中图示位置开始计时,并规定此时电流沿正方向,写出感应电动势的瞬时值表达式为e=Emcos ωt=200cos 100t V。
(3)在线圈由题中图示位置转过90°角的过程中,电阻R上产生的焦耳热为QR=I2Rt,
I=,t==,
联立以上式子,代入数据求得QR=27 J。
(4)在线圈由题中图示位置转过90°角的过程中,通过电阻R的电荷量q===0.2 C。
课时作业
(分值:60分)
基础巩固练
考点一　周期和频率　峰值和有效值
1.(4分)关于交变电流的周期和频率,下列说法正确的是(　　)
[A] 正弦式交变电流的最大值连续出现两次的时间间隔等于一个周期
[B] 1 s内正弦式交变电流出现最大值的次数等于频率
[C] 交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍
[D] 频率为50 Hz的交变电流,其周期等于0.05 s
【答案】 C
【解析】 在一个周期内,正弦式交变电流会出现正向和负向的最大值各一次,相邻两个最大值之间的时间间隔为半个周期,1 s内出现最大值的次数是交变电流频率的2倍,A、B错误;交变电流在一个周期内方向改变两次,即方向变化的频率为交变电流频率的2倍,C正确;频率为50 Hz的交变电流,其周期T== s=0.02 s,D错误。
2.(4分)先后用不同的交流电源给同一盏灯泡供电,第一次灯泡两端的电压随时间按正弦规律变化,如图甲所示;第二次灯泡两端的电压变化规律如图乙所示。若甲、乙图中的U0、T所表示的电压、周期值是相同的,则以下说法正确的是(　　)
[A] 第一次,灯泡两端的电压有效值是 U0
[B] 第一次,灯泡两端的电压有效值是
[C] 第二次,灯泡两端的电压有效值是
[D] 第二次,灯泡两端的电压有效值是 U0
【答案】 A
【解析】 第一次,灯泡两端的电压有效值为U1==U0,故A正确,B错误;第二次,设灯泡两端的电压有效值为U2,则×+×= T,解得U2=U0,故C、D错误。
3.(4分)如图甲为按压式发电手电筒。以一定的频率不断按压手柄时,其内置发电机会产生如图乙所示的交变电流,已知与其串联的白炽灯泡的额定电压为9 V、阻值为18 Ω。若该灯泡恰好正常发光,则该发电机(　　)
[A] 输出电流的最大值为0.5 A
[B] 输出电流的有效值为0.5 A
[C] 输出的交流电频率为50 Hz
[D] 一个周期内输出电流的平均值为0.5 A
【答案】 B
【解析】 白炽灯泡的额定电压为9 V、阻值为18 Ω,由于灯泡恰好正常发光,则输出电流的有效值为I== A=0.5 A,题图乙中电流为正弦式交变电流,则输出电流的最大值为Im=I= A,故A错误,B正确;根据题图乙可知,周期为0.2 s,则频率为f==5 Hz,故C错误;在一个周期内穿过线圈的总磁通量的变化量为零,所以由法拉第电磁感应定律可知,一个周期内的平均电动势为零,则平均电流也等于零,故D错误。
考点二　交变电流“四值”问题
4.(6分)(多选)如图所示,一矩形金属线圈面积为S、匝数为N,在磁感应强度为B的匀强磁场中,以角速度ω绕垂直于磁场的固定轴匀速转动,则(　　)
[A] 感应电动势的峰值是NBSω
[B] 感应电动势的有效值是NBSω
[C] 从中性面开始转过60°时,感应电动势的瞬时值是NBSω
[D] 从中性面开始转过90°的过程中,感应电动势的平均值是
【答案】 AD
【解析】 磁感应强度为B的匀强磁场中,以角速度ω绕垂直于磁场的固定轴匀速转动,则产生的是正弦式交变电流,根据正弦式交变电流产生的规律可知,感应电动势的峰值为Em=NBSω,故A正确;题图中产生的是正弦式交变电流,则感应电动势的有效值是E==
,故B错误;从中性面开始计时,感应电动势的瞬时值表达式为e=NBSωsin ωt,转过60°时,感应电动势的瞬时值为e1=NBSωsin 60°=NBSω,故C错误;在中性面位置,穿过线圈的磁通量大小为Φ1=BS,从中性面开始转过90°,穿过线圈的磁通量大小为Φ2=0,则从中性面开始转过90°的过程中,感应电动势的平均值是=N=N=,故D正确。
5.(4分)如图所示,N匝正方形闭合金属线圈abcd的边长为L、总电阻为R,线圈处于磁感应强度大小为B的匀强磁场中,绕着与磁场垂直且与线圈共面的轴OO′以角速度ω匀速转动,ab边距转轴。下列说法正确的是(　　)
