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微专题3　带电粒子在匀强磁场中运动的几类典型问题
[定位·学习目标]　1.通过对有界磁场的常见类型的分析,学会解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法,培养科学思维核心素养。2.通过对动态圆的分析,学会用动态圆来解决带电粒子在磁场中运动的临界与极值问题,培养科学思维核心素养。3.通过对带电粒子在磁场中运动的多解问题的分析,学会解决带电粒子在磁场中运动的多解问题的方法,培养科学思维核心素养。
要点一　带电粒子在有界磁场中的运动问题
要点归纳
1.有界磁场的常见类型
(1)直线边界磁场:如图所示,粒子进出磁场具有对称性,且粒子以多大的锐角θ射入磁场,就以多大的锐角θ射出磁场;粒子进入磁场时的速度v垂直于边界时,出射点距离入射点最远,且dmax=2R,如图甲所示;同一出射点,可能对应粒子的两个入射方向,且一个“优弧”,一个“劣弧”,如图乙、丙所示。
(2)平行边界磁场:常见的几何关系和临界情境如图所示。
(3)矩形边界磁场:如图所示,可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。
(4)三角形边界磁场:如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直于AB方向进入磁场的临界轨迹示意图。粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
(5)圆形边界磁场。
带电粒子在圆形边界磁场区域运动的几个特点:
①沿半径方向射入的粒子必沿半径方向射出,如图甲所示。
②不沿半径方向射入的粒子,射入速度与半径方向的夹角为θ,射出速度与半径的夹角也为θ,如图乙所示。
2.解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法
解决此类问题时,找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小,以及与半径相关的几何关系是解题的关键。解决此类问题时应注意运用下列结论:
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速度v一定时,弧长(或弦长)越长或者圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时,圆心角越大,运动时间越长。
(4)在圆形匀强磁场中,当轨迹圆的半径大于磁场圆的半径且入射点和出射点位于磁场圆同一直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大,运动时间最长。
典例研习
[例1] (直线边界的磁场)如图所示,一电荷量为q、质量为m的粒子(不计重力),从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入匀强磁场中,经过时间t后到达直线上的P点。
(1)求粒子做圆周运动的周期;
(2)求磁感应强度B的大小;
(3)若O、P之间的距离为a,求粒子运动速度的大小。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,
由图可知轨迹对应的圆心角为300°,则有
t=T=T,
解得粒子做圆周运动的周期为T=。
(2)根据洛伦兹力提供向心力可得
qvB=m,
又T=,
联立可得T=,
则磁感应强度的大小为
B==。
(3)若O、P之间的距离为a,根据几何关系可得
rsin 30°=,
又r=,
联立解得粒子运动速度的大小
v==。
[例2] (平行边界的磁场)如图所示,xOy坐标平面内一有界匀强磁场区域(边界平行x轴),方向垂直于坐标平面向里。质量为m、电荷量为q的粒子,以大小为v的初速度从O点沿x轴正方向开始运动,粒子经过y轴上与O点距离为(+1)d的P点,此时粒子速度方向与y轴正方向的夹角θ=45°。不计粒子所受的重力。求:
(1)磁场的磁感应强度大小B;
(2)粒子从O点运动到P点的时间t。
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,作出粒子的运动轨迹,如图所示,
根据几何关系有
R+=(+1)d,
得R=d,
根据洛伦兹力提供向心力,有
qvB=m,解得B=。
(2)粒子做圆周运动的周期T=,
粒子在磁场中运动的时间t1=T,
粒子匀速直线运动的时间t2=,
粒子从O点运动到P点的时间t=t1+t2,
解得t=。
[例3] (矩形边界的磁场)如图所示,磁感应强度为B的矩形磁场区域长为L,宽为L,甲、乙两电子沿矩形磁场的上方边界从A点射入磁场区域,甲、乙两电子分别从D点和C点射出磁场,电子重力不计,则甲、乙两电子在磁场区域运动的过程中(　　)
[A] 速率之比为4∶1 [B] 角速度之比为1∶3
[C] 路程之比为4∶3 [D] 时间之比为3∶1
【答案】 D
【解析】 根据几何关系可知,甲的轨道半径为r1=,乙从C点射出时满足=(L)2+
