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第1章 四边形
1.6 菱 形
1.6.1 菱形的性质
学习目标
1．理解菱形的概念以及菱形与平行四边形的关系.
2．探索并证明菱形的性质定理：菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，对角相等.
3．了解菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心.菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线是它的对称轴.
4．能用菱形的性质进行简单的计算和推理.
课时导入
日常生活中，我们常常可以看到一些邻边相等的平行四边形，例如如图所示的围栏、挂衣架，其中每个平行四边形的邻边都是相等的，这也是一种特殊的平行四边形.
由此引出下述定义：
菱形作为一种特殊的平行四边形，除了具有平行四边形的所有性质外，也具有一些特殊性质，下面我们来探索.
一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
平行四边形
菱形
一组邻边相等
知识讲解
菱形的四条边相等.
如图，菱形ABCD中，AD=AB.
由于菱形是平行四边形，
因此AD=BC，AB=DC，
从而AD=AB=BC=DC.
由此得到菱形的性质定理1：
菱形的四条边相等吗？
思考
A
D
C
B
菱形的对角线互相垂直.
如图，菱形ABCD中，对角线AC，DB相交于点O.
根据菱形的性质定理1得，DA=DC，BA=BC.
根据“到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分
线上”得，点D和点B都在线段AC的垂直平分线上.
因此直线DB是线段AC的垂直平分线，
从而DB⊥AC.
由此得到菱形的性质定理2：
由于菱形是平行四边形，因此其对角线互相平分，除此之外，菱形的对角线还有什么关系？
探究
A
D
C
O
B
由于菱形是平行四边形，因此菱形是中心对称图形，对角线的交点是菱形的对称中心.
填空：
把图中的菱形 ABCD 作关于直线 DB 的轴对称，则
（1）点 A 的像是点C， 点 C 的像是 ， 点 D 的像
是 ，点 B 的像是 ；
（2）边 AD 的像是 ，边 CD 的像是 ，边 AB 的像是 ，边 CB 的像是 .
点 A
边 CD
点 B
点 D
边 AD
边 CB
边 AB
做一做
由上述操作可发现：菱形ABCD关于直线DB轴对称的像与它自身重合.同理，菱形ABCD关于直线AC轴对称的像也与它自身重合.
由此可得：菱形是轴对称图形，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
议一议
如图，菱形ABCD的面积S与对角线AC，BD的长有什么关系？将你的想法与同学交流.
因为S菱形ABCD=S△ADC+S△ABC，AC⊥BD，
所以S菱形ABCD=12AC·DO+12AC·BO
=12AC·（DO+BO）
=12AC·BD.
?
菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半.
例1
菱形ABCD的两条对角线AC，BD的长度分别为4 cm，3 cm，如图所示，求菱形ABCD的面积和周长.
解：菱形ABCD的面积
S=12×4×3=6（cm2）.
?
在Rt△ABO中，
OA=12AC=12×4=2（cm），OB=12BD=12×3=1.5（cm），
所以AB=????????2+????????2=22+1.52=2.5（cm）.
因此，菱形ABCD的周长为2.5×4=10（cm）.
?
A
B
C
D
O
随 堂 小 测
1. 如图，在菱形 ABCD 中，已知∠A＝60°，AB＝5，则
△ABD 的周长是 (　　)
A. 10 B. 12 C. 15 D. 20
第1题图
C
2.如图，已知菱形的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则这个菱形的高 DE 为（　　）
A. 2.4 cm B. 4.8 cm C. 5 cm D. 9.6 cm
B
第2题图
3. 如图，菱形 ABCD 的周长为 48 cm，对角线 AC、BD 相交于 O 点，E 是 AD 的中点，连接 OE，则线段 OE 的长为_______.
6 cm
A
B
C
O
D
E
4. 根据右图填一填：
（1）已知菱形 ABCD 的周长是 12 cm，那么它的边长是______.
（2）在菱形 ABCD 中，∠ABC＝120°，则∠BAC＝_______.
（3）菱形 ABCD 的两条对角线长分别为 6 cm 和 8 cm，则菱形的边长是_______.
3 cm
30°
A
B
C
O
D
5 cm
（4）菱形的一个内角为 120°，平分这个内角的对角线长为 11 cm，菱形的周长为_________.
44 cm
（5）菱形的面积为 64 cm2，两条对角线的比为 1∶2 ，那么菱形最短的那条对角线长为_______.
8 cm
5.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD ＝ 12 cm，AC ＝ 6 cm，求菱形的周长．
解：因为四边形ABCD是菱形，
所以AC⊥BD，AO＝12AC，BO＝12BD.
因为AC＝6 cm，BD＝12 cm，
所以AO＝3 cm，BO＝6 cm.
在 Rt△ABO 中，由勾股定理得
AB=????????2+????????2=32+62=35（cm）.
所以菱形的周长=4AB=4×35=125（cm）.
?
