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(共39张PPT)
微专题4　带电粒子(带电体)在组合场
中的运动
[定位·学习目标]　
通过对组合场的分析,学会解决带电粒子由磁场进入电场、由电场进入磁场等问题的方法,培养科学思维核心素养。
突破·关键能力
1.组合场
电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现。
2.两种场力的特点
(1)静电力的方向与电场方向相同或相反,静电力做功与路径无关,静电力做的功等于电势能的减少量。
「要点归纳」
(2)洛伦兹力的大小和速度方向与磁场方向的夹角有关,方向始终垂直于速度v和磁感应强度B共同决定的平面。无论带电粒子做什么运动,洛伦兹力始终不做功。
3.运动特点
分阶段运动,带电粒子可能依次通过几个情况不同的场区,其运动情况随区域发生变化,其运动过程由几个不同的运动阶段组成。
4.“电偏转”和“磁偏转”的比较
项目 垂直进入匀强磁场(磁偏转) 垂直进入匀强电场(电偏转)
情境图
受力 F洛=qv0B,大小不变,方向总指向圆心,方向变化,F洛为变力 F电=qE,大小、方向不变,为恒力
题型一　带电粒子由电场进入磁场
[例1] (先电场偏转再进磁场)(2025·安徽池州期中)如图所示,在第Ⅰ象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场。在该平面有一个质量为m、电荷量为+q的粒子以垂直于x轴的初速度v0,从x轴上的P点进入匀强电场,恰好与y轴成α=45°角从Q点射出电场,再经过一段时间恰好垂直于x轴飞出,已知O、P之间的距离为d。(不计粒子所受重力)求:
「典例研习」
(1)y轴上Q点坐标;
【答案】 (1)(0,2d)
(2)匀强磁场的磁感应强度大小;
(3)粒子在电磁场中运动的总时间t。
[例2] (先电场后磁场中的图像问题)如图所示,一个静止的质量为m、带电荷量为q的粒子(不计重力),经电压U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中,粒子打至P点。设OP=x,能够正确反映x与U之间的函数关系的图像是(　　)
[A] 　　　　 [B] [C] 　　　　 [D]
B
题型二　带电粒子由磁场进入电场
[例3] (由磁场进电场偏转)(2024·江西期中)如图,直角坐标系xOy中的第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场,在第Ⅱ象限中存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子,在x轴上的A点以与x轴负方向成60°角的速度射入磁场,从y=L处的P点沿垂直于y轴方向进入电场,并经过x轴上x=1.5L处的C点。不计粒子所受重力,求:
(1)粒子在A点的速度大小;
(2)电场强度E的大小;
(3)带电粒子在磁场和电场中运动的时间之比。
(1)带电粒子从M点进入第一象限时初速度v0的大小;
(2)电场强度E的大小;
(3)磁场Ⅱ的磁感应强度B的大小。
·规律方法·
带电粒子在组合场中运动的注意事项
(1)基本思路:明确带电粒子在组合场各区域的受力特点及运动规律,然后找出两种场分界线上两种运动的联系(一般是粒子经过分界线时速度不变),利用运动的合成与分解及几何关系等分阶段处理。
(2)关键点:画出轨迹示意图。
·规律方法·
(3)具体解决方案。
题型三　带电粒子在交变磁场中的运动
(1)求粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的半径R和在该磁场中运动的时间t1;
【答案】 (2)0.6 m
在图乙中,∠OO1C=∠CO2D=120°,且O1O2平行于x轴,OE=2(R+Rsin 30°)=
3R=0.3 m,
在Rt△EDP中,∠EDP=60°,DE=2Rsin 60°,
EP=DEtan 60°=3R=0.3 m,