(r2-L)2,解得乙的轨道半径为r2=2L,根据 evB=m,解得v=,速率之比等于半径之比,因此甲、乙速率之比为1∶4,故A错误;根据公式ω==,可知角速度之比为1∶1,故B错误;根据几何关系可知,甲的圆心角为180°,乙的圆心角为60°,因此其路程分别为s1=,s2=,路程之比为3∶4,故C错误;根据公式T==可知,甲、乙电子运动周期相同,其运动时间跟圆心角有关,即t=T,得其运动时间之比为3∶1,故D正确。
[例4] (圆形边界的磁场)(多选)如图所示,在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入,速度方向与半径方向的夹角为30°。当该点电荷离开磁场时,速度方向刚好改变了180°。下列说法正确的是(　　)
[A] 该点电荷在磁场中做匀速圆周运动的半径为R
[B] 该点电荷的比荷为
[C] 该点电荷在磁场中的运动时间为
[D] 该点电荷在磁场中的运动时间为
【答案】 BC
【解析】 点电荷在磁场中做匀速圆周运动,运动轨迹如图所示,根据几何关系可得电荷做圆周运动的半径为r=Rsin 30°=,A错误;根据洛伦兹力提供向心力有qv0B=m,解得=,B正确;由图可知,电荷在磁场中刚好运动半个周期,即电荷在磁场中运动的时间为t=T=×=,C正确,D错误。
[例5] (三角形边界的磁场)如图所示,在一个直角三角形区域ACP内存在方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,AP、PC、AC为磁场边界,AC边长为3a,∠CAP=53°。一群质量为m、电荷量为 +q、速率不同的粒子从AP边上的D点垂直于磁场边界AP射入匀强磁场,所有粒子都从PC边射出磁场区域。已知AD距离为a,求粒子的速率范围。(不计粒子所受重力,PC边存在磁场,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6)
【答案】 【解析】 由题意可知PD=4a,粒子运动轨迹恰与PC边相切时,由几何关系得R1+=4a,
解得R1=,
粒子做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有
qv1B=,
解得v1=;
粒子运动轨迹过C点时,由几何关系得
R2=4a,
粒子做圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有
qv2B=,
解得v2=,
综上得粒子的速率范围为要点二　用动态圆来分析带电粒子在磁场中运动的临界与极值问题
要点归纳
　处理临界极值问题的常见方法
(1)动圆放缩法:当带电粒子射入磁场的方向确定,但射入时速度v的大小或磁感应强度B变化时,粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化。在确定粒子运动的临界情形时,可以以入射方向所在直线为切线,入射点为切点,作出半径不同的一系列轨迹,从而探索出临界条件。如图所示为粒子进入矩形边界磁场的情形。
(2)定圆旋转法:当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定,但射入的方向变化时,可以以入射点为定点,将轨迹圆旋转,作出一系列轨迹,从而探索出临界条件。如图所示为粒子进入单边有界磁场时的情形。
(3)定圆平移法:速度大小和方向相同的一排相同粒子垂直于直线边界进入匀强磁场,各粒子的轨迹圆弧可以由一个粒子的轨迹圆弧沿着边界平移得到(如图所示)。
典例研习
[例6] (运动时间的极值问题)如图所示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内,O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下,从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向,以大小不同的速率射入正方形内,粒子重力不计。下列说法正确的是(　　)
[A] 若该带电粒子从ab边射出,它经过的时间可能为t0
[B] 若该带电粒子从bc边射出,它经过的时间可能为
[C] 若该带电粒子从cd边射出,它经过的时间为
[D] 若该带电粒子从ad边射出,它经过的时间可能为
【答案】 C
【解析】 由带正电的粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经过时间t0刚好从c点射出磁场可知,该带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是2t0。当粒子沿纸面以与Od成30°角的方向射入正方形内时,如图所示,作出从ab边射出的临界轨迹①、从bc边射出的临界轨迹②、从cd边射出的轨迹③和从ad边射出的临界轨迹④。由图可知,该带电粒子从ab边射出经过的时间一定不大于;从bc边射出经过的时间一定不大于;从cd边射出经过的时间一定是;从ad边射出经过的时间一定不大于,故C正确,A、B、D错误。
[例7] (偏转距离的极值问题)如图所示,在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电荷量为q的正离子(不计重力),速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子,在磁场中可能到达的位置中与x轴及y轴最远距离分别为(　　)
[A] , [B] ,
[C] , [D] ,
【答案】 A
【解析】 让沿x轴正方向射出的离子的轨迹圆绕O点缓慢转动,如图所示。