6.如图，在菱形 ABCD 中，CE⊥AB 于点 E，CF⊥AD 于点 F，求证：AE＝AF.
证明：连接 AC.
因为四边形 ABCD 是菱形，
所以AC 平分∠BAD，
即∠BAC＝∠DAC.
因为CE⊥AB，CF⊥AD，
所以∠AEC＝∠AFC＝90°.
又AC＝AC，
所以△ACE≌△ACF.
所以AE＝AF.
证明：因为四边形 ABCD 为菱形，
所以AD∥BC，AD＝BA，
∠ABC＝∠ADC＝2∠ADB .
所以∠DAE＝∠AEB.
因为AB＝AE，所以∠ABC＝∠AEB，
所以∠ABC＝∠DAE.?
因为∠DAE＝2∠BAE，所以∠BAE＝∠ADB.?
又AD＝BA ，所以△AOD≌△BEA .
所以AO＝BE .
7.如图，E 为菱形 ABCD 边 BC 上一点，且 AB = AE，AE 交 BD 于 O，且∠DAE = 2∠BAE，求证：OA = EB.
A
B
C
D
O
E
8.如图，在菱形 ABCD 中，点 O 为对角线 AC 与 BD 的交点，且在△AOB 中，OA＝5，OB＝12. 求菱形 ABCD 两对边的距离 h.
解：在 Rt△AOB 中，OA＝5，OB＝12，
所以S△AOB＝12OA·OB＝12×5×12＝30.
所以S菱形ABCD＝ 4S△AOB＝ 4×30 ＝ 120.
因为AB=????????2+????????2=52+122=13，菱形两组对边的距离相等，
所以S菱形ABCD＝AB·h＝13h.
所以13h＝120，得 h＝12013 .
?
9.如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到 0.01 m和 0.1 m2 ）.
A　
B　
C　
D　
O　
解：因为花坛 ABCD 是菱形，
所以AC⊥BD，∠ABO=12∠ABC=30°.
在Rt△OAB中，AO=12AB=10 m，
所以BO=????????2?????????2=202?102=103（m）.
所以AC=2AO=20 m，BD=2BO=203≈34.64（m）.
所以S菱形ABCD=4S△OAB=12AC·BD=2003≈346.4（m）.
?
归纳：菱形中的相关计算通常转化为直角三角形或等腰三角形，当菱形中有一个角是 60°时，菱形被分为以 60°为顶角的两个等边三角形.
小结
菱形的性质
菱形的性质
有关
计算
边
1. 周长=边长的四倍
2. 面积=底×高=两条对角线长度乘积的一半
角
对角线
1. 两组对边平行且相等；
2. 四条边相等
两组对角分别相等，邻角互补
1. 两条对角线互相垂直平分；
2. 每一条对角线平分一组对角
是中心对称图形和轴对称图形
对称性
第1章 四边形
1.6 菱 形
1.6.2 菱形的判定
学习目标
1．探索并证明菱形的判定定理：
四条边都相等的四边形是菱形，对角线互相垂直的四边形是菱形.
2．会运用菱形的判定定理判定一个四边形是否为菱形.
知识回顾
一组邻边相等
有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形
平行四边形
菱形的性质
菱形
两组对边平行
四条边相等
两组对角分别相等
邻角互补
两条对角线互相垂直平分
每一条对角线平分一组对角
边
角
对角线
问题 菱形的定义是什么？性质有哪些？
课时导入
作法：分别以 A、C 为圆心，以大于12AC 的长为半径作弧，两条弧分别相交于点 B ， D，依次连接 A、B、C、D 四点.
?
已知线段 AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形 ABCD，使 AC 为菱形的一条对角线吗？
C
A
B
D
想一想：根据作法你有什么猜想？你能验证作法的正确性吗？
猜想：四条边相等的四边形是菱形.
证明猜想
证明：因为AB = BC = CD = AD，
所以AB = CD ， BC = AD.
所以四边形 ABCD 是平行四边形.
又因为AB = BC，
所以四边形 ABCD 是菱形.
A
B
C
D
已知：如图，四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD.
求证：四边形 ABCD 是菱形.
知识讲解
思考
如图，用4支长度相等的铅笔首尾相接组成一个四边形，这个四边形是菱形吗？为什么？
这个四边形是菱形。理由如下：
如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA.
因为AD=BC，AB=DC，
所以四边形ABCD是平行四边形.
又因为AB=AD，
由菱形的定义得，四边形ABCD是菱形.
于是可得菱形的判定定理1：
四条边都相等的四边形是菱形.
A
B
C
D
例2
如图，在四边形ABCD中，线段BD垂直平分AC，且相交于点O，∠1=∠2.求证：四边形ABCD是菱形.
证明：因为线段BD垂直平分AC，
所以BA=BC，DA=DC，OA=OC.