[A] 线圈中感应电动势的有效值为NBL2ω
[B] 从图示位置转过90°过程中,通过线圈的电荷量为
[C] 从图示位置转过90°时,穿过线圈的磁通量最大,线圈中感应电流也最大
[D] 在转动一周的过程中,线圈的发热量是
【答案】 D
【解析】 感应电动势的最大值为Em=NBSω=NBL2ω,则有效值为E==,A错误;线圈转过90°的过程中,通过线圈的电荷量q=t==,B错误;线圈从图示位置转过90°时,线圈与磁场垂直,则穿过线圈的磁通量最大,但磁通量变化率为0,此时感应电动势最小,所以感应电流最小,C错误;在线圈转过一周的时间内电阻R上产生的热量Q=·T=
·=,D正确。
考点三　正弦式交变电流的公式和图像
6.(4分)矩形线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的转轴匀速转动,产生的交流电动势的最大值为Em。设t=0时线圈平面与磁场平行,当线圈的匝数增加一倍,转速也增大一倍,其他条件不变时,交变电流的电动势为(　　)
[A] e=2Emsin 2ωt [B] e=4Emsin 2ωt
[C] e=2Emcos 2ωt [D] e=4Emcos 2ωt
【答案】 D
【解析】 t=0时,线圈平面与磁场平行,此时磁通量为零,感应电动势达到最大值,所以表达式应为余弦函数。当线圈的匝数和转速增加后有N′=2N,ω′=2ω,可得感应电动势的最大值为Em′=N′BSω′=4NBSω=4Em,则瞬时值表达式为e=4Emcos 2ωt,故选D。
7.(6分)(多选)(2024·福建福州开学考试)图甲为小型旋转电枢式交流发电机的原理图,其矩形线圈在匀强磁场中绕着垂直于磁场方向的轴匀速转动。线圈的匝数n=100、电阻r=10 Ω,线圈的两端与R=90 Ω的电阻连接,电流表为理想电表,熔断器电阻忽略不计。从t=0时刻开始计时,穿过每匝线圈的磁通量Φ随时间t按如图乙所示的规律变化。下列说法正确的是(　　)
[A] t=0.01 s时,电流表示数为零
[B] t=0.01 s时,发电机线圈平面与磁场方向垂直
[C] 通过熔断器的电流为3.14 A
[D] 从t=0.01 s到t=0.02 s,通过R的电荷量为0.02 C
【答案】 BD
【解析】 电流表测的是电流的有效值,发电机工作过程中,任何时间内电流表的示数均为其产生电流的有效值,故A错误;根据题图乙可知,t=0.01 s时,Φ最大,即发电机线圈与磁场方向垂直,故B正确;根据题图乙可知,线圈转动过程中产生的是正弦式交变电流,其电动势的最大值为Em=nBSω=nΦm=100× V=100π V,电动势的有效值为E有==
50π V,根据闭合电路的欧姆定律可得,电流的有效值为I==π A,即通过熔断器的电流为π A,故C错误;根据q=Δt=Δt=n·Δt=n,从t=0.01 s到t=0.02 s,其磁通量的变化量ΔΦ=2×10-2 Wb,可得从t=0.01 s到t=0.02 s,通过R的电荷量为q=n=0.02 C,故D正确。
能力提升练
8.(4分)如图所示,图线a是线圈在匀强磁场中匀速转动时所产生的正弦式交变电流的ut图像,当调整线圈转速后,所产生的正弦式交变电流的图像如图线b所示。以下关于这两个正弦式交变电流的说法正确的是(　　)
[A] 在图中t=0时刻穿过线圈的磁通量为零
[B] 线圈先后两次周期之比为3∶2
[C] 交变电流b的电压最大值为 V
[D] 交变电流a的电压瞬时值表达式为u=10sin 0.4t V
【答案】 C
【解析】 在题图中t=0时刻,电压为零,说明线圈处于中性面,磁通量最大,A错误;由题图可知,线圈先后两次周期之比为2∶3,B错误;根据周期公式T=可知=,根据交流电压最大值公式 Em=nBSω可知== V,C正确;交变电流a的电压瞬时值表达式为u=Umsin t=10sin 5πt V,D错误。
9.(10分)如图所示,虚线OO′左侧存在垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度B=,矩形线框abcd以OO′为轴匀速转动,角速度是ω,ad边到OO′轴的距离是L,bc边到OO′轴的距离是2L,ad和bc的长度均是L,请画出从图示位置开始计时的一个周期内瞬时感应电动势随时间变化的关系图形(电流以abcda为正方向),并求出感应电动势的有效值。