不难得出与y轴最远距离为|x|=2r=,与x轴最远距离为y=2r=。故选A。
要点三　带电粒子在磁场中运动的多解问题
要点归纳
带电粒子在磁场中运动的多解问题
(1)带电粒子电性不确定形成多解。
如图所示,带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场,若带正电,其轨迹为a;若带负电,其轨迹
为b。
(2)磁场方向不确定形成多解。
题目只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指出磁感应强度的方向。如图所示,带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场,若B垂直于纸面向里,其轨迹为a;若B垂直于纸面向外,其轨迹为b。
(3)临界状态不唯一形成多解。
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可能穿过去了,也可能转过180°从入射界面反向飞出,如图所示,于是形成了多解。
许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时一定要抓住此类特定的词语,挖掘出隐藏的信息,找出临界条件。
(4)运动轨迹不确定形成多解。
带电粒子在磁场中运动,虽然知道经过的几个特殊点,但是不能确定轨迹和半径,故而形成多解,如图所示。
(5)运动的周期性形成多解。
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时,运动往往具有周期性,从而形成多解,如图所示。
典例研习
[例8] (带电粒子的电性不确定形成多解)真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向如图所示,MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)沿着与MN夹角θ=30°的方向射入磁场中,刚好未从PQ边界射出磁场。求粒子射入磁场的速度大小及在磁场中运动的时间。
【答案】 见解析
【解析】 若粒子带正电荷,粒子恰好不从PQ边界射出的临界轨迹如图甲所示。设半径为R1,则
l=R1(1+cos θ),
由qv1B=,
解得v1=,
对应运动时间
t=×=。
若粒子带负电荷,粒子恰好不从PQ边界射出的临界轨迹如图乙所示。设半径为R2,则
cos θ=,
由qv2B=,
解得v2=,
对应运动时间t=×=。
[例9] (运动轨迹不确定形成多解)(2024·江苏扬州期中)如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN的右上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场,左下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点,能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计,粒子间的相互作用不计),所有粒子均能通过MN上的b点,已知 ab=L,则粒子的速度可能是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 粒子可能在两个磁场间做多次运动,画出粒子可能的轨迹,如图所示,所有粒子对应的圆心角均为120°,由几何关系可知2nRcos 30°=L(n=1,2,3,…),根据洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,解得v==(n=1,2,3,…),当n=1时,可得v=,故选C。
求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧
(1)分析题目特点,确定题目多解形成的原因。
(2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。
(3)若为周期性重复的多解问题,应寻找通项式;若可能出现几种解,应注意每种解出现的
条件。
1.如图所示,空间存在四分之一圆形磁场区域,半径为R,磁感应强度为B,磁场方向垂直于纸面向外。电子以初速度v从圆心O沿OC方向射入磁场,恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°,要使电子从弧AD(不包含A、D两点)之间射出,电子从O点射入的初速度可能是(不计电子的重力)(　　)
[A] [B] [C] 2v [D] 3v
【答案】 B
【解析】 根据题意,速度为v时,恰好由A点射出,如图中轨迹Ⅰ,由几何关系可得r=,由牛顿第二定律有evB=m,联立可得R=,要使电子恰好从D点射出,如图中轨迹Ⅱ,根据几何关系可得r′=R,则有 R=,解得v′=2v,要使电子从弧AD(不包含A、D两点)之间射出,电子从O点射入的初速度应大于v,小于2v。故选B。
