资源简介

(共14张PPT)
拔尖专训
拔尖专训3 胡不归模型
模型特点 求形如CB＋kCA(0模型展示
满分技巧 构造射线AD，使得 sin ∠DAN＝k，将CB＋kCA转化为 CB＋CH
(2)如图2，若Q是对角线BD上的一动点，求2AQ＋QD的最小 值．
过点A作AF1⊥DE于点F1，交BD于点Q1.
B
3． (2024·德阳节选)如图，抛物线y＝x2－x＋c与x轴交于点A(－ 1，0)和点B，与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式；
解：(1)将A(－1，0)代入y＝x2－x＋c，得1＋1＋c＝0.解得c＝ －2.
∴抛物线的解析式为y＝x2－x－2.
(2)∵y＝x2－x－2，当x＝0时，y＝－2.∴C(0，－2)．
当y＝x2－x－2＝0时，解得x1＝－1，x2＝2.
∴B(2，0)．∴AB＝3.
如图，连接AC. 设直线AC的解析式为y＝kx－2.
∴－k－2＝0.解得k＝－2.
∴直线AC的解析式为y＝－2x－2.
如图，过点P作PG⊥AC于点G，连接MB，过点P作PH⊥MB于点H.
∵对称轴与y轴平行，∴∠AMP＝∠ACO.
由抛物线的对称性，得PG＝PH，∠MAB＝∠MBA.(共15张PPT)
拔尖专训
拔尖专训6 半角模型
模型特点 共顶点的直角与其内含的45度角；共顶点的60度角与其内 含的30度角；共顶点的120度角与其内含的60度角等，共顶 点的角与其半角组成的图形
模型展示
满分技巧 通常将半角两边的三角形绕顶点旋转合并成一个三角形
例 (2024·宜宾)如图，正方形ABCD的边长为1，M，N是边BC， CD上的动点．若∠MAN＝45°，则MN的最小值为 ．
2Ｙ,2Ｈ－2
练习 (2024·乐山)在一堂平面几何专题复习课上，刘老师先引导学 生解决了以下问题：
【问题情境】
如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D，E在边 BC上，且∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，求DE的长．
解：如图2，将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACD′，连接 ED′.
由旋转的特征得∠BAD＝∠CAD′，∠B＝∠ACD′，AD＝ AD′，BD＝CD′.
∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠EAC＝45°.
∵∠BAD＝∠CAD′，∴∠CAD′＋∠EAC＝45°，即∠EAD′＝ 45°.∴∠DAE＝∠D′AE.
在△DAE和△D′AE中，AD＝AD′，∠DAE＝∠D′AE，AE＝ AE，∴ ① ．∴DE＝D′E.
又∵∠ECD′＝∠ECA＋∠ACD′＝∠ECA＋∠B＝90°，∴在 Rt△ECD′中， ② ．
∵CD′＝BD＝3，CE＝4，∴DE＝D′E＝ ③ ．
【问题解决】
上述问题情境中，“①”处应填： ； “②”处应填： ；“③”处应填： ．
刘老师进一步谈到：图形的变化强调从运动变化的观点来研究，只 要我们抓住了变化中的不变量，就能以不变应万变．
△DAE≌△D′AE(SAS)
CE2＋CD′2＝D′E2
5
【知识迁移】
如图3，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，满足 △CEF的周长等于正方形ABCD的周长的一半，连接AE，AF，分别 与对角线BD交于M，N两点．探究BM，MN，DN的数量关系并证 明．
解：【知识迁移】DN2＋BM2＝MN2.证明如下：
如答图1，将△ABE绕点A逆时针旋转90°，得到△ADF′.
过点D作DH⊥BD交边AF′于点H，连接NH.
由旋转的特征，得AE＝AF′，BE＝DF′，∠BAE＝∠DAF′， ∠ABE＝∠ADF′＝90°.