【答案】 见解析
【解析】 ad边出磁场前的四分之一周期,瞬时感应电动势为e1=BLv,
则ad边切割磁感线的瞬时有效速度为v=ωLsin ωt,
整理有e1=BL2ωsin ωt,
根据楞次定律可知,
其电流方向为abcda,即为正方向;
在接下来二分之一周期,bc边切割磁感线,其切割的瞬时有效速度为v′=ω·2L·sin ωt,
瞬时感应电动势为e2=BLv′=2BL2ωsin ωt,
由楞次定律可知,在时间内,电流方向为 abcda,在T～T时间内,电流方向为adcba,
T～T时间内,ad边切割磁感线,其瞬时感应电动势同第一个四分之一周期相同,由楞次定律可知,其电流方向为adcba。
综上所述,一个周期内感应电动势瞬时表达式
在0～为e1=BL2ωsin ωt,
在为e2=2BL2ωsin ωt,
在～T为e3=BL2ωsin ωt,
图像如图所示,
设线框总电阻为R,由有效值的定义有T=·+·+·,
解得E=BL2ω。
10.(14分)如图所示,线圈的面积是0.05 m2,共有N=100匝;线圈电阻为1 Ω,外接电阻R=9 Ω,匀强磁场的磁感应强度为B= T,当线圈以n=300 r/min 的转速匀速旋转时,
(1)若从线圈处于中性面开始计时,写出线圈中感应电动势的瞬时值表达式。
(2)线圈转过 s时电动势的瞬时值为多大
(3)电路中交流电压表和交流电流表示数各是多少 (结果保留1位小数)
(4)线圈每转过一周,外力所做的功为多少
【答案】 (1)e=50sin 10πt V　(2)25 V (3)31.8 V　3.5 A　(4)25 J
【解析】 (1)该交变电流电动势的最大值为Em=NBSω=NBS·2πn=50 V,
角速度为ω=2πn=10π rad/s,
若从线圈处于中性面开始计时,感应电动势的瞬时值表达式为e=Emsin ωt=50sin 10πt V。
(2)线圈转过 s时,代入(1)中表达式可得,电动势的瞬时值为e′=25 V。
(3)交流电流表的示数为电流的有效值,由闭合电路欧姆定律可得I=,
其中E=,
联立解得I= A≈3.5 A,
电压表的示数为路端电压有效值U=IR= V≈31.8 V。
(4)线圈每转过一周,外力所做的功等于整个回路产生的焦耳热,W=Q=I2(R+r)T,
一个周期为T=,
代入数据解得W=25 J。(共62张PPT)
2　交变电流的描述
[定位·学习目标]　
1.通过对周期和频率、峰值和有效值的概念的学习,学会解决峰值和有效值的相关问题,培养物理观念核心素养。2.通过对正弦式交变电流的公式和图像的分析,掌握求解正弦式交变电流的公式和图像的方法,培养科学思维核心素养。
探究·必备知识
知识点一　周期和频率
「探究新知」
1.周期(T)
交变电流完成一次 变化所需的时间。
2.频率(f)
交变电流完成周期性变化的次数与所用时间之比叫作它的频率,数值等于交变电流在单位时间内完成周期性变化的 。
周期性
次数
2πf
正误辨析
依据下面情境,判断下列说法的对错。
(1)打点计时器所接交变电流频率f=50 Hz时,打点周期为T=0.02 s。(　　)
(2)我国电网中交变电流的频率是100 Hz。(　　)
(3)交变电流在1 s内电流方向变化的次数就是它的频率。(　　)
√
×
×
知识点二　峰值和有效值
「探究新知」
1.峰值:交变电流的最大值。峰值Im或Um可以用来表示电流的强弱或电压的高低。
2.有效值:让交变电流与恒定电流分别通过大小 的电阻,如果在交变电流的一个周期内它们产生的 相等,则这个恒定电流的电流与电压的数值就叫作这一交变电流的有效值。
相同
热量
3.正弦式交变电流的有效值与峰值的关系
理论计算表明,正弦式交变电流的有效值I、U与峰值Im、Um之间的关系为
I= =0.707Im,U= =0.707Um。
依据下面情境,判断下列说法对错。
(1)正弦式交变电流的正负两部分是对称的,所以有效值为零。(　　)
(2)交变电流的有效值就是一个周期内的平均值。(　　)
(3)一个正弦式交变电流的峰值同周期、频率一样是不变的,但有效值是随时间不断变化的。(　　)
正误辨析
×
×
×