则粒子从O点射出后第2次经过x轴时与O点的距离为
OP=OE+EP=0.6 m。
解决带电粒子在交变磁场中的
运动问题的基本思路
先读图 看清并且了解场的变化情况
受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点 找出衔接相邻两过程的速度大小及方向
选规律 联立不同阶段的方程求解
·规律方法·
检测·学习效果
1.质子和α粒子在同一点由静止出发,经过相同的加速电场后,垂直进入同一匀强磁场中做匀速圆周运动,不考虑质子与α粒子间的相互作用,则质子与α粒子在磁场中做圆周运动的半径之比和周期之比分别为(　　)
B
A
[A] 30° [B] 60° [C] 37° [D] 53°
3.(多选)如图所示,半径为L的圆形边界内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,ab、cd是圆形边界的两个互相垂直的直径,边长为L的正方形defg内存在匀强电场,边长de与直径cd共线,电场与磁场垂直、与gd平行,质量为m、电荷量为q的粒子(不计所受重力)从a点正对圆心O以初速度v0垂直射入磁场,从d点射出磁场后立即进入电场,最后恰好从f点射出电场。下列说法正确的是(　 　)
[A] 粒子带正电
[B] 电场方向由f指向e
AC
4.如图所示,光滑绝缘水平桌面内MN一侧有垂直于MN的匀强电场,另一侧有竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小B=2 T。某时刻自距MN为5 cm的P点沿平行于MN方向抛出一带电荷量为q=+0.1 C的小球,初速度为v0=1 m/s,经时间t=0.1 s首次到达MN,小球的质量m=0.1 kg。忽略小球重力。求:
(1)匀强电场的电场强度大小E;
【答案】 (1)10 N/C
(2)小球第二次通过MN时与P点的水平距离L。
【答案】 (2)1.1 m
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[定位·学习目标]　通过对组合场的分析,学会解决带电粒子由磁场进入电场、由电场进入磁场等问题的方法,培养科学思维核心素养。
要点归纳
1.组合场
电场与磁场各位于一定的区域内,并不重叠,或者电场、磁场分时间段在同一区域或不同区域交替出现。
2.两种场力的特点
(1)静电力的方向与电场方向相同或相反,静电力做功与路径无关,静电力做的功等于电势能的减少量。
(2)洛伦兹力的大小和速度方向与磁场方向的夹角有关,方向始终垂直于速度v和磁感应强度B共同决定的平面。无论带电粒子做什么运动,洛伦兹力始终不做功。
3.运动特点
分阶段运动,带电粒子可能依次通过几个情况不同的场区,其运动情况随区域发生变化,其运动过程由几个不同的运动阶段组成。
4.“电偏转”和“磁偏转”的比较
项目 垂直进入匀强磁场(磁偏转) 垂直进入匀强电场(电偏转)
情境图
受力 F洛=qv0B,大小不变,方向总指向圆心,方向变化,F洛为变力 F电=qE,大小、方向不变,为恒力
运动规律 匀速圆周运动,r=,T= 类平抛运动,vx=v0, vy=t,L=v0t,y=t2
运动时间 t=T= t=
动能 不变 变化
典例研习
题型一　带电粒子由电场进入磁场
[例1] (先电场偏转再进磁场)(2025·安徽池州期中)如图所示,在第Ⅰ象限内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,在第Ⅱ象限内有水平向右的匀强电场。在该平面有一个质量为m、电荷量为+q的粒子以垂直于x轴的初速度v0,从x轴上的P点进入匀强电场,恰好与y轴成α=45°角从Q点射出电场,再经过一段时间恰好垂直于x轴飞出,已知O、P之间的距离为d。(不计粒子所受重力)求:
(1)y轴上Q点坐标;
(2)匀强磁场的磁感应强度大小;
(3)粒子在电磁场中运动的总时间t。
【答案】 (1)(0,2d)　(2)　(3)
【解析】 (1)根据题意可知,粒子在电场中做类平抛运动,