2.(2025·陕西西安月考)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,ab=cd=2L,bc=de=L,一束粒子在纸面内从a点垂直于ab射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计所受重力和粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为m、电荷量为+q。在磁场中运动时间最长的粒子,其运动速率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 根据题意可知,粒子在磁场中做匀速圆周运动,由牛顿第二定律有 qvB=m,又有T==,设粒子运动轨迹所对的圆心角为α,则运动时间为t=T=,可知α越大,运动时间越长,当粒子过c点时,运动时间最长,运动轨迹如图所示,设半径为R,根据几何关系有L2+(2L-R)2=R2,解得R=L,联立可得v=,故选B。
3.如图所示,在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个质量为 m=5.0×10-8 kg、电荷量为 q=1.0×10-6 C的带电粒子,从静止开始经U0=2.5 V 的电压加速后,从P点沿图示方向进入磁场,已知 OP=16 cm。(粒子重力不计,取sin 37°=0.6,
cos 37°=0.8)
(1)求带电粒子到达P点时速度v的大小;
(2)若要求粒子不能进入x轴上方,磁感应强度的最小值B是多大
【答案】 (1)10 m/s　(2)5 T
【解析】 (1)根据动能定理可知
qU0=mv2,
代入数据可得v=10 m/s。
(2)若粒子不能进入x轴上方,临界状态时,运动轨迹恰好与x轴相切,如图所示,
根据几何关系可知
R+Rsin 37°=OP,
由qvB=m,
解得B=5 T。
4.如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O′正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。
(1)求磁感应强度B0的大小;
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场时速度v0的可能值是多少
【答案】 (1)　(2)(n=1,2,3,…)
【解析】 (1)设垂直于纸面向里的磁场方向为正方向,
正离子射入磁场,洛伦兹力提供向心力,则
qv0B0=,
正离子做匀速圆周运动的周期T0=,
由以上两式得磁感应强度B0=。
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场,正离子的运动轨迹如图所示,两板之间正离子只运动一个周期T0时,有R=;当两板之间正离子运动 n个周期nT0时,有R=(n=1,2,3,…)。
联立解得正离子的速度的可能值为
v0==(n=1,2,3,…)。
课时作业
(分值:70分)
基础巩固练
考点一　带电粒子在有界磁场中的运动问题
1.(6分)(多选)(2025·贵州六盘水期中)如图所示,左右边界平行(上下无边界)的匀强磁场宽度为d、方向垂直于纸面向外,两个带等量异种电荷的粒子a和粒子b,分别以垂直于磁场方向的速度va和vb同时由O点出发射入磁场,入射方向与磁场边界的夹角分别为60°和30°,两粒子同时到达P点,OP连线与磁场边界垂直,忽略两粒子所受重力、大小、相互作用。关于粒子a、b,下列说法正确的是(　　)
[A] 轨道半径之比Ra∶Rb=∶1
[B] 轨道半径之比Ra∶Rb=1∶
[C] 质量之比ma∶mb=2∶1
[D] 质量之比ma∶mb=1∶2
【答案】 AC
【解析】 如图所示,画出两粒子在磁场中的运动轨迹,
根据几何关系有 Rasin 30°=,Rbsin 60°=,可得轨道半径之比为=,A正确,B错误;粒子a、b在磁场中运动的时间ta=×,tb=×,又 ta=tb,可得两粒子的质量之比为=,C正确,D错误。
2.(4分)如图所示,在半径为R的圆形区域内,存在垂直于纸面向外的匀强磁场,ab是圆的一条直径。一带电粒子从a点射入磁场,速度大小为2v,方向与ab成30°角,经磁场偏转后从b点射出,已知粒子在磁场中运动的时间为t,不计粒子所受重力,则(　　)
[A] 该带电粒子带负电
[B] 粒子在磁场中做圆周运动的半径为R
[C] 若仅将速度大小改为v,则粒子在磁场中运动的时间为t
[D] 若仅将速度大小改为v,则粒子在磁场中运动的时间为2t
【答案】 D
【解析】 根据左手定则知,该带电粒子带正电,故A错误;设粒子以速度2v射入磁场中时,在磁场中做匀速圆周运动的半径为r,根据几何知识可得 sin 30°=,粒子在磁场中做圆周运动的半径为r=2R,故B错误。依题意,可画出粒子以2v和v两种情况下在磁场中的运动轨迹,如图所示,粒子以速度大小2v射入磁场时,半径为2R,根据几何知识可得此时粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为θ=60°,粒子在磁场中运动的时间为t;若仅将速度大小改为v,根据 r=,则粒子在磁场中运动的半径变为R,利用几何知识判断可知,此时粒子在磁场中运动轨迹所对圆心角为θ′=120°,粒子在磁场中运动的时间 t=T,根据 T=可知,粒子在磁场中运动的周期与速度无关,则可得粒子以速度v射入磁场时,在磁场中运动的时间为t′=2t,故C错误,D正确。
3.(6分)(多选)(2025·辽宁绥中期中)两个电荷量、质量均相同的带电粒子甲、乙以不同速率从a点沿对角线方向射入正方形匀强磁场中,磁场方向垂直于纸面向里。甲粒子垂直于bc离开磁场,乙粒子垂直于ac从d点离开磁场,不计粒子所受重力,则(　　)