知识点三　正弦式交变电流的公式和图像
「探究新知」
1.正弦式交变电流的公式和图像可以详细描述交变电流的情况。若线圈通过中性面时开始计时,交变电流的图像是 曲线。
2.若已知电压、电流最大值分别是Um、Im,周期为T,则正弦式交变电流电压、
电流表达式分别为u= ,i= 。
正弦
正误辨析
依据下面情境,判断下列说法的对错。
一矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时,产生的交变电动势的图像如图所示。
(1)交变电流的频率是4π Hz。(　　)
(2)当t=0时,线圈平面与磁感线垂直,磁通量最大。(　　)
(3)当t=π s时,e有最大值。(　　)
√
×
×
突破·关键能力
要点一　周期和频率　峰值和有效值
「情境探究」
「要点归纳」
1.周期和频率
(2)线圈在匀强磁场中的转速与交变电流的周期和频率的关系。
①交变电流的周期就是线圈在磁场中转动一周所用的时间,频率就是线圈在磁场中1 s内转动的圈数。
2.峰值
(1)理解:交变电流的峰值Im或Um是指电流或电压所能达到的最大值,线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动时产生的感应电动势的峰值Em=NBSω。
(2)应用。
①电容器耐压值要高于交流电压的峰值,否则电容器就可能被击穿。
②电气元件或设备上所标的耐压值指该元件或设备所能承受的交流电压的最大值。
3.有效值
(1)理解:确定交变电流有效值的依据是电流的热效应。
(2)正弦式交变电流的有效值和峰值的关系。
(3)有效值的几点说明。
①在计算交变电流通过导体的电功、产生的热量和电功率时,要用交变电流的有效值。
②保险丝的熔断电流为有效值。
③各种使用交变电流的电气设备上所标的额定电压、额定电流均指有效值。
④交流电表的示数为有效值。
⑤我国民用照明电压220 V和动力电压380 V都是指有效值。
⑥若无特别说明,通常所说的交变电流的电压、电流、电动势都是指有效值。
⑦对非正弦式交变电流有效值的计算,时间一般选取一个周期。
[例1] (周期和频率)一个矩形线圈在匀强磁场中转动,产生的感应电动势e=220sin 100πt V,则以下说法正确的是(　　)
[A] 交变电流的频率是100π Hz
[B] 交变电流的周期是0.01 s
[C] t=0时,线圈位于中性面
[D] t=0.05 s时,e有最大值
「典例研习」
C
[例2] (峰值和有效值的关系) 如图所示,正方形线圈abcd绕对称轴OO′在匀强磁场中匀速转动,角速度为 100 rad/s,已知ab=ad=20 cm,匝数N=100,磁感应强度B=1 T,图示位置线圈平面与磁感线平行。闭合回路中线圈的电阻 r=4 Ω,外电阻R=12 Ω。求:
(1)线圈转动过程中感应电动势的最大值;
【答案】 (1)400 V
【解析】 (1)线圈转动过程中感应电动势的最大值为
Em=NBSω=100×1×0.2×0.2×100 V=400 V。
(2)交流电压表的示数。(结果保留1位小数)
【答案】 (2)212.1 V
[例3] (对有效值的理解与计算)先后用如图甲、乙所示的电流通过图丙中的电阻R,则电流表的示数分别为多少 (结果除不尽的保留2位小数)
【答案】 I甲=2.5 A　I乙=4.33 A
·规律方法·
有效值的两种计算方法
要点二　交变电流“四值”问题
「要点归纳」
1.正弦式交变电流“四值”比较及应用
2.易错提醒
(1)不能混淆“四值”的物理意义,解决不同的问题要选用不同的物理量。
(2)不能认为有效值是平均值,有效值和平均值的物理意义、计算方法、应用对象都不同。
[例4] (交变电流“四值”的比较及应用)如图所示,交流发电机的正方形线框共有N=100匝,总电阻 r=1.0 Ω,线框边长为0.1 m,绕垂直于磁场方向的轴OO′以 ω=400 rad/s的角速度匀速转动,给R=7.0 Ω的电阻供电。线框所在匀强磁场的磁感应强度B=0.1 T,从线框处于中性面时开始计时,则(　　)
[A] 电阻R两端的最大电压为40 V
「典例研习」
D