垂直于电场方向,有y=v0t,
沿电场方向,有x=d=at2,
而根据几何关系有tan 45°=,
联立解得y=2d,
则可知y轴上Q点坐标为(0,2d)。
(2)粒子在匀强磁场中运动轨迹如图所示,
由几何关系可知,R=,
粒子进入磁场时的速度为v=,
根据qvB=,
联立解得B=。
(3)设粒子在电场中运动的时间为t1,
则有t1==,
粒子在磁场中运动时,根据qvB=,T=,
得T=;
再根据t2=·T,解得t2=,
则粒子在电磁场中运动的总时间
t=t1+t2=。
[例2] (先电场后磁场中的图像问题)如图所示,一个静止的质量为m、带电荷量为q的粒子(不计重力),经电压U加速后垂直进入磁感应强度为B的匀强磁场中,粒子打至P点。设OP=x,能够正确反映x与U之间的函数关系的图像是(　　)
[A] 　　　　 [B]
[C] 　　　　 [D]
【答案】 B
【解析】 加速电场中,由动能定理有qU=mv2,磁场中,由洛伦兹力提供向心力有qvB=m,由几何关系得x=2r=,由此可知,在B、m、q一定的情况下,选项B是满足x与U之间的函数关系的图像。
题型二　带电粒子由磁场进入电场
[例3] (由磁场进电场偏转)(2024·江西期中)如图,直角坐标系xOy中的第Ⅰ象限存在沿y轴负方向的匀强电场,在第Ⅱ象限中存在垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度大小为B。一电荷量为q、质量为m的带正电粒子,在x轴上的A点以与x轴负方向成60°角的速度射入磁场,从y=L处的P点沿垂直于y轴方向进入电场,并经过x轴上x=1.5L处的C点。不计粒子所受重力,求:
(1)粒子在A点的速度大小;
(2)电场强度E的大小;
(3)带电粒子在磁场和电场中运动的时间之比。
【答案】 (1)　(2)　(3)
【解析】 (1)设粒子在A点速度大小为v0,带电粒子的运动轨迹如图,
由几何关系可知
r+rcos 60°=L,
解得r=L;
又由qv0B=m,
解得粒子在A点的速度大小v0=。
(2)带电粒子在电场中运动时,
沿x轴方向有1.5L=v0t2,
沿y轴方向有L=a,
又因为qE=ma,
解得电场强度大小为E=。
(3)带电粒子在磁场中运动的周期
T==,
运动时间为t1=T=,
带电粒子在电场中运动的时间为t2=,
所以带电粒子在磁场和电场中运动的时间之比为=。
[例4] (先磁场后电场再磁场的综合问题)如图所示,在第一、第二象限内存在垂直于xOy平面向里、磁感应强度大小为B0的匀强磁场Ⅰ,第三象限内存在沿x轴正方向的匀强电场,第四象限内存在垂直于xOy平面向里的匀强磁场Ⅱ。一质量为m、电荷量为+q的粒子,从x轴上M(l,0)点以某一初速度沿y轴正方向进入第一象限,先以原点O为圆心做圆周运动,随后进入第三象限,在电场中运动一段时间后,经y轴上的N(0,-l)点进入第四象限,在磁场Ⅱ运动的过程中,恰好不进入第一象限。不计粒子所受重力。求:
(1)带电粒子从M点进入第一象限时初速度v0的大小;
(2)电场强度E的大小;
(3)磁场Ⅱ的磁感应强度B的大小。
【答案】 (1)　(2)　(3)B0
【解析】 (1)在第一、第二象限,粒子做半径为l的圆周运动,由qv0B0=,
解得v0=。
(2)粒子在第三象限做类平抛运动,初速度为v0,运动到N点过程中沿电场方向通过的位移大小为l,垂直于电场方向通过的位移大小为l,由运动学规律可得加速度a=,
l=v0t,l=at2,
解得E=。
(3)设粒子经过N点时速度方向与y轴负方向的夹角为θ,则tan θ==,
解得sin θ=0.6,cos θ=0.8;
设粒子进入第四象限时的速度大小为v,
v=,解得v=v0。
由于粒子恰好不进入第一象限,轨迹如图所示,
由几何知识可得
R(1+sin θ)=ON,
解得R=l,
由qvB=,
解得B=B0。
带电粒子在组合场中运动的注意事项
(1)基本思路:明确带电粒子在组合场各区域的受力特点及运动规律,然后找出两种场分界线上两种运动的联系(一般是粒子经过分界线时速度不变),利用运动的合成与分解及几何关系等分阶段处理。