∴∠ADF＝∠ADF′＝90°.∴点F，D，F′三点共线．
由题意，得EF＋EC＋FC＝DC＋BC
＝DF＋FC＋EC＋BE.
∴EF＝DF＋BE＝DF＋DF′＝F′F.
在△AEF和△AF′F中，AE＝AF′，EF＝F′F，AF＝AF， ∴△AEF≌△AF′F(SSS)．∴∠EAF＝∠F′AF.
又∵BD为正方形ABCD的对角线，∴∠ABD＝∠ADB＝45°.
∵DH⊥BD，∴∠ADH＝∠HDB－∠ADB＝45°.
在△ABM和△ADH中，∠BAM＝∠DAH，AB＝AD，∠ABM ＝∠ADH，
∴△ABM≌△ADH(ASA)．∴AM＝AH，BM＝DH.
在△AMN和△AHN中，AM＝AH，∠MAN＝∠HAN，
AN＝AN，∴△AMN≌△AHN(SAS)．∴MN＝HN.
在Rt△HND中，DN2＋DH2＝HN2.
∴DN2＋BM2＝MN2.
2BE2＋
2DF2＝EF2
【问题再探】
如图5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝3，点D，E 在边AC上，且∠DBE＝45°.设AD＝x，CE＝y，求y与x的函数关 系式．
【问题再探】如答图2，将△BEC绕点B逆时针旋转90°，得到 △BE′C′，连接E′D. 过点E作EG⊥BC，垂足为点G，过点E′作 EG′⊥BC′，垂足为点G′.过点E′作E′F∥BA，过点D作DF∥BC交 AB于点H，E′F，DF交于点F.
由旋转的性质，得BE＝BE′，
∠CBE＝∠C′BE′，EG＝E′G′，BG＝BG′.
∵∠ABC＝90°，∠DBE＝45°，
∴∠CBE＋∠DBA＝45°.
∴∠C′BE′＋∠DBA＝45°，即∠DBE′＝45°.
在△EBD和△E′BD中，BE＝BE′，∠DBE＝∠DBE′，BD＝ BD，∴△EBD≌△E′BD(SAS)．∴DE＝DE′.
又∵AD＝x，CE＝y，∴DE′＝DE＝5－x－y.
∵DF∥BC，∴∠ADH＝∠C，∠AHD＝∠ABC
＝90°.∴△AHD∽△ABC.
∵E′G′⊥AB，∠ABC＝90°，∴E′G′∥BC∥FD.
又∵E′F∥AB，∠FHG′＝∠AHD＝90°，
∴四边形FE′G′H为矩形．(共11张PPT)
拔尖专训
拔尖专训2 将军饮马模型
模型特点 一条定直线＋同侧两定点；两条定直线＋一个定点；两条 定直线＋两个定点
模型展示
满分技巧 一般要以定直线为对称轴画出定点的对称点，再连接，构 造“两点之间，线段最短”
例1 如图，正方形ABCD的对角线交于点O，E是直线BC上一动 点，AB＝4，求AE＋OE的最小值．
解：如图，过点O作OF⊥AB于点F，作点A关于BC的对称点 A′，连接OA′，A′E，则AE＝A′E.
∵四边形ABCD是正方形，
∴FA′＝FB＋BA′＝2＋4＝6.
∴AE＋OE＝A′E＋OE≥OA′.
当O，E，A′三点共线时，AE＋OE最小．
1． (2024·成都)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A(3，0)， B(0，2)，过点B作y轴的垂线l，P为直线l上一动点，连接PO， PA，则PO＋PA的最小值为 ．
5
A． 15
D． 18
B
A． 4 B． 5 C． 8 D． 10
B
例2 (2024·绥化)如图，已知∠AOB＝50°，点P为∠AOB内部一 点，点M为射线OA，点N为射线OB上的两个动点，当△PMN的周长 最小时，则∠MPN＝ ．
80°
解：如图，分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2，连接 P1P2，分别交OA，OB于点E1，F1，连接PE1，PF1，则△PE1F1的周 长最小．所以当点E在点E1处，点F在点F1处时，△PEF的周长最 小，最小值为P1P2的长．连接OP1，OP2，OP.
