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3　带电粒子在匀强磁场中的运动
[定位·学习目标]　1.通过探究洛伦兹力演示仪中电子的轨迹,进一步理解带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式和周期公式,培养科学探究和科学思维核心素养。2.通过应用动力学方法和几何方法确定圆周运动的圆心、半径、运动时间,学会用其得到的规律解决问题,培养科学思维核心素养。
知识点一　带电粒子在匀强磁场中的运动
探究新知
1.若v∥B,带电粒子以速度v做匀速直线运动,其所受洛伦兹力F=0。
2.若v⊥B,此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直,粒子在垂直于磁场方向的平面内运动。
(1)洛伦兹力总是与粒子的运动方向垂直,只改变粒子速度的方向,不改变粒子速度的大小。
(2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力。
正误辨析
(1)带电粒子在匀强磁场中一定做匀速圆周运动。(　×　)
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时,洛伦兹力是恒力。(　×　)
(3)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀速圆周运动,不可能做类平抛运动。(　√　)
知识点二　带电粒子在磁场中
做圆周运动的半径和周期
探究新知
1.由qvB=,可得r=,即粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径与它的质量、速度成正比,与电荷量、磁感应强度成反比。
2.由r=和T=,可得T=。带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期跟轨道半径和运动速度无关。
正误辨析
(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,轨道半径跟粒子的速率成正比。(　√　)
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。(　×　)
(3)运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度增大而减小。(　×　)
要点一　对半径公式和周期公式的理解
情境探究
仔细观察下列各图,认真参与探究活动。
探究1:如果沿着与匀强磁场垂直的方向发射一束带电粒子(如图甲),请猜想这束粒子在匀强磁场中的运动径迹,你猜想的依据是什么
【答案】 沿着与匀强磁场垂直的方向射入匀强磁场的带电粒子,在匀强磁场中做匀速圆周运动。依据是粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力的大小不变且总是与粒子的运动方向垂直。
探究2:如图乙,电子枪可以发射电子束,玻璃泡内充有稀薄的气体,在电子束通过时能够显示电子的径迹;励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场,磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。观察丙、丁两图,图中现象说明了什么
【答案】 如果没有磁场,电子被加速后做直线运动,如果加上与速度方向垂直的磁场,电子束将做匀速圆周运动。
探究3:如图甲,假设一个电荷量为q的粒子,以速度v垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动,匀速圆周运动的半径r和周期T分别是多大
【答案】 带电粒子所受的洛伦兹力为F=qvB,洛伦兹力提供向心力,则有qvB=m,由此可解得匀速圆周运动的半径r=。匀速圆周运动的周期T=,将r=代入,可得T=。
探究4:在图丁中,首先保持出射电子的速度不变,改变磁感应强度,然后保持磁感应强度不变,改变出射电子速度的大小。观察实验现象,试检验圆周运动的半径表达式。
【答案】 观察发现,当电子束出射速度不变、磁感应强度变大时,运动半径变小;当磁感应强度不变,电子束出射速度变大时,运动半径变大。即探究3得出的圆周运动的半径表达式是正确的。
要点归纳
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中,
(1)当v∥B时,带电粒子将做匀速直线运动。
(2)当v⊥B时,带电粒子将做匀速圆周运动。
(3)当v与B既不垂直也不平行时,带电粒子做螺旋运动。
2.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径和周期
(1)轨道半径公式r=。
洛伦兹力方向总与速度方向垂直,洛伦兹力充当向心力。根据牛顿第二定律,qvB=m,解得r=。
