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(共36张PPT)
第3节　整式
知识·要点梳理
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
知识点1　代数式及其求值
代数式 用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫作代数式.单独一个数或一个字母也是代数式
代数式
求值 直接代入法:把已知字母的值代入代数式,并按原来的运算顺序计算求值
整体代入法:将所求代数式或已知代数式进行变形,把已知代数式看成一个整体代入所求代数式中求值
1.(新华师七上P88习题T3变式)用代数式填空:
(1)一间教室有2扇门和4扇窗,n间这样的教室的门窗总数为　6n　.
(2)某轮船顺水航行3 h,已知轮船在静水中的速度是a km/h,水流速度是b km/h,轮船共航行　3(a+b)　 km.
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
知识点2　整式的相关概念
单
项
式 概念 只含有数字与字母的　乘积　的运算的代数式叫作单项式,单独的一个数或字母也是单项式
系数 单项式中的　数字因数　叫作单项式的系数
次数 单项式中所有字母的　指数的和　叫作这个单项式的次数
多
项
式 概念 几个单项式的　和　叫作多项式
项 组成这个多项式的每一个　单项式　都叫作多项式的项
次数 多项式中　次数最高项　的次数就叫作这个多项式的次数
整式 　单项式　和　多项式　统称为整式
同类
项 所含　字母　相同,并且相同字母的　指数　也分别相同的项叫作同类项.几个常数项也是同类项
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
知识点3　整式的运算
整式的
加减 合并同
类项 把同类项的 系数　相加,所得结果作为系数,
字母及字母的指数　不变
去括号
法则 括号前面是“+”号,把括号和它前面的 “+”　号去掉,括号里各项都 不变号　;括号前面是“-”号,把括号和它前面的 “-”　号去掉,括号里的各项都 变号　
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
整式的
乘法 单项式乘
单项式 把它们的 系数　、同底数幂　分别相乘,作为积的一个因式,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式
单项式乘
多项式 用单项式去乘多项式的 每一项　,再把所得的积 相加　
多项式乘
多项式 先用一个多项式的 每一项　乘另一个多项式的 每一项 ,再把所得的积 相加　
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
整式的
除法 单项式除以
单项式 把 系数　、同底数幂　分别相除,作为商的 因式 ,对于只在被除式里含有的字母,则连同它的 指数　作为商的一个 因式　
多项式除
以单项式 把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商 相加　
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
幂的
运算 同底数幂的乘法 am·an= am+n　(m,n都是整数)
同底数幂的除法 am÷an= am-n　(m,n都是整数且a≠0)
幂的乘方 (am)n= amn　(m,n都是整数)
积的乘方 (ab)n= an·bn　(n是整数)
乘法
公式 平方差公式 (a+b)(a-b)= a2-b2　
完全平方公式 (a+b)2= a2+2ab+b2　;
(a-b)2= a2-2ab+b2　
4.(人教八上P106习题T14变式)解方程或不等式:
(1)(x+2)(x-3)-(x-6)(x-1)=0.
(2)(x+1)(x-1)+8>(x+5)·(x-1).
解:(1)(x+2)(x-3)-(x-6)(x-1)=0,
x2-3x+2x-6-x2+7x-6=0,
6x-12=0,6x=12,x=2.
(2)(x+1)(x-1)+8>(x+5)(x-1),
x2-1+8>x2+4x-5,-4x>-12,x<3.
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
知识点4　因式分解
概念 把一个 多项式　化成几个整式的 积　的形式,叫因式分解
方
法 提取公因式法 ma+mb+mc= m(a+b+c)　
公式法 a2-b2= (a+b)(a-b)　;
a2±2ab+b2= (a±b)2　
十字相乘法(选学内容) x2+(a+b)x+ab= (x+a)(x+b)　
分组分解法 将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
步
骤 (1)如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式.
(2)提出公因式或无公因式可提,再考虑可否运用公式法或十字相乘法.
(3)当多项式的项数多于三项时,一般考虑用分组分解法.
(4)分解因式,必须进行到每个因式不能再分解为止
5.(人教八上P117练习T2变式)将下列式子因式分解:
(1)a2-6a+9.
(2)2m(a-c)-5(a-c).
(3)4x3y-9xy3.
(4)(2x+1)(3x-2)-(2x+1)2.
解:(1)原式=(a-3)2.
(2)原式=(a-c)(2m-5).
