资源简介

(共34张PPT)
第1章 四边形
1.5 矩 形
1.5.1 矩形的性质
学习目标
1．理解矩形的概念，以及矩形与平行四边形的关系.
2．探索并证明矩形的性质定理：矩形的四个角都是直角；矩形对角线相等.
3．会用矩形的性质定理进行推理和计算.
4．理解矩形是中心对称图形，对角线交点是它的对称中心；矩形是轴对称图形，过每组对边的中点的直线都是矩形的对称轴.
课时导入
我们在小学就已经认识了长方形，从直观上看，长方形与平行四边形之间有什么区别与联系？
长方形是平行四边形，并且有一个角是直角，由此可引出下述定义：
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也称为长方形.
作为一种特殊的平行四边形，矩形除了具有平行四边形的所有性质外，是否还具有一些特殊的性质？下面我们来探索.
平行四边形
有一个角是直角
矩形
知识讲解
思考
矩形的四个角都是直角吗？矩形的两条对角线相等吗？为什么？
A
B
C
D
O
如图，四边形ABCD是矩形，∠DAB是直角，
根据矩形的定义可知，四边形ABCD是平行四边形，
于是AD//BC，且AB//DC.
因此∠ABC=∠ADC=180°-∠DAB=90°，
∠BCD=∠DAB=90°.
由此得到矩形的性质定理1：
矩形的四个角都是直角.
A
B
C
D
O
如图，四边形ABCD是矩形，于是AB=DC.
根据矩形的性质定理1得，∠ABC=∠DCB=90°.
又BC=CB，
所以△ABC≌△DCB（边角边），
从而AC=DB.
由此可得矩形的性质定理2：
矩形的对角线相等.
例1
矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC=4 cm，∠AOB=
60°，如图所示.求BC的长.
解：因为四边形 ABCD 是矩形.
所以OA = OB =AC =2 cm.
又∠AOB = 60°，
所以△AOB 是等边三角形.
于是AB = OA =2 cm.
因为∠ABC =90°，
所以在Rt△ABC中，
BC == = 2（cm）.
A
B
C
D
O
矩形是不是中心对称图形 如果是，那么对称中心是什么？
矩形是中心对称图形，对角线的交点是矩形的对称中心.
由于矩形是平行四边形，因此：
O
思考
探究
画出一个矩形ABCD，把它剪下来，怎样折能使矩形在折痕两旁的部分互相重合？满足这个要求的折法有几种？由此猜测：矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
A
B
C
D
O
E
F
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作直线EF⊥BC，且分别与边BC，AD相交于点E，F.
由于OB=BD=AC=OC，因此△OBC是等腰三角形，从而直线EF是线段BC的垂直平分线.
由于AD//BC，因此EF⊥AD.
同理，直线EF是线段AD的垂直平分线.
A
B
C
D
O
E
F
M
N
因此，点B与点C关于直线EF对称，点A和点D关于直线EF对称，从而
在关于直线EF的轴对称下，矩形ABCD的像与它自身重合，故矩形ABCD是轴对称图形，EF是它的一条对称轴.
过点O作直线MN⊥AB，且分别与边AB，DC相交于点M，N.
同理可得，点M，N分是边AD，DC的中点，
直线MN是矩形ABCD的一条对称轴.
由此得到：
矩形是轴对称图形，过每一组对边中点的直线都是矩形的对称轴.
所以矩形的对角线不是它的对称轴.
议一议
矩形的对角线是它的对称轴吗？你的结论与同学相同吗？
如图，矩形ABCD的对角线为AC，BD.
在关于直线AC的轴对称下，△ABC的像与△CDA不重合，故直线CD不是矩形的一条对称轴.
同理可得BD也不是它的一条对称轴.