由对称性，知OP1＝OP2＝OP＝2，
∠P1OA＝∠POA，∠P2OB＝∠POB.
∴∠P1OP2＝2(∠POA＋∠POB)＝2∠AOB＝90°.(共9张PPT)
拔尖专训
拔尖专训7 12345模型
模型特点
模型展示
满分技巧
45°
(2)猜想：针对(1)中的三个结论，若满足“①＋②”，能否推理得到 “③”呢？即“①＋② ③”是否成立？请说明理由．
∴α＋β＝45°.∴①＋② ③成立．
(3)拓展：针对(1)中的三个结论，猜想“①＋③ ②”“②＋③ ①”是 否成立，并说明理由．
2． 如图，正方形ABCD中，AB＝6，点G是BC的中点，将 △ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长 是 ．
2
1
A
D
O
|
F
B
对于三个式子①tana=乏，②tanB=3, a+B=45”,
满分技巧
满足其中任意两个，可推出第三个，即“①十②→③②十
③→①“①十③→②
B
B
E
备用图
解：②)成立、理由如下：
如图1，连接F
,AE=√12+22=√5，EF=√12+22=V5,
AF=√12十32=√10，.Ag+E=A,AE=EF
。△AEF是等腰直角三角形，∠BAF=45
|
D
B
Q
F
I
E
C
I
B
F
B
E
C
1
图1
③)都成立，理由如下：先证④+③→②构炸满足条件的函形，如
2,过点E作EG LAM,垂足为G,则△BGM特腰直角三角
形.易得M=2V2,EG=GM=
3V2
④+③→②立
1
1
Q
1
B
E
1
1
1
F
H
1
1
图3
A
D
E
F
!
B
G
C(共10张PPT)
拔尖专训
拔尖专训8 费马点模型
“费马点”指的是位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最 短的点，即如图，在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值 最小．
当点P满足∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝120°，则PA＋PB＋PC 的值最小，P点称为三角形的费马点．
模型特点 在△ABC内部找到一点P，使得PA＋PB＋PC的值最小
模型展示
满分技巧 旋转60°→构造等边三角形→将“不等三爪图”中三条线段 转化至同一直线上→利用两点之间线段最短求解问题
例1 如图，在△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC＝1，P是 △ABC内一点，求PA＋PB＋PC的最小值．
解：如图，将△APC绕点C顺时针旋转60°得△DFC，连接PF， AD，DB，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E.
由图可知AP＝DF，
∠PCF＝∠ACD＝60°，PC＝FC，AC＝CD.
∴△PCF，△ACD是等边三角形．
∴PC＝PF，AD＝AC＝1，∠DAC＝60°.
∴PA＋PB＋PC＝FD＋PB＋PF.
∴当B，P，F，D四点共线时，PA＋PB＋PC的值最小，最小 值为BD的长．
解：如图，将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG.
连接PG，CM.
∵AG＝AP，∠GAP＝60°，
∴△GAP是等边三角形．∴PA＝PG.
∵GM＝BP，
∴AP＋BP＋CP＝PG＋GM＋CP.
∴当M，G，P，C共线时，AP＋BP＋CP的值最小，最小值为 线段CM的长．(共17张PPT)
拔尖专训
拔尖专训5 瓜豆模型
瓜豆原理是主从联动轨迹问题．主动点叫“瓜”，从动点为“豆”．
1． “瓜”在直线上运动，“豆”的运动轨迹也是直线．
2． “瓜”在圆上运动，“豆”的运动轨迹也是圆．
"瓜"在直线上运动
模型特点
模型展示
A，Q，P三点共线(α＝0°) A，Q，P三点不共线
满分技巧 (1)P，Q两点轨迹所在直线的夹角等于α；
(2)P，Q两点轨迹长度之比等于AP∶AQ
例1 已知A为定点，点P是直线BC上一动点，连接AP.