(2)关键点:画出轨迹示意图。
(3)具体解决方案。
题型三　带电粒子在交变磁场中的运动
[例5] 如图甲所示,在y轴右侧加有垂直于纸面向外的匀强磁场,磁感应强度B=1 T。从原点O处向第Ⅰ象限发射一比荷=1×104 C/kg的带正电的粒子(重力不计),速度大小v=
103 m/s,方向垂直于磁场且与x轴正方向成30°角。
(1)求粒子在该匀强磁场中做匀速圆周运动的半径R和在该磁场中运动的时间t1;
(2)若磁场随时间变化的规律如图乙所示(规定垂直于纸面向外为正方向),t=×10-4 s后空间不存在磁场,在t=0时刻,粒子仍从O点以与原来相同的速度v射入,求粒子从O点射出后第 2次经过x轴时与O点的距离。
【答案】 (1)0.1 m　π×10-4 s　(2)0.6 m
【解析】 (1)轨迹如图甲所示。
由Bqv=m可得,
轨迹半径R==0.1 m,
粒子运动周期T==2π×10-4 s,
粒子在磁场中轨迹所对的圆心角为240°,所以粒子在磁场中运动的时间为
t1==π×10-4 s。
(2)磁场变化的半周期为
Δt=×10-4 s=,
在图乙中,∠OO1C=∠CO2D=120°,且O1O2平行于x轴,OE=2(R+Rsin 30°)=3R=0.3 m,
在Rt△EDP中,∠EDP=60°,DE=2Rsin 60°,
EP=DEtan 60°=3R=0.3 m,
则粒子从O点射出后第2次经过x轴时与O点的距离为
OP=OE+EP=0.6 m。
解决带电粒子在交变磁场中的
运动问题的基本思路
先读图 看清并且了解场的变化情况
受力分析 分析粒子在不同的变化场区的受力情况
过程分析 分析粒子在不同时间段内的运动情况
找衔接点 找出衔接相邻两过程的速度大小及方向
选规律 联立不同阶段的方程求解
1.质子和α粒子在同一点由静止出发,经过相同的加速电场后,垂直进入同一匀强磁场中做匀速圆周运动,不考虑质子与α粒子间的相互作用,则质子与α粒子在磁场中做圆周运动的半径之比和周期之比分别为(　　)
[A] 1∶2,1∶2 [B] 1∶,1∶2
[C] 1∶,1∶ [D] 1∶2,1∶
【答案】 B
【解析】 在电场中加速过程满足qU=mv2,进入磁场后,由洛伦兹力提供向心力,可得qvB=m,联立解得轨道半径为r==,在磁场中的运动周期为T==,已知质子与α粒子的质量之比为1∶4,电荷量之比为1∶2,代入可得质子与α粒子在磁场中做圆周运动的半径之比为 1∶,周期之比为1∶2,B正确。
2.如图为半导体离子注入工艺原理示意图。离子P3+经电压为U的电场加速后,垂直进入宽度为d的匀强磁场区域,转过一定角度后从磁场射出,注入半导体内部达到掺杂的目的。已知磁感应强度大小为、方向垂直于纸面向里,离子P3+的质量为m,元电荷为e,不计离子重力。则离子P3+在磁场中转过的角度为(　　)
[A] 30° [B] 60° [C] 37° [D] 53°
【答案】 A
【解析】 设离子P3+经电压为U的电场加速后的速度为v,由动能定理得3eU=mv2,离子进入磁场做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力得 3evB=m,由几何关系得,离子P3+在磁场中转过角度的正弦值为sin θ=,联立解得sin θ=,则离子P3+在磁场中转过的角度θ=30°。故选A。
3.(多选)如图所示,半径为L的圆形边界内存在垂直于纸面向外的匀强磁场,ab、cd是圆形边界的两个互相垂直的直径,边长为L的正方形defg内存在匀强电场,边长de与直径cd共线,电场与磁场垂直、与gd平行,质量为m、电荷量为q的粒子(不计所受重力)从a点正对圆心O以初速度v0垂直射入磁场,从d点射出磁场后立即进入电场,最后恰好从f点射出电场。下列说法正确的是(　　)
[A] 粒子带正电
[B] 电场方向由f指向e
[C] 粒子在磁场与电场中运动时间的比值为
[D] 磁感应强度与电场强度大小的比值为
【答案】 AC