A
B
C
D
随 堂 小 测
1. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，
下列说法错误的是 （　　）
A．AB∥DC
B．AC = BD
C．AC⊥BD
D．OA = OB
A
B
C
D
O
C
A
2. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( )
A. 对角线相等 B. 对边相等
C. 对角相等 D. 对角线互相平分
3. 若矩形的一条对角线与一边的夹角为 40°，则两条对角线相交的锐角是 ( )
A. 20° B. 40° C. 80° D. 10°
C
4. 如图，EF 过矩形 ABCD 对角线的交点 O，且分别交 AB、CD 于 E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD 面积的_________.
　　　　　　　　　　　　　
5. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F 分别是 AO、AD 的中点，若 AB = 6 cm，BC = 8 cm，则 EF =______cm．
2.5
A
B
C
D
O
E
F
6.如图，在矩形 ABCD 中，E 是 BC 上点，AE = AD，
DF⊥AE ，垂足为 F. 求证：DF = DC.
A
B
C
D
E
F
证明：连接 DE，如图.
因为AD = AE，所以∠AED = ∠ADE.
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以AD∥BC，∠C = 90°.
所以∠ADE = ∠DEC.
所以∠DEC = ∠AED.
又DF⊥AE，
所以DF = DC.
7. 如图，在矩形 ABCD 中，AE⊥BD 于 E，∠DAE：∠BAE＝3∶1，求 ∠BAE 和 ∠EAO 的度数．
解：因为四边形 ABCD 是矩形，
所以∠DAB=90°，AO=AC，BO=BD，AC=BD，
所以∠BAE+∠DAE=90°，AO=BO.
所以∠OAB=∠ABE，
又∠DAE∶∠BAE=3∶1，
所以∠BAE=22.5°，∠DAE=67.5°.
因为AE⊥BD，
所以∠ABE=90°-∠BAE=90°-22.5°=67.5°，
所以∠OAB=∠ABE=67.5°
所以∠EAO=67.5°-22.5°=45°.
8. 如图，将矩形 ABCD 沿着直线 BD 折叠，使点C 落在 C′ 处，BC′ 交 AD 于点 E，AD＝8，AB＝4，求△BED 的面积．
解：因为四边形 ABCD 是矩形，
所以AD∥BC，∠A＝90°，所以∠2＝∠3.
又由折叠知∠1＝∠2，
所以∠1＝∠3，所以BE＝DE.
设 BE＝DE＝x，则 AE＝8－x.
在Rt△ABE中，AB2＋AE2 ＝ BE2，
所以 42 ＋ (8－x)2 ＝ x2，解得 x＝5，
即 DE＝5.
所以S△BED＝DE·AB＝×5×4＝10.
小结
矩形的相关概念及性质
矩形的四个角都是直角，对边相等
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形
矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心
第1章 四边形
1.5 矩 形
1.5.2 矩形的判定
学习目标
1．探索并证明矩形的判定定理：
三个角是直角的四边形是矩形.
对角线相等的平行四边形是矩形.
2．会运用矩形的判定定理判定一个四边形是矩形.
知识回顾
问题1 矩形的定义是什么？
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
问题2 矩形有哪些性质？
矩形
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
课时导入
思考
前面已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，可以依此判定一个平行四边形是否是矩形，如果将定义中的“平行四边形”改成“四边形”，同时将“一个角是直角”改为“两个角（或三个角）是直角”，可以判定它是矩形吗？为什么？
两个角是直角的四边形不一定是矩形，例如直角梯形.
知识讲解
三个角是直角的四边形是矩形，理由如下：
如图，四边形ABCD中，
∠A，∠B，∠C都是直角.
由于∠A=∠B=∠C=90°，
所以∠D=360°-∠A-∠B-∠C=90°.
因此AD// BC，AB//DC，
从而四边形ABCD是平行四边形。
又∠A=90°，
由矩形的定义得，四边形ABCD是矩形.
由此得到矩形的判定定理1：
A
B
C
D
三个角是直角的四边形是矩形.
探究
把两根长度相等的细木条AC和BD的中点钉在一起，如图所示，连接AB，BC，CD，DA，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？是矩形吗？为什么？
A
B
C
D
O
四边形ABCD是平行四边形，也是矩形，理由如下：
由于OA=OC，OB=OD，
所以四边形ABCD是平行四边形，
从而AB=DC，AB //DC.