(2)周期公式T=。
圆周运动的周期T=,将r=代入,解得T=,故周期与速度和轨道半径无关。
典例研习
[例1] (对半径公式的理解)一个带电粒子(不计重力),沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场,粒子的一段径迹如图所示,径迹上每小段可近似看成圆弧,由于带电粒子使沿途空气电离,粒子的动能逐渐减小(带电荷量不变),则由图中情况可判定下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子从a运动到b,带正电
[B] 粒子从b运动到a,带正电
[C] 粒子从a运动到b,带负电
[D] 粒子从b运动到a,带负电
【答案】 B
【解析】 由题意知,粒子的动能逐渐减小,则速度逐渐减小,根据洛伦兹力提供向心力有 qvB=m,可得粒子在磁场中运动的半径r=,所以运动半径逐渐减小,粒子的运动方向是从b到a,再根据左手定则可知,粒子带正电。故选B。
[例2] (对周期公式的理解)质量和电荷量都相等的带电粒子M和N,以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场,运行的半圆轨迹如图中虚线所示,下列表述正确的是(粒子重力不计)(　　)
[A] N带负电,M带正电
[B] N的速率大于M的速率
[C] N的运动时间小于M的运动时间
[D] N的运动时间等于M的运动时间
【答案】 D
【解析】 由左手定则判断出M带负电荷,N带正电荷,故A错误;带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,得r=,由题图可知N的运动半径小于M的运动半径,所以M的速率大于N的速率,故B错误;粒子在磁场中运动半周,即运动时间为其周期的一半,而周期为T=,与粒子运动的速率无关,所以M的运动时间等于N的运动时间,故C错误,D正确。
由周期公式T=可知,在磁场一定的情况下,比荷相同的带电粒子其周期相同;由轨道半径r=可知,在同一磁场中,比荷相同的带电粒子,粒子运动半径大则对应的速率大。
要点二　圆周运动的圆心、半径、运动时间的确定
情境探究
仔细观察下列各图,认真参与探究活动。
探究1:图甲中确定轨迹圆心的依据是什么
【答案】 轨道半径和速度垂直,两个半径的交点必然是圆心。
探究2:图乙中确定轨迹圆心的依据是什么
【答案】 速度的垂线必过圆心,弦的中垂线必通过圆心,两线交点必为圆心。
探究3:图丙中各个角度之间的关系是什么
【答案】 粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹圆心角(α),并等于弦AB与切线的夹角(弦切角θ)的2倍。
要点归纳
1.轨迹圆心的确定
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上。
已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时,可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如情境探究图甲所示,P为入射点,M为出射点)。
(2)圆心一定在弦的中垂线上。
已知入射方向、入射点和出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如情境探究图乙所示,P为入射点,M为出射点)。
2.轨道半径的确定
方法一(由动力学关系求):由于qvB=,因此轨道半径r=。
方法二(由几何关系求):以情境探究中甲、乙、丙三图为例,一般由数学知识通过计算来确定,解直角三角形是最常用的方法。
3.运动时间的确定
方法一(由圆心角求):t=T或t= T。
方法二(由弧长求):t=。
4.正确识别或作出图像必须注意“四点、六线、三角”
四点:入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度直线与出射速度直线的交点。
六线:圆弧两端点所在的轨道半径,入射速度直线和出射速度直线,入射点与出射点的连线,圆心与两条速度直线交点的连线。
三角:速度偏转角、圆心角、弦切角(如情境探究图丙所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹圆心角(α),并等于弦AB与切线的夹角(弦切角θ)的 2倍,即φ=α=2θ=ωt。
典例研习
[例3] (圆心、半径的确定)一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力),从x轴上的P(a,0)点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰好垂直于y轴射出第一象限。求:
(1)匀强磁场的磁感应强度的大小B;
(2)射出点的坐标。
【答案】 (1)　(2)(0,a)
【解析】 (1)根据题意可作出粒子的轨迹圆心如图所示,由几何关系得粒子做圆周运动的半径为