[A] 甲粒子带正电,乙粒子带负电
[B] 甲粒子的动能是乙粒子动能的2倍
[C] 甲粒子所受洛伦兹力是乙粒子所受洛伦兹力的2倍
[D] 甲粒子在磁场中的运动时间与乙粒子相等
【答案】 AC
【解析】 由左手定则可判定甲粒子带正电,乙粒子带负电,A正确;令正方形磁场的边长为L,如图,由几何关系得甲粒子运动的半径为L,乙粒子运动的半径为L,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,动能Ek=mv2=,甲粒子的动能是乙粒子动能的4倍,B错误;由 qvB=m 得F=qvB=,所以甲粒子在磁场中所受洛伦兹力是乙粒子所受洛伦兹力的 2倍,C正确;粒子运动的周期T==,时间为t=·,甲粒子运动轨迹所对圆心角为45°,乙粒子运动轨迹所对圆心角为90°,即甲粒子在磁场中的运动时间是乙粒子的一半,D错误。
考点二　用动态圆来分析带电粒子在磁场中运动的临界与极值问题
4.(6分)(多选)如图所示,长方形abcd长ad=0.6 m,宽ab=0.3 m,O、e分别是ad、bc的中点,以ad为直径的半圆内有垂直于纸面向里的匀强磁场(边界无磁场),磁感应强度B=0.25 T。一束不计重力、质量 m=3×10-7 kg、电荷量q=+2×10-3 C的粒子以速度v=5×102 m/s沿垂直于ad方向且垂直于磁场射入磁场区域,则(　　)
[A] 从Od边射入的粒子,出射点全部分布在be边
[B] 从aO边射入的粒子,出射点全部分布在ab边
[C] 从Od边射入的粒子,出射点分布在Oa边和ab边
[D] 从aO边射入的粒子,出射点分布在ab边和be边
【答案】 AD
【解析】 根据洛伦兹力提供向心力有qvB=m,可得r=,解得带电粒子在匀强磁场中运动的半径r=0.3 m,从O点射入的粒子运动轨迹如图中的轨迹1所示,从aO边上某点射入的粒子运动轨迹如图中的轨迹2所示,出射点应分布在be边和ab边上;从Od边上某点射入的粒子运动轨迹如图中的轨迹3所示,出射点应分布在be边上。故选A、D。
5.(6分)(多选)如图所示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在边长为L的等边三角形ABC内,D是AB边的中点,一群相同的带负电的粒子仅在磁场力作用下,从D点沿纸面以平行于BC边方向、大小不同的速率射入三角形内,不考虑粒子间的相互作用力,已知粒子在磁场中运动的周期为T,则下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子垂直于BC边射出时,运动半径为L
[B] 速度小的粒子一定比速度大的粒子在磁场中运动时间长
[C] 粒子可能从AB边射出,且在磁场中运动的时间为T
[D] 粒子可能从C点射出,且在磁场中运动的时间为T
【答案】 AD
【解析】 粒子垂直于BC边射出时,运动轨迹如图甲所示,根据几何关系知半径为L,A正确。如图乙所示,若带电粒子刚好从BC边射出磁场,运动轨迹与BC边相切,可知圆心角为180°,粒子在磁场中运动的时间为T;若带电粒子刚好从AC边射出磁场,运动轨迹与AC边相切,作图可得切点为C点,可知圆心角为60°,粒子在磁场中运动的时间为T;若带电粒子从AB边射出磁场,可知圆心角为240°,粒子在磁场中运动的时间为T,B、C错误,D正确。
6.(6分)(多选)如图所示,矩形ABCD区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁场的磁感应强度大小为B0,AB边长为d,BC边长为2d,O是BC边的中点,E是AD边的中点。在O点有一粒子源,可以在纸面内向磁场内各个方向射出质量均为m、电荷量均为q、同种电性的带电粒子,粒子射出的速度大小相同,速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场,不计粒子的重力,则(　　)
[A] 粒子带负电
[B] 粒子运动的速度大小为
[C] 从AD边离开的粒子在磁场中运动的最短时间为
[D] 从AD边离开的粒子在磁场中经过的区域形成的面积为
【答案】 AB
【解析】 速度与OB边的夹角为60°的粒子恰好从E点射出磁场,粒子在磁场中的运动轨迹如图甲所示,由左手定则可知,粒子带负电,故A正确;由粒子的运动轨迹结合几何关系可知α=60°,所以粒子做圆周运动的半径r=d,由牛顿第二定律有 qvB0=m,解得粒子运动的速度大小为v=,故B正确;如图乙所示,粒子从AD边离开时的运动轨迹都是劣弧,由于粒子做圆周运动的速度大小相同,因此从AD边离开的粒子在磁场中运动的轨迹越短,即该轨迹对应的弦越短,时间越短,分析可知,O点到AD的最短距离为EO,即从E点射出的粒子在磁场中运动时间最短,因此最短时间为T,由T=,可得最短时间t=,故C错误;如图乙,当粒子水平向左飞入时刚好从A点飞出,当粒子竖直向上飞入时,刚好从D点飞出,由图乙可知,从AD边离开的粒子在磁场中经过的区域的面积为图中AODA区域的面积,所以该区域面积为S=πd2+d2-πd2=d2,故D错误。
考点三　带电粒子在磁场中运动的多解问题
7.(6分)(多选)如图所示,真空中纸面内有一正方形区域ABCD,边长L=1 m,区域内存在垂直于纸面的匀强磁场。一个带电粒子(不计重力)以一定的初速度从A点射入磁场,恰能从B点射出,则下列说法正确的是(　　)