又AC=BD，BC=CB，
所以△ABC≌△DCB（边边边），
从而∠ABC=∠DCB.
A
B
C
D
O
又由AB//DC得，∠ABC+∠DCB=180°，
于是∠ABC=×180°=90°
因此，平行四边形ABCD是矩形.
由此可得矩形的判定定理2：
对角线相等的平行四边形是矩形.
例2
如图，在□ABCD，它的两条对角线相交于点O.
（1）如果□ABCD是矩形，试问：△OBC是什么样的三角形？
（2）如果△OBC是等腰三角形，且OB=OC，那么□ABCD是矩形吗？
解（1）因为□ABCD是矩形，
所以AC与DB相等且互相平分.
于是OB=DB=AC=OC.
所以△OBC是等腰三角形.
（2）因为△OBC是等腰三角形，且OB=OC，
所以AC=2OC=2OB=BD.
因此，□ABCD是矩形，
B
O
D
A
C
随 堂 小 测
1. 在判断“一个四边形门框是否为矩形”的数学活动课上，一个合作学习小组的 4 位同学分别拟定了如下的方案，其中正确的是 （　　）
A．测量对角线是否相等
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量一组对角是否都为直角
D．测量其中三个角是否都为直角
D
2. 如图，直线 EF∥MN，PQ 交 EF，MN 于 A，C 两点，AB，CB，CD，AD 分别是∠EAC，∠MCA，∠ ACN，∠CAF 的平分线，则四边形 ABCD 是 （ ）
A. 梯形 B. 平行四边形 C. 矩形 D. 不能确定
D
E
F
M
N
Q
P
A
B
C
C
3. 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点O，E，F，G，H 分别是 AO，BO，CO，DO 上的一点，且 AE＝BF＝CG＝DH. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
B
C
D
E
F
G
H
O
A
证明：
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以 AC＝BD （矩形的对角线相等），
AO＝BO＝CO＝DO （矩形的对角线互相平分）.
因为AE＝BF＝CG＝DH，
所以OE＝OF＝OG＝OH.
所以四边形 EFGH 是平行四边形.
因为EO＋OG＝FO＋OH，即 EG＝FH，
所以四边形 EFGH 是矩形.
4. 如图，在四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，AB=5，BC=12，AC=13．求证：四边形 ABCD 是矩形．
证明：四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠BAD = 90°，
所以∠ADC = 90°.
又△ABC 中，AB = 5，BC = 12，AC = 13，
满足 132 = 52 +122，即
所以△ABC 是直角三角形，且∠B = 90°.
所以四边形 ABCD 是矩形．
A
B
C
D
5.如图，在□ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 OA = OD，∠OAD = 50°．求∠OAB 的度数．
　
A　
B　
C　
D　
O
解：因为四边形ABCD是平行四边形，
所以OA = OC =AC，OB=OD=BD.
又OA = OD，
所以AC = BD.
所以四边形 ABCD 是矩形.
所以∠BAD = 90°.
又∠OAD = 50°，
所以∠OAB = 40°.
6. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B＝90°，AD＝24 cm，BC＝26 cm，动点 P 从点 A 出发沿 AD 方向向点D 以 1 cm/s 的速度运动，动点 Q 从点 C 开始沿着 CB 方向向点 B 以 3 cm/s 的速度运动．点 P、Q 分别从点 A 和点 C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点随之停止运动．问经过多长时间，四边形 PQBA 是矩形？
解：设经过 y s，四边形 PQBA 为矩形，
即 AP＝BQ.
所以 y＝26－3y，解得 y＝6.5.
即经过 6.5 s，四边形 PQBA 是矩形．
P
Q
小结
有一个角是直角的平行四边形是矩形
对角线相等的平行四边形是矩形
有三个角是直角的四边形是矩形
运用定理进行计算和证明
矩形的判定
定义
判定定理

展开更多......

收起↑