(1)如图1，取AP的中点Q，点P在直线BC上运动时，画出点Q的 运动轨迹；
解：(1)如答图1，点Q的运动轨迹是过点Q且平行于BC的一条直线．
(2)如图2，若∠PAQ＝90°且AP＝AQ，当点P在直线BC上运动 时，画出点Q的运动轨迹；
(2)如答图2，点Q的运动轨迹是过点Q且与BC垂直的一条直线．
(3)如图3，若∠PAQ＝60°且AP∶AQ＝1∶2，则当点P在直线 BC上运动时，画出点Q的运动轨迹.
(3)如答图3，点Q的运动轨迹是过点Q且与BC的夹角是60°的一条直线．
1. 如图，在△ABC中，BC＝6，点P在线段BC上移动，点Q为 AP上靠近点A的三等分点，当点P由点B移动到点C时，点Q的运动轨 迹长为 ．
2
“瓜”在圆上运动
模型特点
模型展示
A，Q，P三点共线(α＝0°) A，Q，P三点不共线
满分技巧
例2 已知P是⊙O上一个动点，A为定点，连接AP.
(1)如图1，若Q为AP的中点，当点P在⊙O上运动时，画出点Q的 运动轨迹．
(2)如图2，作AQ⊥AP且AQ＝AP，则当点P在⊙O上运动时，画 出点Q的运动轨迹．
解：如图，点Q的运动轨迹是以点M为圆心，OP长为半径的圆．
(3)如图3，作∠PAQ＝120°且AQ∶AP＝2∶1，则当点P在⊙O 上运动时，画出点Q的运动轨迹．
解：如图，点Q的运动轨迹是以点M为圆心，2OP长为半径的 圆．
3． 如图，⊙O的直径AB＝4，P为⊙O上的动点，连接AP，点 Q为AP的中点，若点P在⊙O上运动一周，则点Q经过的路径长 是 ．
2π(共9张PPT)
拔尖专训
拔尖专训9 建系法
满分技巧：对于一些比较难的几何题，如果没有想到好的解法时， 可以尝试建立平面直角坐标系，然后将求出线段所在的直线解析式，通 过直线之间的平行、垂直、相交等关系求解．
例 (2024·连云港改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝ 30°，AC＝2.点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D 作DF⊥BC，垂足为F. 连接PF，取PF的中点E. 在点P从点A到点C 的运动过程中，求点E所经过的路径长．
练习 (2021·广东)如图，边长为1的正方形ABCD中，点E为AD的 中点，连接BE，将△ABE沿BE折叠得到△FBE，BF交AC于点G， 求CG的长．
解：如图，延长BF交DC于点H，连接EH，由题意可知△EFH 为直角三角形．
在Rt△EFH与Rt△EDH中，ED＝EF，EH＝EH，
∴Rt△EFH≌Rt△EDH(HL)．
设DH＝FH＝a.则HC＝DC－DH＝1－a，
BH＝BF＋FH＝1＋a.
又BC＝1，∴由勾股定理，
得(1－a)2＋12＝(1＋a)2.
设直线HB的解析式为y＝k2x＋b(k2≠0)，
A
D
P
E
B
C
F
解：如图，以点C为原点，建立如图所示的平面直角坐标系。设
P=a,则CP=2一.
过点D作DG LAC,垂足为G
DG=√3)AG
A
G
--
D
P
E
B
C
F
比
.DF⊥BC,DG⊥AC,∠ACB=0°，.四边形DGCF为矩
形.DG=CF.F5a,
点E为PF的中点，.E
4W5
y=1
4V3
.点E在直线y=1一少x上运动
3
D
C
G
E
1
I
!