[A] 该粒子带正电,其轨道半径可能为0.2 m
[B] 该粒子带负电,其轨道半径可能为0.3 m
[C] 该粒子带正电,其轨道半径可能为0.6 m
[D] 该粒子带负电,其轨道半径可能为0.8 m
【答案】 CD
【解析】 若磁场方向垂直于纸面向里,如图所示,当粒子从A点垂直于AB射入时,轨道半径最小。根据洛伦兹力指向圆心,由左手定则可判定粒子带负电;最小的半径为R==0.5 m,所以结论是粒子带负电,半径大于或等于0.5 m;同理可得,若磁场方向垂直于纸面向外,则粒子带正电,半径大于或等于0.5 m ,故A、B错误,C、D正确。
能力提升练
8.(6分)(多选)(2025·河南洛阳期中)在 Ⅰ、Ⅱ两个区域内存在磁感应强度大小均为B的匀强磁场,磁场方向如图所示,AD、AC 边界的夹角为30°,边界 AC 与边界 MN平行,区域Ⅱ宽度为d、质量为m、电荷量为q的正粒子,可在边界AD上的不同点以垂直于AD且垂直于磁场的方向射入磁场,若入射速度大小为 ,不计粒子所受重力,则(　　)
[A] 粒子在磁场中运动的半径为0.5d
[B] 粒子在距A点0.5d处射入,会进入区域Ⅱ
[C] 粒子在距A点1.5d处射入,在区域Ⅰ内运动的时间为
[D] 能够进入区域Ⅱ的粒子,在区域Ⅱ内运动的最短时间为
【答案】 BC
【解析】 粒子做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,根据牛顿第二定律,有qvB=m,其中v=,解得r=d,画出恰好不进入区域Ⅱ的临界轨迹,如图所示,
结合几何关系,有AO==2r=2d,故粒子在距A点0.5d处射入,会进入区域Ⅱ,故A错误,B正确;粒子在距A点1.5d处射入,在区域Ⅰ内运动的轨迹为半个圆周,故时间为t==,故C正确;从A点进入的粒子在磁场中运动的轨迹最短(弦长最短),时间最短,轨迹如图所示,轨迹对应的圆心角为60°,故时间为t==,故D错误。
9.(6分)(多选)如图所示,PQ、MN是互相平行、间距为L的长直边界,在两边界外侧都存在匀强磁场,方向均垂直于纸面向里,MN右侧磁场的磁感应强度大小为B。一质量为m,电荷量为+q的带电粒子从MN边界的O点以大小为v的初速度垂直于边界沿纸面射入右侧磁场区,一段时间后粒子从右向左再次经过O点,不计粒子所受的重力。左侧磁场的磁感应强度可能值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 CD
【解析】 根据题意,设带电粒子在MN右侧匀强磁场中运动的轨道半径为r,由qvB=m,解得B=,设粒子在PQ左侧匀强磁场中运动的轨道半径为R,若粒子进入左侧磁场区运动一次后,从右向左经过O点,其轨迹如图甲所示,则有R1=2r,由qvB1=m,解得B1==。若粒子两次进入左侧磁场区运动后,才从右向左经过O点,粒子运动轨迹如图乙所示,由几何关系可知2R2=3r,由qvB2=m,解得B2==。故选C、D。
10.(4分)如图所示,足够长的绝缘板MN上方有水平方向的匀强磁场,方向垂直于纸面向里。距离绝缘板d处有一粒子源S,能够在纸面内不断地向各个方向同时发射电荷量为q、质量为m、速率为v的带正电粒子,不计粒子所受的重力及粒子间的相互作用,已知粒子做圆周运动的半径也恰好为d,则(　　)
[A] 粒子能打到绝缘板上的区域长度为2d
[B] 能打到绝缘板上最左侧的粒子所用的时间为
[C] 粒子从发射到打到绝缘板上的最长时间为
[D] 同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差为
【答案】 D
【解析】 利用定圆旋转法作出临界位置的轨迹图,如图所示。
②轨迹为粒子在绝缘板上打到区域的左边缘,则有x1==d,④轨迹为粒子在绝缘板上打到区域的右边缘,则有x2=d,则粒子能打到绝缘板上的区域长度为x=x1+x2=d+d,故A错误;粒子圆周运动的周期T=,根据上述临界轨迹图可知,能打到绝缘板上最左侧的粒子轨迹为②,其所用的时间为t1=T=,故B错误;根据上述临界轨迹图可知,粒子从发射到打到绝缘板上的最长时间轨迹为①,则最长时间为t2=T=,故C错误;根据上述临界轨迹图可知,粒子从发射到打到绝缘板上的最短时间轨迹为③,由几何关系可知,其轨迹对应圆心角为θ=,则有t3==,则同一时刻发射的粒子打到绝缘板上的最大时间差为Δt=t2-t3=,故D正确。
11.(14分)如图所示,匀强磁场的磁感应强度为B,宽度为d,边界为CD和EF。一电子从CD边界外侧以速率v0垂直于匀强磁场射入,入射方向与CD边界间夹角为θ。已知电子的质量为m,电荷量为e,不计重力的影响。
(1)为使电子能从磁场的另一侧EF射出,电子的速率v0满足什么条件
(2)电子在磁场中运动的最长时间是多少
【答案】 (1)v0>　(2)
【解析】 (1)根据题意,电子的运动轨迹如图所示,电子恰好从EF边射出时,
由几何知识有
r+rcos θ=d,
解得r=;
根据洛伦兹力提供向心力,有
ev0B=m,
解得v0=,
为使电子能从磁场的另一侧EF射出,电子的速率v0应满足v0>。
(2)电子在磁场中的周期为T=,与速度、半径无关。当电子能从CD边射出时,圆心角最大,运动的时间最长。由几何关系得电子在磁场中转过的圆心角为α=2π-2θ,
则最长时间为t=T=。(共54张PPT)
微专题3　带电粒子在匀强磁场中运动的几类典型问题
[定位·学习目标]　