【解析】 粒子在磁场中做匀速圆周运动,根据左手定则可知,粒子带正电,A正确;粒子在电场中做类平抛运动,根据偏转特点,静电力方向水平向右,又因为粒子带正电,所以电场方向由e指向f,B错误;根据粒子在磁场中做匀速圆周运动的规律,粒子在磁场中运动的时间t1==,在电场中运动的时间t2=,则=,C正确;设匀强磁场的磁感应强度为B,由洛伦兹力充当向心力 qv0B=,解得B=,粒子在电场中沿着de方向以速度v0做匀速直线运动,有L=v0t2,沿着静电力方向做初速度为零的匀加速直线运动,有 L=·,解得E=,则=,D错误。
4.如图所示,光滑绝缘水平桌面内MN一侧有垂直于MN的匀强电场,另一侧有竖直向下的匀强磁场,磁感应强度大小B=2 T。某时刻自距MN为5 cm的P点沿平行于MN方向抛出一带电荷量为q=+0.1 C的小球,初速度为v0=1 m/s,经时间t=0.1 s首次到达MN,小球的质量m=0.1 kg。忽略小球重力。求:
(1)匀强电场的电场强度大小E;
(2)小球第二次通过MN时与P点的水平距离L。
【答案】 (1)10 N/C　(2)1.1 m
【解析】 (1)对小球受力分析,有qE=ma,
沿电场线方向,有y=at2,
解得a=10 m/s2,E=10 N/C。
(2)刚进磁场时小球水平方向的位移为x1=v0t,
垂直于MN方向速度为vy=at,
解得vy=1 m/s,
所以小球速度为v= m/s,
与MN夹角为45°,之后小球进入磁场做匀速圆周运动,有qvB=,
解得r= m,
由几何关系知,第二次通过MN时小球与P点的水平距离为
L=+x1=1.1 m。
课时作业
(分值:50分)
基础巩固练
考点一　带电粒子由电场进磁场
1.(6分)(多选)如图为洛伦兹力演示仪的结构图,励磁线圈产生的匀强磁场方向垂直于纸面向外,电子束由电子枪产生,其速度方向与磁场方向垂直。电子速度大小可通过电子枪的加速电压来控制,磁感应强度可通过励磁线圈的电流来调节。下列说法正确的是(　　)
[A] 仅减小电子枪的加速电压,电子束径迹的半径变小
[B] 仅增大电子枪的加速电压,电子做圆周运动的周期变大
[C] 仅减小励磁线圈的电流,电子束径迹的半径不变
[D] 仅增大励磁线圈的电流,电子做圆周运动的周期减小
【答案】 AD
【解析】 电子在加速电场中加速,由动能定理得 eU=m,电子在匀强磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力充当向心力,有ev0B=m,解得r=,根据T=,解得周期T=,可知仅减小电子枪的加速电压,电子束的轨道半径变小,仅增大电子枪的加速电压,周期不变,故A正确,B错误;同理可知,仅减小励磁线圈的电流,电流产生的磁场减小,电子束径迹的半径变大,仅增大励磁线圈的电流,周期变小,故C错误,D正确。
2.(6分)(多选)(2025·陕西西安月考)如图所示,质量为m、带电量为+q的带电粒子,从原点以初速度v0沿x轴正方向射入第一象限内的电磁场区域,在 0x0 区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场,接收器MN足够长,平行于y轴放置且N点坐标为(x0,y0)。当电场强度为 0 时,带电粒子在磁场中偏转刚好打
在N点,已知粒子都能从NP射出,P点坐标为(x0,0),且从 NP 射入磁场后偏转打到接收器 MN上,则(　　)
[A] 磁感应强度的大小为
[B] 电场强度的最大值为
[C] 所有粒子在磁场中的偏转距离都相等
[D] 粒子打到接收器 MN 上的最大纵坐标为2.5y0
【答案】 AC
【解析】 根据题意有=,解得B=,A正确;粒子刚好从N点离开电场时,有x0=v0t,
y0=·t2,解得E=,B错误;如图所示,粒子从电场中射出时的速度v=,粒子进入磁场后做匀速圆周运动,则qvB=m,解得r=,在磁场中的偏转距离y=QQ′=2rsin θ==y0,所有粒子在磁场中的偏转距离都相等,C正确;当粒子从N点进入磁场中时,粒子打到接收器MN上的最大纵坐标为2y0,D错误。
考点二　带电粒子由磁场进电场