r==,
由洛伦兹力提供向心力有
qvB=m,
解得B=。
(2)射出点的纵坐标为y=r+rcos 60°=a,
射出点的坐标为(0,a)。
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
问题的解题三步骤
[例4] (磁场中圆周运动的综合分析)(2025·福建龙岩期末)如图所示,边长为L的正方形abcd区域内分布有磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从cd边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子,粒子沿纸面与Pd成30°的方向射入该磁场区域,不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用。
(1)求带电粒子在该磁场中做匀速圆周运动的周期T;
(2)若粒子能从cd边界离开磁场,求粒子在磁场中运动的时间t;
(3)若粒子离开磁场时的速度方向偏转了120°,求该粒子的速度大小v。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动过程中,由牛顿第二定律有qvB=,
根据圆周运动的周期公式T=,
联立解得T=。
(2)根据题意,画出粒子的运动轨迹,如图甲所示。
由图可知,若粒子从边界cd离开磁场,由对称性可知,运动轨迹所对圆心角为θ=π,
其运动时间t=T,
联立可得t=。
(3)根据题意可知,若带电粒子在磁场中运动的圆心角为120°,则弦切角为60°,由几何关系可知,过P点作cd边的垂线,与ab边交点为Q,即粒子从ab边界中点Q离开磁场,运动轨迹如图乙所示,
由几何关系可知rsin 60°=L,
解得r=L,
根据牛顿第二定律有
qvB=m,解得v=。
“磁发散”与“磁聚焦”
核心归纳
在圆形边界的匀强磁场中,如果带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域圆的半径,则有如下两个重要结论:
磁发散 磁聚焦
如图甲所示,当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时,粒子离开磁场时的速度方向一定平行,而且与入射点的切线方向平行。此情境称为“磁发散” 如图乙所示,当粒子以互相平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时,粒子一定会从同一点离开磁场区域,而且该点切线与入射方向平行。此情境称为“磁聚焦”
典例研习
[例题] (多选)我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作,可作为太空发动机使用,带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图,实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场 Ⅰ、Ⅱ,磁感应强度分别为B1、B2,两圆半径均为r,相切于O点,一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都会聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m,电荷量均为+q,进入磁场的速度均为v,不计带电粒子所受重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是(　　)
[A] B1的大小为
[B] 从O点进入磁场Ⅱ的粒子的速度大小不相等
[C] 若B2=2B1,则粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上
[D] 若B2=0.5B1,则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为
【答案】 ACD
【解析】 由磁聚焦的特点可知,粒子在磁场中的运动半径与磁场圆的半径相等,即qvB1=,解得 B1=,A正确;洛伦兹力只改变带电粒子的运动方向,不改变其速度的大小,B错误;若B2=2B1,则r2==r,由此可知,粒子离开磁场Ⅱ最远的位置与原点距离为r,如图甲所示,弦所对圆心角为60°,故粒子在磁场Ⅱ的边界的射出点在六分之一圆周上,C正确;若B2=0.5B1,则r2==2r,由此可知,粒子离开磁场Ⅱ运动轨迹的弦越长,运动的时间越长,如图乙所示,粒子在磁场中运动轨迹的圆心角为60°,则粒子在磁场Ⅱ中运动的最长时间为t=×=,D正确。
1.一带电粒子(不计重力)在匀强磁场中沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动,当它运动到某个位置时,磁场突然发生变化(不考虑磁场变化产生的电场),磁感应强度大小变为原来的,方向与原磁场方向相反,则磁场发生变化后粒子的运动轨迹为(　　)