1.通过对有界磁场的常见类型的分析,学会解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法,培养科学思维核心素养。2.通过对动态圆的分析,学会用动态圆来解决带电粒子在磁场中运动的临界与极值问题,培养科学思维核心素养。3.通过对带电粒子在磁场中运动的多解问题的分析,学会解决带电粒子在磁场中运动的多解问题的方法,培养科学思维核心素养。
突破·关键能力
要点一　带电粒子在有界磁场中的运动问题
1.有界磁场的常见类型
(1)直线边界磁场:如图所示,粒子进出磁场具有对称性,且粒子以多大的锐角θ射入磁场,就以多大的锐角θ射出磁场;粒子进入磁场时的速度v垂直于边界时,出射点距离入射点最远,且dmax=2R,如图甲所示;同一出射点,可能对应粒子的两个入射方向,且一个“优弧”,一个“劣弧”,如图乙、丙所示。
「要点归纳」
(2)平行边界磁场:常见的几何关系和临界情境如图所示。
(3)矩形边界磁场:如图所示,可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。
(4)三角形边界磁场:如图所示是正△ABC区域内某正粒子垂直于AB方向进入磁场的临界轨迹示意图。粒子能从AC间射出的两个临界轨迹如图甲、乙所示。
(5)圆形边界磁场。
带电粒子在圆形边界磁场区域运动的几个特点:
①沿半径方向射入的粒子必沿半径方向射出,如图甲所示。
②不沿半径方向射入的粒子,射入速度与半径方向的夹角为θ,射出速度与半径的夹角也为θ,如图乙所示。
2.解决带电粒子在有界磁场中运动问题的方法
解决此类问题时,找到粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心位置、半径大小,以及与半径相关的几何关系是解题的关键。解决此类问题时应注意运用下列结论:
(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切。
(2)当速度v一定时,弧长(或弦长)越长或者圆心角越大,则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长。
(3)当速率v变化时,圆心角越大,运动时间越长。
(4)在圆形匀强磁场中,当轨迹圆的半径大于磁场圆的半径且入射点和出射点位于磁场圆同一直径的两个端点时,轨迹对应的偏转角最大,运动时间最长。
[例1] (直线边界的磁场)如图所示,一电荷量为q、质量为m的粒子(不计重力),从直线上一点O沿与PO方向成30°角的方向进入匀强磁场中,经过时间t后到达直线上的P点。
(1)求粒子做圆周运动的周期;
「典例研习」
(2)求磁感应强度B的大小;
(3)若O、P之间的距离为a,求粒子运动速度的大小。
(1)磁场的磁感应强度大小B;
(2)粒子从O点运动到P点的时间t。
[A] 速率之比为4∶1
[B] 角速度之比为1∶3
[C] 路程之比为4∶3
[D] 时间之比为3∶1
D
[例4] (圆形边界的磁场)(多选)如图所示,在纸面内半径为R的圆形区域中充满了垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。一点电荷从图中A点以速度v0垂直磁场射入,速度方向与半径方向的夹角为30°。当该点电荷离开磁场时,速度方向刚好改变了180°。下列说法正确的是(　　 )
BC
[例5] (三角形边界的磁场)如图所示,在一个直角三角形区域ACP内存在方向垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,AP、PC、AC为磁场边界,AC边长为3a,∠CAP=53°。一群质量为m、电荷量为 +q、速率不同的粒子从AP边上的D点垂直于磁场边界AP射入匀强磁场,所有粒子都从PC边射出磁场区域。已知AD距离为a,求粒子的速率范围。(不计粒子所受重力,PC边存在磁场,取sin 53°=0.8,cos 53°=0.6)
要点二　用动态圆来分析带电粒子在磁场中运动的临界与极值问题
「要点归纳」
处理临界极值问题的常见方法
(1)动圆放缩法:当带电粒子射入磁场的方向确定,但射入时速度v的大小或磁感应强度B变化时,粒子做圆周运动的轨道半径r随之变化。在确定粒子运动的临界情形时,可以以入射方向所在直线为切线,入射点为切点,作出半径不同的一系列轨迹,从而探索出临界条件。如图所示为粒子进入矩形边界磁场的情形。
(2)定圆旋转法:当带电粒子射入磁场时的速率v大小一定,但射入的方向变化时,可以以入射点为定点,将轨迹圆旋转,作出一系列轨迹,从而探索出临界条件。如图所示为粒子进入单边有界磁场时的情形。
(3)定圆平移法:速度大小和方向相同的一排相同粒子垂直于直线边界进入匀强磁场,各粒子的轨迹圆弧可以由一个粒子的轨迹圆弧沿着边界平移得到(如图所示)。
[例6] (运动时间的极值问题)如图所示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内,O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下,从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经过时间t0刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向,以大小不同的速率射入正方形内,粒子重力不计。下列说法正确的是(　　)