3.(4分)如图所示,虚线MN、PQ之间为匀强电场,MN的上方和PQ的下方分别有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度分别为B1和B2,且B2=B1,一不计重力的带电粒子从MN上的a点垂直于MN向上射出,经过磁场偏转后垂直于MN方向从b点进入电场,穿越电场后,从c点再次进入磁场,经过磁场偏转后以垂直于PQ的速度打到d点,若ab=2cd,则粒子从b到c克服静电力做的功W与其从a点出发时的初动能Ek1之比为(　　)
[A] W∶Ek1=1∶2 [B] W∶Ek1=1∶3
[C] W∶Ek1=2∶3 [D] W∶Ek1=4∶5
【答案】 A
【解析】 设粒子在电场上方和下方的速率分别为v1、v2,在上方和下方磁场中轨道半径分别为r1、r2,则r1=,r2=,根据题意B2=B1,r1=2r2 ,解得v1=v2,在电场中,根据动能定理可得W=m-m=×m=Ek1,故A正确,B、C、D错误。
4.(6分)(多选)如图,正方形abcd中△abd区域内存在方向垂直于纸面向里的匀强磁场,△bcd区域内有方向平行bc的匀强电场(图中未画出)。一带电粒子从d点沿da方向射入磁场,随后经过bd的中点e进入电场,接着从b点射出电场。不计粒子的重力。则(　　)
[A] 粒子带正电
[B] 电场的方向由b指向c
[C] 粒子在磁场、电场中运动的时间之比为π∶2
[D] 粒子在b点和d点的动能之比为5∶1
【答案】 BCD
【解析】 根据粒子在磁场中受洛伦兹力而从d点进、e点出,由左手定则知粒子带负电,A错误;根据磁场中运动的对称性知e点的速度大小等于v0,方向与bd成45°,即水平向右,而电场平行于bc方向,则粒子做类平抛运动,从b点射出电场,可知负粒子受到的静电力向上,则电场的方向由b指向c,B正确;设正方形边长为L,由几何关系可知t磁===,电场中的水平分运动是匀速直线运动,t电==,故=,C正确;粒子从d到e做匀速圆周运动,速度的大小不变,而从e到b做类平抛运动,水平位移等于竖直位移,则到达b点的竖直速度vy=2v0,合速度为vb=v0,则粒子在b点和d点的动能之比为m∶m=5∶1,D正确。
5.(4分)如图所示,在xOy直角坐标系中,y>0的区域内有方向垂直于纸面向里的匀强磁场,
y<0的区域内有方向竖直向下的匀强电场。一个质量为m、电荷量为-q的粒子从O点射出,初速度v0的方向与x轴正方向的夹角为θ(<θ<π),若粒子一直沿着O、P、Q三点所在的闭合图形做循环运动,已知P、Q两点的坐标分别为P(0,l)、Q(l,0),不计粒子的重力和空气阻力,则匀强磁场的磁感应强度大小B和匀强电场的场强大小E分别为(　　)
[A] , [B] ,
[C] , [D] ,
【答案】 B
【解析】 由题意作出粒子轨迹示意图如图所示,因为粒子一直沿着O、P、Q三点所在的闭合图形做循环运动,且∠POQ为直角,那么PQ为轨迹圆OPQ的直径,PQ=2R=2l,由洛伦兹力提供向心力,有qv0B=m,解得B=,过O点作初速度v0的垂线,其与PQ的交点O1即为圆心,根据几何关系易得OO1=O1Q=OQ=l,即△O1QO为等边三角形,可知初速度v0的方向与x轴正方向的夹角为 θ=150°,而粒子射入电场时速度方向与x轴负方向成30°角,因为在电场中粒子做类斜抛运动,垂直电场方向有v0cos 30°·t=l,沿电场方向有 v0sin 30°=
at,且a=,解得E=,B正确。
考点三　带电粒子在交变磁场中的运动
6.(6分)(多选)某一空间存在着磁感应强度为B且大小不变、方向随时间t做周期性变化的匀强磁场(如图甲所示),规定垂直于纸面向里的磁场方向为正。为使静止于该磁场中的带正电的粒子能按 a→b→c→d→e→f的顺序做横“∞”字曲线运动(即如图乙所示的轨迹),下列办法可行的是(粒子只受洛伦兹力的作用,其他力不计)(　　)
[A] 若粒子的初始位置在a处,在t=T时给粒子一个沿切线方向水平向右的初速度
[B] 若粒子的初始位置在f处,在t=时给粒子一个沿切线方向竖直向下的初速度
[C] 若粒子的初始位置在e处,在t=T时给粒子一个沿切线方向水平向左的初速度