[A] 　　　 [B]
[C] 　　　 [D]
【答案】 C
【解析】 带电粒子在匀强磁场中沿顺时针方向做半径为R的匀速圆周运动,当它运动到某个位置时,磁感应强度大小变为原来的,方向与原磁场方向相反,根据左手定则可知,带电粒子受到的洛伦兹力方向与原来相反,则带电粒子将做逆时针方向的匀速圆周运动;根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得R=,由于磁感应强度大小变为原来的,则轨道半径变为原来的 2倍,即为2R。故选C。
2.如图所示,矩形虚线框MNQP内有一匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子,它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场,图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子a带负电
[B] 粒子c的速度最大
[C] 粒子b在磁场中运动的时间最长
[D] 粒子b在磁场中运动时受到的向心力最大
【答案】 D
【解析】 根据左手定则可知,粒子a带正电,粒子b、c带负电,选项A错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动时,由洛伦兹力提供向心力,由牛顿第二定律得qvB=m,解得v=,由于q、B、m都相同,因此r越大,粒子速度越大,由题图可知,b的轨道半径r最大,则粒子b速度最大,选项B错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T=,粒子在磁场中的运动时间为t=T=,由于m、q、B都相同,粒子c转过的圆心角θ最大,则粒子c在磁场中运动的时间最长,选项C错误;粒子在磁场中做匀速圆周运动时,由洛伦兹力提供向心力,即 F向=
qvB,由于q、B相同,粒子b速度最大,则粒子b在磁场中运动时受到的向心力最大,选项D正确。
3.如图所示,在y<0的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于xOy平面并指向纸面外,磁感应强度为B,一带正电的粒子(不计重力)以速度v0从O点射入磁场,入射方向与x轴正方向的夹角为θ,再回到x轴的交点到O的距离为L。求:
(1)该粒子的比荷;
(2)粒子在运动过程中与x轴的最远距离d和粒子在磁场中运动的时间t。
【答案】 (1)　(2)(1+cos θ)　
【解析】 (1)带正电的粒子射入磁场后,由于受到洛伦兹力的作用,粒子将沿图示的轨道运动,从A点射出磁场,O、A间的距离为L,设粒子运动的轨道半径为R,由洛伦兹力提供向心力可得
qv0B=,
由几何关系得Rsin θ=,
解得比荷=。
(2)根据几何关系可得d=R+Rcos θ,
解得d=(1+cos θ),
运动时间t=T,
周期T==,
解得t=。
课时作业
(分值:60分)
基础巩固练
考点一　对半径公式和周期公式的理解
1.(4分)动量大小相等的氕核H)和氘核H)在同一匀强磁场中仅受洛伦兹力做匀速圆周运动,则它们(　　)
[A] 运动的半径相等
[B] 向心加速度的大小相等
[C] 运动的周期相等
[D] 所受洛伦兹力的大小相等
【答案】 A
【解析】 由洛伦兹力充当向心力有qvB=m,得 r=,又两粒子动量大小相等,即mv相等,两粒子的电荷量q也相同,则圆周运动的半径相等,故A正确;两粒子做匀速圆周运动,向心加速度a=,又两粒子动量大小相等,即mv相等,但两粒子的质量m不同,则v不同,又r相同,则a不同,故B错误;周期T=,因为粒子运动的半径r相等,v不同,则T不同,故C错误;由洛伦兹力的公式得F=qvB,两粒子v不同,电荷量q相同,则所受洛伦兹力的大小不等,故D错误。
2.(4分)如图所示,空间中分布有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,有一个质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子静止在O点。某时刻,该粒子炸裂成P、Q两部分,P粒子的质量为、电荷量为,Q粒子的质量为、电荷量为。不计粒子所受重力,下列说法正确的是(　　)
[A] P粒子与Q粒子的半径之比r1∶r2=2∶1
[B] P粒子与Q粒子的半径之比r1∶r2=1∶2
[C] P粒子与Q粒子的周期之比T1∶T2=2∶1
[D] P粒子与Q粒子的周期之比T1∶T2=1∶2
【答案】 A
【解析】 粒子炸裂过程动量守恒,根据动量守恒定律可得P、Q两部分的动量大小相等,再根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=,解得粒子的轨迹半径r==;由此可知P粒子和Q粒子的半径之比与电荷量成反比,即===2,故A正确,B错误;粒子的周期T==,据此可知P粒子与Q粒子的周期之比====1,故C、D错误。