[例5] (交变电流“四值”问题) 如图所示,水平方向有磁感应强度大小为0.5 T的匀强磁场,单匝矩形线框ab边长为2.5 m,ad边长为 0.4 m,电阻r=1 Ω,线框绕垂直磁场方向的转轴OO′匀速转动,转动的角速度为ω=20π rad/s,线框通过金属滑环与阻值为R=9 Ω的电阻构成闭合回路。t=0时刻线圈平面与磁场方向平行。不计导线电阻,求:
(1)线框在转动过程中电动势的最大值;
【答案】 (1)10π V
【解析】 (1)电动势的最大值为Em=BSω=10π V。
(2)交流电压表的示数;(结果保留1位小数)
【答案】 (2)20.0 V
(3)流过电阻R的电流瞬时值表达式;
【答案】 (3)i=πcos 20πt A
【答案】 (4)0.05 C
要点三　正弦式交变电流的公式和图像
「情境探究」
「要点归纳」
1.正弦式交变电流的公式
以电压u为例(电流i、电动势e有类似的关系式):
2.正弦式交变电流的图像
(1)对正弦式交变电流的图像的理解。
正弦式交变电流的图像描述的是正弦式交变电流随时间变化的规律,它是一条正弦(或余弦)曲线,如图所示。
(2)从图像中可以得到的信息。
①交变电流的峰值Em、Im、Um和周期T。
②因线圈在中性面位置时感应电动势、感应电流均为零,磁通量最大,所以可据此确定线圈位于中性面位置的时刻。
③线圈平面平行磁感线的时刻。
④判断线圈中磁通量的变化情况。
⑤分析判断e、i、u的大小和方向随时间的变化规律。
[例6] (正弦式交变电流的公式)一台小型发电机产生的电动势随时间变化的正弦规律图像如图甲所示。已知发电机线圈内阻为5.0 Ω,现外接一个电阻为95.0 Ω的灯泡,如图乙所示。
「典例研习」
(1)线圈的角速度是多少
【答案】 (1)100π rad/s
(2)求灯泡两端电压的瞬时值表达式。
(3)电压表的示数是多少
【答案】 (3)209 V
【解析】 (3)电压表的示数为路端电压的有效值U=209 V。
[例7] (正弦式交变电流的图像)如图甲所示,一固定的矩形导体线圈水平放置,线圈的两端接一个小灯泡,在线圈所在空间内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场。已知线圈的匝数n=100,总电阻r=1.0 Ω,所围成矩形的面积S=0.04 m2,小灯泡的电阻R=9.0 Ω,磁感应强度随时间按如图乙所示的规律变化,其中Bm为磁感应强度的最大值,T为磁场变化的周期,不计灯丝电阻随温度的变化,求:(π取3.14)
(1)线圈中产生的感应电动势的最大值;
【答案】 (1)8 V
(2)小灯泡消耗的电功率;
【答案】 (2)2.88 W
【答案】 (3)4×10-3 C
检测·学习效果
1.(多选)实验室某单匝矩形金属线圈在匀强磁场中绕垂直于磁场方向的转轴匀速转动,线圈中磁通量Φ随时间t变化的情况如图所示。已知线圈的电阻为10 Ω,则下列描述中正确的是(　 　)
AD
[B] 此交变电流1 s内电流的方向改变100次
[C] 在0.1 s时,线圈通过中性面,感应电动势最大
[D] 该交变电流的频率为5 Hz
B
3.(2025·山东济南阶段练习)如图为某交变电流随时间变化的图像,其有效值为(　　)
A
4.如图所示,在磁感应强度B=0.4 T的匀强磁场中,面积为S=0.05 m2,匝数为n=100的矩形线圈abcd绕经过ad边中点和bc边中点连线垂直于磁感线的轴以角速度ω=100 rad/s 匀速转动。已知线圈的电阻r=1 Ω,外电路电阻R=9 Ω。
(1)求线圈转动过程中感应电动势的最大值;
【答案】 (1)200 V
【解析】 (1)依题意,可得线圈转动过程中感应电动势的最大值为Em=nBSω=200 V。
(2)从图示位置开始计时,并规定此时电流沿正方向,写出感应电动势的瞬时值表达式;
【答案】 (2)e=200cos 100t V
【解析】 (2)从题中图示位置开始计时,并规定此时电流沿正方向,写出感应电动势的瞬时值表达式为e=Emcos ωt=200cos 100t V。
(3)在线圈由图示位置转过90°角的过程中,求电阻R上产生的焦耳热;(计算时取π=3)
【答案】 (3)27 J
(4)在线圈由图示位置转过90°角的过程中,求通过电阻R的电荷量。
【答案】 (4)0.2 C
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