[D] 若粒子的初始位置在b处,在t=T时给粒子一个沿切线方向竖直向上的初速度
【答案】 AD
【解析】 要使粒子的运动轨迹如题图乙所示,粒子做圆周运动的周期应为T0=。在t=时刻磁场方向向里,粒子在a点有水平向右的初速度,由左手定则知粒子所受洛伦兹力方向向上,粒子经时间沿圆弧ab运动到b,此时磁场方向改变,粒子受力方向改变,粒子沿b→c→d→b运动到b点,磁场方向又改变,粒子受力方向又改变,粒子沿b→e→f→a运动,满足题目要求,故A正确;在t=时刻磁场方向向外,粒子在f点有竖直向下的初速度,粒子受力方向向左,故粒子不能沿题图乙的轨迹运动,故B错误;在t=时刻磁场方向向里,粒子在e点有水平向左的初速度,所受洛伦兹力方向向下,沿e→f运动时间后磁场方向改变,粒子受力方向改变,粒子在f点离开圆弧向左偏转,故C错误;在t=T时刻磁场方向向里,粒子在b点有竖直向上的初速度,所受洛伦兹力的方向向左,粒子沿b→e→f→a→b运动一周到b点时磁场方向改变,受力方向向右,沿b→c→d→b运动,故D正确。
能力提升练
7.(6分)(多选)(2025·江西上饶质量检测)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,虚线OO′与x轴正方向的夹角为θ=60°,与y轴之间存在垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场,第二象限存在沿y轴正方向的匀强电场。一带负电的粒子从x轴负半轴的P点以初速度v0进入电场,与x轴正方向的夹角为 α=60°,经电场偏转后从点M(0,L)垂直于y轴进入磁场,粒子恰好不从O′O边界射出磁场。不计粒子所受重力,下列说法正确的是(　　)
[A] P点坐标为(-L,0)
[B] 粒子在电场中运动的时间为
[C] 粒子的比荷为
[D] 电场强度的大小为
【答案】 AC
【解析】 根据逆向思维,粒子从P点到M点的逆运动可以看成是从M点到P点的类平抛运动,则 vx=v0cos α,vy=v0sin α,L=vyt,x=vxt,解得 t=,x=L,P点坐标为(-L,0),粒子在电场中运动的时间为,A正确,B错误;粒子恰好不从O′O边界射出磁场,粒子在磁场中的运动轨迹如图所示,
根据几何关系有+r=L,根据洛伦兹力提供向心力有qvxB=m,解得粒子的比荷为=,C正确;沿电场方向,根据动能定理有 -EqL=0-m,且=,联立可得电场强度的大小为E=,D错误。
8.(12分)如图所示,在矩形区域ABCD内存在竖直向上的匀强电场,在BC右侧Ⅰ、Ⅱ两区域存在匀强磁场,L1、L2、L3是磁场的边界(BC与L1重合),宽度相同,方向如图所示,区域Ⅰ的磁感应强度大小为B1。一电荷量为+q、质量为m的粒子(重力不计)从AD边中点以初速度v0沿水平向右方向进入电场,粒子恰好从B点进入磁场,经区域Ⅰ后又恰好从与B点同一水平高度处进入区域Ⅱ。已知AB长度是BC长度的 倍。
(1)求带电粒子到达B点时的速度大小;
(2)求区域Ⅰ磁场的宽度L;
(3)要使带电粒子在整个磁场中运动的时间最长,求区域Ⅱ的磁感应强度B2的最小值。
【答案】 (1)　(2)　(3)1.5B1
【解析】 (1)设带电粒子进入磁场时的速度大小为v,与水平方向成θ角,粒子在匀强电场中做类平抛运动,由类平抛运动的速度方向与位移方向的关系有tan θ==,
则θ=30°,
根据速度关系有v==。
(2)设带电粒子在区域Ⅰ中的轨道半径为r1,由牛顿第二定律得qvB1=m,
轨迹如图所示,由几何关系得L=r1,
解得L=。
(3)当带电粒子不从区域Ⅱ右边界离开磁场时,在磁场中运动的时间最长。设区域Ⅱ中最小磁感应强度为B2m,此时粒子恰好不从区域Ⅱ右边界离开磁场,对应的轨道半径为r2,轨迹如图所示。
由牛顿第二定律得qvB2m=m,
根据几何关系有L=r2(1+sin θ),
解得B2m=1.5B1。

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