考点二　圆周运动的圆心、半径、运动时间的确定
3.(6分)(多选)(2025·云南昭通期中)如图,一边界平行的有界匀强磁场垂直于纸面向外,一个带正电荷的粒子以初速度v0垂直磁场的边界射入匀强磁场中,离开磁场时速度方向偏转了30°角。已知匀强磁场的宽度为d,不计粒子所受的重力,则带电粒子在磁场中(　　)
[A] 做匀变速曲线运动
[B] 向心加速度大小为
[C] 运动的时间为
[D] 受到的磁场力的冲量为零
【答案】 BC
【解析】 带电粒子在磁场中做匀速圆周运动,加速度方向不断变化,不是匀变速曲线运动,A错误;如图,分别过入射点和出射点作入射方向和出射方向的垂线,两垂线交点即为圆心,根据几何关系可知粒子做圆周运动的半径r=2d,则粒子的向心加速度大小为an==,
B正确;粒子运动的时间t=×=,C正确;由于粒子的动量发生变化,所以粒子受到的磁场力的冲量不为零,D错误。
4.(4分)如图,在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为B和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子(不计重力)垂直于x轴射入第二象限,随后垂直于y轴进入第一象限,最后经过x轴离开第一象限。粒子在磁场中运动的时间为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 设粒子进入磁场的速率为v,由qvB=可得,在第二象限内的半径R2=,在第一象限内的半径R1=,即R1=2R2。粒子在磁场中的运动轨迹如图,即运动由两部分组成,第一部分是个周期,第二部分是个周期,粒子在第二象限运动转过的角度为90°,则运动的时间为t2==·=;粒子在第一象限转过的角度为60°,则运动的时间为t1==
·=;综上,粒子在磁场中运动的时间为t=t1+t2=+=。故选B。
5.(4分)如图所示,圆形区域内有垂直于纸面的匀强磁场,三个质量和电荷量都相同的带电粒子a、b、c,以不同速率对准圆心O沿着AO方向射入磁场,其运动轨迹如图。若带电粒子只受洛伦兹力作用,则下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子a动能最大
[B] 粒子b速率最大
[C] 粒子c在磁场中运动时间最短
[D] 它们做圆周运动的周期Ta【答案】 C
【解析】 根据几何关系找出各个粒子运动轨迹的圆心,如图所示,粒子在磁场中运动,有qvB=m,可得 R=,由图可知,粒子a的轨道半径最小,速率最小,动能最小,粒子c的轨道半径最大,速率最大,A、B错误;粒子在磁场中运动的周期为T==,而三个粒子的质量和电荷量都相同,故它们做圆周运动的周期相同,粒子在磁场中运动的时间为t=T,由图可知粒子c的偏转角最小,故时间最短,C正确,D错误。
6.(12分)如图所示,直线MN上方有垂直于纸面向外的磁感应强度为B的匀强磁场。正、负电子同时从同一点O以与MN成30°角的速度v射入磁场(电子质量为m,电荷量为e)。
(1)它们从磁场中射出时相距多远
(2)射出的时间差是多少
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)由左手定则知正、负电子在磁场中偏转方向相反,做匀速圆周运动的半径相同,均设为r,根据牛顿第二定律有evB=m,
解得r=。
作出运动轨迹如图所示,
根据几何关系可得它们从磁场中射出时相距
d=2r=。
(2)正、负电子运动的周期均为
T==,
根据几何关系可知,正、负电子转过的圆心角分别为60°和300°,所以射出的时间差是
Δt=T=。
能力提升练
7.(6分)(多选)(2023·全国甲卷)光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴线的匀强磁场,筒上P点开有一个小孔,过P的横截面是以O为圆心的圆,如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入,然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前后瞬间,速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变,沿法线方向的分量大小不变、方向相反;电荷量不变,不计重力。下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子的运动轨迹可能通过圆心O
[B] 最少经2次碰撞,粒子就可能从小孔射出
[C] 射入小孔时粒子的速度越大,在圆内运动时间越短
[D] 每次碰撞后瞬间,粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线
【答案】 BD
