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第1章 四边形
1.7 三角形的中位线定理
学习目标
1．了解三角形中位线的概念.
2．探索并证明三角形的中位线定理.
3．会运用三角形的中位线定理进行简单的推理与计算.
知识回顾
前面证明平行四边形的性质定理与判定定理时，都是先将平行四边形分割成几个三角形，然后利用全等三角形来证明，反过来，是否可用平行四边形来研究三角形的有关问题呢？下面我们来试试.
思考 三角形的中线与中位线有什么区别
如图，D，F，E分别为△ABC的边AB，BC，
AC的中点，连接DE，DF，EF.我们把连接三角形
两边中点的线段叫作三角形的中位线.于是△ABC
有三条中位线，分别是DE，DF，EF.
E
A
B
C
D
F
课时导入
探究
如图，DE是△ABC的中位线，将△ADE以点E为中心，顺时针旋转180°，使点A和点C重合，得到△CFE.四边形DBCF是平行四边形吗？此时DE与BC具有怎样的位置关系和数量关系？
E
A
B
C
D
F
可以发现：DE∥BC，且DE=BC.
如图，DE是△ABC的中位线，延长 DE 至 F，使 EF = DE.连接 CF.
因为AE = CE， ∠AED = ∠CEF，DE=EF ，
从而AB //FC .
所以△ADE≌△CEF（边角边）.
于是AD = CF，∠A=∠ECF，
下面来证明上述发现是正确的.
E
A
B
C
D
F
又BD = AD = CF ，
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半 .
因此四边形DBCF是平行四边形.
所以DE // BC，且DE=DF =BC.
由此可得三角形的中位线定理：
知识讲解
（1）当在三角形或几何图形中看到中点，尤其是两个或者两个以上的中点时可以联想到三角形的中位线定理.
（2）三角形的中位线定理既可以得到线段的位置关系（平行），又可以得到线段的数量关系（倍分关系），所以在解决相关问题时要两方面结合起来灵活应用.
归纳：
如图，DE，DF，EF是△ABC的三条中位线.
（1）三条中位线把△ABC分成了几个小三角形？这些小三角形之间有什么关系？
（2）以A，B，C，D，E，F为顶点，你能找出多少个平行四边形？并说明理由.
做一做
A
B
C
D
E
F
G
H
例
如图，顺次连接四边形ABCD各边中点E，F，G，H，得到的四边形EFGH是平行四边形吗？为什么？
解：连接 AC.
因为EF是△ABC的中位线，
从而 EF∥HG，且EF = HG.
所以EF∥AC，且EF=AC.
因此四边形 EFGH 是平行四边形.
A
B
C
D
E
F
G
H
又因为HG是△DAC的中位线，
所以HG∥AC，且HG=AC.
在三角形内，与三角形两边相交，平行于第三边且等于第三边一半的线段是三角形的中位线吗？与同学交流你的理由.
议一议
解：是.理由如下：
如图，DE∥BC，且DE=BC.
因为点F为BC的中点，所以BF=CF=BC.
又因为DE∥BC，所以四边形CEDF是平行四边形.
所以DF∥EC，所以∠DFB=∠ECF.
B
C
E
A
D
F
所以DE=FC=BF.
取BC的中点F，连接DF，EF.
因为DE∥FC，所以∠AED=∠ECF，∠ADE=∠DBF.
因为DE=BF，所以△ADE≌△DBF（角边角）.
E
A
B
C
D
B
C
F
在三角形内，与三角形两边相交，平行于第三边且等于第三边一半的线段是三角形的中位线吗？与同学交流你的理由.
议一议
所以∠DFB=∠AED.
同理可得点E是AC的中点.
所以DE是△ABC的中位线.
所以AD=DB.所以点D是AB的中点.
随 堂 小 测
1. 如图，MN 为△ABC 的中位线，若∠ABC = 61°，则∠AMN = °，若 MN = 12 ，则 BC = .
A
M
B
C
N
61
24
A
D
B
C
E
2. 如图，△ABC 中，点D ，E 分别为 AB，AC 的中点，当 BC = 10 cm时，则 DE = cm.
5
第1题图
第2题图
3. 已知三角形的各边分别为 6 cm，8 cm，12 cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 ____ cm.
13
4. 已知三角形的周长为 64 cm，则连接各边中点所成三角形的周长为 ____cm.
32
5. 如图，已知△ABC 中，AB = 3 cm，BC = 3.4 cm，AC = 4 cm ，且点 D，E，F 分别为 AC，AB，BC 边的中点，则△DEF 的周长是 cm.
A
B
C
D
E
F
5.2
6. 在△ABC 中，中线 CE、BF 相交点 O，点M、N 分别是 OB、OC 的中点，则 EF 和 MN 的关系是_______________.
平行且相等
7. A，B 两村相隔一座大山，你能想办法测出 A，B 两村的直线距离 AB 的大小吗？若 MN = 360 m，则 AB = m.
A
B
C
M
N
解析：在 AB 外选一点 C，使 C 能直接到达 A 和 B，连接 AC 和 BC，并分别找出 AC 和 BC 的中点 M、N，测出 MN 的长，就可知 A、B 两点的距离.
720
如果，M、N 两点之间还有阻隔，你有什么解决办法？
两次利用中位线，分别取 CM 和 CN 的中点.
8. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， 点D 是斜边 AB 的中点，点E 是 BC 的中点.
（2）若 AB = 10，DE = 4， 求△ABC 的面积.
（1）DE⊥BC 吗？为什么？
A
B
C
D
E
所以DE∥BC.
（2）因为DE = 4，所以AC = 8.
因为AB = 10，AC = 8，所以BC = 6.
解：（1）因为点D、E 分别是 AB、BC 的中点，
因为∠C = 90°，所以∠DEC = 90°. 所以DE⊥BC.
所以S△ABC=AC·BC=×8×6=24.
9. 规律探究：（1）△ABC 的周长为 a，
D、E、F分别为△ABC各边中点，△DEF的周长为 ；
G、H、I分别为△DEF各边中点，△GHI的周长为 ；
C
A
B
D
F
E
G
H
I
像这样下去，第 3 个三角形的周长为 ；
第 n 个三角形的周长为 .
你发现了什么？
，…，
（2）已知：△ABC 的面积为 S ，连接各边中点得△A1B1C1，再连接△A1B1C1 各边中点得△A2B2C2 ，…，
则第 1 次连接所得△A1B1C1 面积＝____；
　第 2 次连接所得△A2B2C2 面积＝ ；
第 3 次连接所得△A3B3C3 面积＝ ；
，…，
第 n 次连接所得△AnBnCn 面积＝ .
A
C
A2
B2
C2
B
C3
A3
B3
次数 1 2 3 … n
所得三角形周长 …
所得三角形面积 …
通过上述题目我们可以得到：
小结
三角形中位线定理
定 义
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线
定 理
三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半

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