在△AOB和△COD中，
因为∠1=∠2，∠AOB=∠COD，OA=OC，
所以△AOB≌△COD（角角边），
从而AB=CD，
因此AB=BC=CD=DA.
于是四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形）.
A
B
C
D
O
1
2
前面已经知道，菱形的两条对角线互相垂直，反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？两条对角线互相垂直的平行四边形呢？
探究
知识讲解
如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，BO≠OD，于是四边形ABCD不是平行四边形，从而四边形ABCD不是菱形，因此，两条对角线互相垂直的四边形不一定是菱形.
A
B
C
O
D
如图，在□ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，
则OA=OC，
于是直线BD是线段AC的垂直平分线.
根据线段垂直平分线的性质定理得，DA=DC.
于是□ABCD是菱形.
由此可得菱形的判定定理2：
A
B
C
O
D
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
如图，在□ABCD中，AC=6，BD=8，AD=5.求AB的长.
解：因为四边形ABCD为平行四边形，
所以OA=12AC=3，BD=12OD=4.
又因为AD=5，满足AD?=OA?+OD?，
所以△DAO是直角三角形，∠DOA=90°，
即DB⊥AC.
于是□ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）.
因此AB=AD=5.
?
例3
D
B
C
A
O
随 堂 小 测
1.下列命题中正确的是 （ ）
A. 一组邻边相等的四边形是菱形
B. 三条边相等的四边形是菱形
C. 四条边相等的四边形是菱形
D. 四个角相等的四边形是菱形
C
2.在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 互相平分，若添加一个条件使得四边形 ABCD 是菱形，则这个条件可以是 （ 　 ）
A．∠ABC = 90°
B．AC⊥BD
C．AB = CD
D．AB∥CD
B
3. 如图，将△ABC 沿 BC 方向平移得到△DCE，连接 AD，下列条件能够判定四边形 ACED 为菱形的是（　　）
A．AB = BC B．AC = BC
C．∠B = 60° D．∠ACB = 60°
B
解析：因为将△ABC 沿 BC 方向平移得到 △DCE，
所以AC∥DE，AC = DE.
所以四边形 ACED 为平行四边形.
当 AC = BC 时，平行四边形 ACED 是菱形．
故选 B．
A
B
C
D
E
4. 一边长为 13 cm 的平行四边形的两条对角线的长分别为 24 cm 和 10 cm，则平行四边形的面积是 .
120 cm2
A
B
C
D
O
E
5. 如图，矩形 ABCD 的对角线相交于点 O，DE∥AC，
CE∥BD.求证：四边形 OCED 是菱形.
证明：因为DE∥AC，CE∥BD，
所以四边形 OCED 是平行四边形.
因为四边形 ABCD 是矩形，
所以OC = OD.
所以四边形 OCED 是菱形．
B
C
A
D
O
E
M
N
证明：因为MN 是 AC 的垂直平分线，
所以AE = CE，AD = CD，OA = OC，
∠AOD = ∠EOC = 90°.
因为CE∥AB，所以∠DAO = ∠ECO.
所以△ADO≌△CEO(ASA)．
所以AD = CE.
所以四边形 ADCE 是平行四边形.
又因为∠AOD = 90°，
所以四边形 ADCE 是菱形．
6. 如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交AC于点 O，CE∥AB交 MN 于点 E，连接AE，CD.
求证：四边形 ADCE 是菱形.
C
A
B
D
E
F
G
H
7.如图，顺次连接对角线相等的四边形ABCD 各边中点，得到四边形 EFGH 是什么四边形？
解：四边形 EFGH 是菱形.
又因为AC=BD，
因为点 E、F、G、H 为各边中点，
所以EF=FG=GH=HE，
所以四边形 EFGH 是菱形.
归纳：顺次连接对角线相等的四边形的各边中点，得到四边形是菱形.
理由如下：连接 AC、BD.
所以EF=GH=12BD，FG=EH=12AC.
?
7.如图，在△ABC中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，BE＝2DE，延长 DE 到点 F，使得 EF＝BE，连接 CF.
（1）求证：四边形 BCFE 是菱形；
证明：因为D、E 分别是 AB、AC 的中点，
所以DE∥BC 且 2DE＝BC.
又因为BE＝2DE，EF＝BE，
所以EF＝BC，EF∥BC.
所以四边形 BCFE 是平行四边形．
又因为EF＝BE，
所以四边形 BCFE 是菱形.
解：因为∠BCF＝120°，
所以∠EBC＝60°.
所以△EBC 是等边三角形.
所以菱形的边长为 4，高为23 .
所以菱形的面积为4×23=83.
?
（2）若CE＝4，∠BCF＝120°，求菱形 BCFE 的面积．
归纳：判定一个四边形是菱形时，要结合条件灵活选择方法．如果可以证明四条边相等，可直接证出菱形；如果只能证出一组邻边相等或对角线互相垂直，可以先尝试证出这个四边形是平行四边形．
小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
四边相等的四边形是菱形
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理

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