【解析】 带电粒子在与筒壁的两次碰撞过程中,其轨迹圆弧的两端间的切线延长线一定交于磁场圆的圆心O,由几何关系可知,粒子运动的轨迹不可能通过O,选项A错误;设粒子带负电,由题意可知,若粒子最终从P点射出,粒子射入磁场与筒壁发生若干次碰撞以后轨迹的圆心组成的多边形为以筒壁为内切圆的多边形,最少应为三角形,如图所示,即撞击两次,选项B正确;速度越大,粒子做圆周运动的半径越大,碰撞次数可能会增多,粒子在圆内运动时间不一定减少,选项C错误;粒子每次与筒壁碰撞前后,速度均沿圆筒半径且方向相反,则碰撞后瞬间,粒子的速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线,选项D正确。
8.(4分)如图所示,真空室内存在磁场方向垂直于纸面向里、磁感应强度的大小为 B=
0.30 T的匀强磁场。磁场内有一块较大的平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在与ab板的距离为 l=32 cm处,有一个点状的α粒子放射源S,它能向各个方向发射α粒子,带正电的α粒子(不计重力)速度都是v=3.0×106 m/s。已知α粒子的电荷量与质量之比为=5.0×
107 C/kg,现只考虑在纸面内运动的α粒子,则感光板ab上被α粒子打中区域的长度为(　　)
[A] 40 cm [B] 30 cm [C] 35 cm [D] 42 cm
【答案】 A
【解析】 α粒子带正电,故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用R表示轨道半径,有qvB=m,解得R=20 cm,由于2R>l>R,且朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,由此可知,某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切,则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点;再考虑N的右侧,任何α粒子在运动中与S的距离不可能超过2R,以2R为半径、S为圆心作圆,交ab于N右侧的P2点,此即右侧能打到的最远点。粒子运动轨迹如图所示,定出P1点的位置,可作平行于ab的直线cd,cd到ab的距离为R,以S为圆心,R为半径,作弧交cd于Q点,过Q作ab的垂线,它与ab的交点即为P1。根据几何关系可得NP1==16 cm,由图中几何关系得NP2==24 cm,所求长度为P1P2=NP1+NP2=16 cm+24 cm=
40 cm。故选A。
9.(16分)(2025·辽宁大连月考)如图所示,仅在xOy平面的第Ⅰ象限内存在垂直于纸面的匀强磁场,一细束电子从x轴上的P点以大小不同的速率射入该磁场中,速度方向均与x轴正方向成锐角θ=30°。已知速率为v0的电子可从x轴上的Q点离开磁场,不计电子间的相互作用,电子所受的重力可以忽略,已知PQ=l,OP=3l,电子的电荷量为e,质量为m,求:
(1)磁感应强度的大小和方向;
(2)能从y轴垂直射出的电子的速率;
(3)从Q点离开磁场和从y轴垂直射出的两电子在磁场中运动的时间之比。
【答案】 (1),方向垂直于纸面向外
(2)6v0　(3)2∶1
【解析】 (1)电子在磁场中做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,电子的运动轨迹如图甲所示,
由牛顿运动定律得
ev0B=m,
又由几何知识可得,从Q点射出的电子,其轨迹半径
R===l,
联立解得B=,
电子在磁场中沿逆时针方向做圆周运动,由左手定则可知,磁感应强度的方向为垂直于纸面向外。
(2)设电子从y轴垂直射出的速率为v、半径为r,轨迹如图乙所示,
根据几何关系有rsin θ=3l,
又由牛顿运动定律得
evB=m,
解得电子的速率
v==6v0。
(3)电子在磁场中运动的周期T=,与速度无关,
电子在磁场中运动的时间t=T,
从Q点射出的电子在磁场中转过的角度为α1=300°,从y轴垂直射出的电子在磁场中转过的角度为α2=150°,联立可得从Q点离开磁场和从 y轴垂直射出的两电子在磁场中运动的时间之比 t1∶t2=α1∶α2=2∶1。(共48张PPT)
3　带电粒子在匀强磁场中的运动
[定位·学习目标]　
1.通过探究洛伦兹力演示仪中电子的轨迹,进一步理解带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的半径公式和周期公式,培养科学探究和科学思维核心素养。2.通过应用动力学方法和几何方法确定圆周运动的圆心、半径、运动时间,学会用其得到的规律解决问题,培养科学思维核心素养。
探究·必备知识
知识点一　带电粒子在匀强磁场中的运动
「探究新知」
1.若v∥B,带电粒子以速度v做匀速直线运动,其所受洛伦兹力F= 。
2.若v⊥B,此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向 ,粒子在垂直于 方向的平面内运动。
(1)洛伦兹力总是与粒子的运动方向 ,只改变粒子速度的 ,不改变粒子速度的 。