「典例研习」
C
[例7] (偏转距离的极值问题)如图所示,在x轴的上方(y≥0)存在着垂直于纸面向里的匀强磁场(未画出),磁感应强度大小为B。在原点O有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为m、电荷量为q的正离子(不计重力),速率都为v。对那些在xOy平面内运动的离子,在磁场中可能到达的位置中与x轴及y轴最远距离分别为(　　)
A
要点三　带电粒子在磁场中运动的多解问题
「要点归纳」
带电粒子在磁场中运动的多解问题
(1)带电粒子电性不确定形成多解。
如图所示,带电粒子以速率v垂直进入匀强磁场,若带正电,其轨迹为a;若带负电,其轨迹为b。
(2)磁场方向不确定形成多解。
题目只告诉了磁感应强度的大小,而未具体指出磁感应强度的方向。如图所示,带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场,若B垂直于纸面向里,其轨迹为a;若B垂直于纸面向外,其轨迹为b。
(3)临界状态不唯一形成多解。
带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时,由于粒子运动轨迹是圆弧状,因此,它可能穿过去了,也可能转过180°从入射界面反向飞出,如图所示,于是形成了多解。
许多临界问题,题干中常用“恰好”“最大”“至少”“不相撞”“不脱离”等词语对临界状态给以暗示,审题时一定要抓住此类特定的词语,挖掘出隐藏的信息,找出临界条件。
(4)运动轨迹不确定形成多解。
带电粒子在磁场中运动,虽然知道经过的几个特殊点,但是不能确定轨迹和半径,故而形成多解,如图所示。
(5)运动的周期性形成多解。
带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时,运动往往具有周期性,从而形成多解,如图所示。
[例8] (带电粒子的电性不确定形成多解)真空区域有宽度为l、磁感应强度为B的匀强磁场,磁场方向如图所示,MN、PQ是磁场的边界。质量为m、电荷量为q的粒子(不计重力)沿着与MN夹角θ=30°的方向射入磁场中,刚好未从PQ边界射出磁场。求粒子射入磁场的速度大小及在磁场中运动的时间。
「典例研习」
[例9] (运动轨迹不确定形成多解)(2024·江苏扬州期中)如图所示,直线MN与水平方向成60°角,MN的右上方存在垂直于纸面向外的匀强磁场,左下方存在垂直于纸面向里的匀强磁场,两磁场的磁感应强度大小均为B。一粒子源位于MN上的a点,能水平向右发射不同速率、质量为m、电荷量为q(q>0)的同种粒子(重力不计,粒子间的相互作用不计),所有粒子均能通过MN上的b点,已知 ab=L,则粒子的速度可能是(　　)
C
·规律方法·
求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧
(1)分析题目特点,确定题目多解形成的原因。
(2)作出粒子运动轨迹示意图(全面考虑多种可能性)。
(3)若为周期性重复的多解问题,应寻找通项式;若可能出现几种解,应注意每种解出现的条件。
检测·学习效果
1.如图所示,空间存在四分之一圆形磁场区域,半径为R,磁感应强度为B,磁场方向垂直于纸面向外。电子以初速度v从圆心O沿OC方向射入磁场,恰好由A点射出。弧AD对应的圆心角为60°,要使电子从弧AD(不包含A、D两点)之间射出,电子从O点射入的初速度可能是(不计电子的重力)(　　)
B
2.(2025·陕西西安月考)一匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外,其边界如图中虚线所示,ab=cd=2L,bc=de=L,一束粒子在纸面内从a点垂直于ab射入磁场,这些粒子具有各种速率。不计所受重力和粒子之间的相互作用。已知粒子的质量为m、电荷量为+q。在磁场中运动时间最长的粒子,其运动速率为(　　)
B
3.如图所示,在平面直角坐标系xOy的第四象限有垂直于纸面向里的匀强磁场,一个质量为 m=5.0×10-8 kg、电荷量为 q=1.0×10-6 C的带电粒子,从静止开始经U0=2.5 V 的电压加速后,从P点沿图示方向进入磁场,已知 OP=
16 cm。(粒子重力不计,取sin 37°=0.6,cos 37°=0.8)
(1)求带电粒子到达P点时速度v的大小;
【答案】 (1)10 m/s
(2)若要求粒子不能进入x轴上方,磁感应强度的最小值B是多大
【答案】　(2)5 T
4.如图甲所示,M、N为竖直放置彼此平行的两块平板,板间距离为d,两板中央各有一个小孔O、O′正对,在两板间有垂直于纸面方向的磁场,磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t=0时垂直于M板从小孔O射入磁场。已知正离子质量为m、电荷量为q,正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为T0,不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响,不计离子所受重力。
(1)求磁感应强度B0的大小;
(2)要使正离子从O′孔垂直于N板射出磁场,正离子射入磁场时速度v0的可能值是多少
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