A
B
b
H
C
E
A
解得e=左∴DH=子
以点A为标原点，线AB为黄轴正半轴，射线D为纵轴正半
轴建立平面直角坐标系，则丑，1)，B(4,0),C(1,1)
设直线AC的解析式为y=1x化0)·由点C(,1代入，
4
,解
3
肉写.，u,入，是0邪
b=
一3
.直线B的解折式为y=
x+联粒
,得
4(共11张PPT)
拔尖专训
拔尖专训4 阿氏圆模型
模型特点 求形如PA＋kPB(0模型展示
满分技巧 截取OC＝kOP，将PA＋kPB转化为PA＋PC
例 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝4， ⊙C的半径为2，P为⊙C上的一动点，连接PA，PB.
∵∠PCD＝∠BPC，∴△PCD∽△BCP.
连接AD交⊙C于点P1，则当点P运动至点P1处时，AP＋PD的值 最小，最小值为AD的长．
连接BE交⊙C于点P2，则当点P运动至点P2处时，PB＋PE的值 最小，最小值为BE的长．
5
2． 如图，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于A，B两点(点A在点B 的左边)，与y轴交于点C. Q是以1为半径的⊙B上的一动点，连接 AQ，CQ. 求AQ＋2CQ的最小值．
A
P
B
c O
A
A
P
P
C
B
C
B
备用图
A
P
C
B
A
P
P
C
D
B
图1
∠PCE
=∠ACP,.△PCE~△ACP.
PE
即
PE
AP
A
A
P
◇
C
B
A
P
”P
E
C
B
图2
A
D
P
B
C
个y
C
Q
0
A
B
X
解：由解析式，得C(0,3,A4,0),
B3,
0)
。4B=2,0C=3.
如图，在B上取点D
使BD=,
连接B,
0D
BD
AB
4$0
即OD
AB
个y
C
0
A
B
衣
.A0+2CQ=2G40+CQ)=2(0D+CQ)
连接CD交⊙B于点21，则当点2运动至点2处时，
D+CQ的
值最小，最小值为CD的长，
61
CD
=0C2+0D2
3
.D+C2的最小值为
2
A2十2C 的最小值为V6五：(共13张PPT)
拔尖专训
拔尖专训1 距离模型
模型特点 线段最短或两条线段的和最小
模型展示
满分技巧 两点之间，线段最短(三角形任意两边之和大于第三边)； 直线外一点与直线上各点连线中，垂线段最短
C． 5
D． 8
D
4． (2024·重庆节选)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋ bx＋4(a≠0)经过点(－1，6)，与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点(A 在B的左侧)，连接AC，BC，tan ∠CBA＝4.
(1)求抛物线的表达式；
(2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点，过点P作PE⊥x轴，垂 足为E，交AC于点D. 点M是线段DE上一动点，MN⊥y轴，垂足为 N，点F为线段BC的中点，连接AM，NF. 当线段PD长度取得最大值 时，求AM＋MN＋NF的最小值．
(2)令y＝0，则0＝－x2－3x＋4.解得x1＝－4，x2＝1.∴A(－4， 0)．
设直线AC的表达式为y＝mx＋4.
代入A(－4，0)，得0＝－4m＋4.解得m＝1.
∴直线AC的表达式为y＝x＋4.
设P(p，－p2－3p＋4)(－4∴PD＝－p2－3p＋4－(p＋4)＝－(p＋2)2＋4.
∵－1<0，∴当p＝－2时，PD最大，此时P(－2，6)，
E(－2，0)．∴AE＝2，MN＝OE＝2.∴AE＝MN.
如图，连接EN，EF. ∵AE∥MN，∴四边形AMNE是平行四边 形．∴AM＝EN.
∴AM＋MN＋NF＝EN＋MN＋NF≥MN＋EF.
∴当E，N，F共线时，EF取最小值，即AM＋MN＋NF取最小 值．
2Ｙ,2Ｈ＋1
2
Ｙ,2Ｈ－1

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