(2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做 运动, 提供向心力。
0
垂直
磁场
垂直
方向
大小
匀速圆周
洛伦兹力
正误辨析
(1)带电粒子在匀强磁场中一定做匀速圆周运动。(　 　)
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时,洛伦兹力是恒力。(　 　)
(3)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀速圆周运动,不可能做类平抛运动。(　 　)
×
×
√
知识点二　带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期
「探究新知」
正
反
无关
(1)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,轨道半径跟粒子的速率成正比。
(　 　)
(2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比。
(　 　)
(3)运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度增大而减小。(　 　)
正误辨析
×
×
√
突破·关键能力
要点一　对半径公式和周期公式的理解
仔细观察下列各图,认真参与探究活动。
「情境探究」
探究1:如果沿着与匀强磁场垂直的方向发射一束带电粒子(如图甲),请猜想这束粒子在匀强磁场中的运动径迹,你猜想的依据是什么
【答案】 沿着与匀强磁场垂直的方向射入匀强磁场的带电粒子,在匀强磁场中做匀速圆周运动。依据是粒子在匀强磁场中所受洛伦兹力的大小不变且总是与粒子的运动方向垂直。
探究2:如图乙,电子枪可以发射电子束,玻璃泡内充有稀薄的气体,在电子束通过时能够显示电子的径迹;励磁线圈能够在两个线圈之间产生匀强磁场,磁场的方向与两个线圈中心的连线平行。观察丙、丁两图,图中现象说明了什么
【答案】 如果没有磁场,电子被加速后做直线运动,如果加上与速度方向垂直的磁场,电子束将做匀速圆周运动。
探究3:如图甲,假设一个电荷量为q的粒子,以速度v垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中做匀速圆周运动,匀速圆周运动的半径r和周期T分别是多大
探究4:在图丁中,首先保持出射电子的速度不变,改变磁感应强度,然后保持磁感应强度不变,改变出射电子速度的大小。观察实验现象,试检验圆周运动的半径表达式。
【答案】 观察发现,当电子束出射速度不变、磁感应强度变大时,运动半径变小;当磁感应强度不变,电子束出射速度变大时,运动半径变大。即探究3得出的圆周运动的半径表达式是正确的。
1.带电粒子在匀强磁场中的运动
带电粒子(不计重力)以一定的速度v进入磁感应强度为B的匀强磁场中,
(1)当v∥B时,带电粒子将做匀速直线运动。
(2)当v⊥B时,带电粒子将做匀速圆周运动。
(3)当v与B既不垂直也不平行时,带电粒子做螺旋运动。
「要点归纳」
2.带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径和周期
[例1] (对半径公式的理解)一个带电粒子(不计重力),沿垂直于磁场的方向射入一匀强磁场,粒子的一段径迹如图所示,径迹上每小段可近似看成圆弧,由于带电粒子使沿途空气电离,粒子的动能逐渐减小(带电荷量不变),则由图中情况可判定下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子从a运动到b,带正电
[B] 粒子从b运动到a,带正电
[C] 粒子从a运动到b,带负电
[D] 粒子从b运动到a,带负电
「典例研习」
B
[例2] (对周期公式的理解)质量和电荷量都相等的带电粒子M和N,以不同的速率经小孔S垂直进入匀强磁场,运行的半圆轨迹如图中虚线所示,下列表述正确的是(粒子重力不计)(　　)
[A] N带负电,M带正电
[B] N的速率大于M的速率
[C] N的运动时间小于M的运动时间
[D] N的运动时间等于M的运动时间
D
·规律方法·
要点二　圆周运动的圆心、半径、运动时间的确定
「情境探究」
仔细观察下列各图,认真参与探究活动。
探究1:图甲中确定轨迹圆心的依据是什么
【答案】 轨道半径和速度垂直,两个半径的交点必然是圆心。
探究2:图乙中确定轨迹圆心的依据是什么
【答案】 速度的垂线必过圆心,弦的中垂线必通过圆心,两线交点必为圆心。
探究3:图丙中各个角度之间的关系是什么
【答案】 粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹圆心角(α),并等于弦AB与切线的夹角(弦切角θ)的2倍。
「要点归纳」
1.轨迹圆心的确定
(1)圆心一定在垂直于速度的直线上。
已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时,可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线,两条直线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如情境探究图甲所示,P为入射点,M为出射点)。
(2)圆心一定在弦的中垂线上。
已知入射方向、入射点和出射点的位置时,可以通过入射点作入射方向的垂线,连接入射点和出射点,作其中垂线,这两条垂线的交点就是圆弧轨迹的圆心(如情境探究图乙所示,P为入射点,M为出射点)。
2.轨道半径的确定
方法二(由几何关系求):以情境探究中甲、乙、丙三图为例,一般由数学知识通过计算来确定,解直角三角形是最常用的方法。
3.运动时间的确定
4.正确识别或作出图像必须注意“四点、六线、三角”
四点:入射点、出射点、轨迹圆心、入射速度直线与出射速度直线的交点。
六线:圆弧两端点所在的轨道半径,入射速度直线和出射速度直线,入射点与出射点的连线,圆心与两条速度直线交点的连线。
三角:速度偏转角、圆心角、弦切角(如情境探究图丙所示)。粒子速度的偏转角(φ)等于轨迹圆心角(α),并等于弦AB与切线的夹角(弦切角θ)的 2倍,即φ=α=2θ=ωt。
[例3] (圆心、半径的确定)一个质量为m、电荷量为q的带电粒子(不计重力),从x轴上的P(a,0)点以速度v沿与x轴正方向成60°角的方向射入第一象限内的匀强磁场中,并恰好垂直于y轴射出第一象限。求:
「典例研习」
(1)匀强磁场的磁感应强度的大小B;
(2)射出点的坐标。
·规律方法·
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动
问题的解题三步骤
[例4] (磁场中圆周运动的综合分析)(2025·福建龙岩期末)如图所示,边长为L的正方形abcd区域内分布有磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场。从cd边的中点P处发射速率不同、质量为m、电荷量为q的带正电粒子,粒子沿纸面与Pd成30°的方向射入该磁场区域,不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用。
(1)求带电粒子在该磁场中做匀速圆周运动的周期T;
(2)若粒子能从cd边界离开磁场,求粒子在磁场中运动的时间t;
(3)若粒子离开磁场时的速度方向偏转了120°,求该粒子的速度大小v。
提升·核心素养
“磁发散”与“磁聚焦”
「核心归纳」
在圆形边界的匀强磁场中,如果带电粒子做匀速圆周运动的半径恰好等于磁场区域圆的半径,则有如下两个重要结论:
磁发散 磁聚焦
如图甲所示,当粒子从磁场边界上同一点沿不同方向进入磁场区域时,粒子离开磁场时的速度方向一定平行,而且与入射点的切线方向平行。此情境称为“磁发散” 如图乙所示,当粒子以互相平行的速度从磁场边界上任意位置进入磁场区域时,粒子一定会从同一点离开磁场区域,而且该点切线与入射方向平行。此情境称为“磁聚焦”
「典例研习」
[例题] (多选)我国研制的世界首套磁聚焦霍尔电推进系统已经完成了全部在轨飞行验证工作,可作为太空发动机使用,带电粒子流的磁聚焦是其中的关键技术之一。如图,实线所示的两个圆形区域内存在垂直于纸面的匀强磁场 Ⅰ、Ⅱ,磁感应强度分别为B1、B2,两圆半径均为r,相切于O点,一束宽度为2r的带电粒子流沿x轴正方向射入后都会聚到坐标原点O。已知粒子的质量均为m,电荷量均为+q,进入磁场的速度均为v,不计带电粒子所受重力及粒子间的相互作用力。下列说法正确的是(　　 )
ACD
检测·学习效果
C
[A] 　　 　 [B] [C] 　　　 [D]
2.如图所示,矩形虚线框MNQP内有一匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里。a、b、c是三个质量和电荷量都相等的带电粒子,它们从PQ边上的中点沿垂直于磁场的方向射入磁场,图中画出了它们在磁场中的运动轨迹。粒子重力不计,下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子a带负电
[B] 粒子c的速度最大
[C] 粒子b在磁场中运动的时间最长
[D] 粒子b在磁场中运动时受到的向心力最大
D
3.如图所示,在y<0的区域内存在匀强磁场,磁场方向垂直于xOy平面并指向纸面外,磁感应强度为B,一带正电的粒子(不计重力)以速度v0从O点射入磁场,入射方向与x轴正方向的夹角为θ,再回到x轴的交点到O的距离为L。求:
(1)该粒子的比荷;
【解析】 (1)带正电的粒子射入磁场后,由于受到洛伦兹力的作用,粒子将沿图示的轨道运动,从A点射出磁场,O、A间的距离为L,设粒子运动的轨道半径为R,由洛伦兹力提供向心力可得
(2)粒子在运动过程中与x轴的最远距离d和粒子在磁场中运动的时间t。
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