(3)原式=xy(4x2-9y2)=xy(2x+3y)(2x-3y).
(4)原式=(2x+1)(3x-2-2x-1)=(2x+1)(x-3).
思维·真题模拟演练
命题点2　整式的相关概念(7年1考)
3.(2024·河南)请写出2m的一个同类项:　m(答案不唯一)　.
4.(2025·河南濮阳二模)若多项式4a2+ka+1是一个完全平方式,则正数
k=　4　.
5.(2025·河南周口二模)请写出一个含有字母a和b,且次数为3的单项式:
　2a2b(答案不唯一)　.
9.电子文件的大小常用B,KB,MB,GB等作为单位,其中1 GB=210 MB,1 MB=210 KB,1 KB=210 B.某视频文件的大小约为1 GB,1 GB等于( A )
A.230 B B.830 B
C.8×1010 B D.2×1030 B
10.(1)(2025·河南信阳二模)(-m-n)(-m+n)的化简结果是( B )
A.m2+n2 B.m2-n2
C.n2-m2 D.-m2-n2
(2)(2025·河南信阳二模)(a+1)2-a2=　2a+1　.
(3)(2025·连云港)5a-3a=　2a　.
(4)(2025·河南鹤壁二模)计算x9÷x6的结果为　x3　.
命题点4　整式的规律探索(7年5考)
13.按一定规律排列的单项式:-2x3,3x6,-4x9,5x12,-6x15,…,则第n个单项式
是( A )
A.(-1)n(n+1)x3n B.(-1)n-1(n+1)x3n
C.(-1)n+1nx3n D.(-1)nnxn+3
14.按一定规律排列的多项式:a-2b2,3a3-4b4,5a5-6b6,7a7-8b8,…,则第n个多项式是( B )
A.(2n+1)a2n+1-nbn B.(2n-1)a2n-1-2nb2n
C.(2n+1)a2n+1-2nb2n D.(2n-1)a2n-1-nbn
15.(2025·河南)观察2x,4x2,6x3,8x4,…,根据这些式子的变化规律,可得第n个式子为　2nxn　.
命题点5　整式的化简(求值)(7年5考)
16.(2025·河南)化简:(x+1)2-x(x+2).
解:原式=x2+2x+1-(x2+2x)
=x2+2x+1-x2-2x
=1.
19.已知a2+2b2-1=0,求代数式(a-b)2+b(2a+b)的值.
解:原式=a2-2ab+b2+2ab+b2=a2+2b2.
∵a2+2b2-1=0,
∴a2+2b2=1,∴原式=1.
方法点拨　进行整式的运算时,先观察式子的结构特征,结合有效的数学思想:整体代入、降次、逆向思维等确定解题思路,使解题方便快捷.
20.化简:
(1)(2023·河南)(x-2y)2-x(x-4y).
(2)(2025·河南郑州二模)(a+2b)2-b(4a-b).
解:(1)原式=x2-4xy+4y2-x2+4xy=4y2.
(2)原式=a2+4ab+4b2-4ab+b2=a2+5b2.
22.若m+n=10,mn=5,则m2+n2的值为　90　.
命题点6　因式分解
23.(2025·河南开封二模)因式分解:a3-4a=　a(a+2)(a-2)　.
方法点拨　因式分解的两点提示:
1.因式分解“三定”公因式:
(1)定系数:公因式的系数是多项式各项系数的最大公因数.
(2)定字母:字母取多项式各项中都含有的相同的字母.
(3)定指数:相同字母的指数取各项中最小的一个,即字母的最低次数.
2.因式分解易错提醒:
(1)因式分解的结果必须是几个整式的乘积的形式,如a2-2a+1=a(a-2)+1不是因式分解.
(2)因式分解要分解到不能再分解为止,如因式分解4x2+24x+36=(2x+6)2不正确.
24.(2025·上海)分解因式:a2b+ab2=　ab(a+b)　.
素养·熟知方向
1.[新考向·开放性](2025·四川)多项式4x2+1加上一个单项式后,能成为一个多项式的平方,那么加上的单项式可以是　4x(答案不唯一)　(填一个即可).
2.[新考向·代数推理](2025·重庆)已知整式M:a0+a1x+a2x2+…+anxn,其中a0为自然数,n,a1,a2,…,an为正整数,且a0+a1+…+an=4.下列说法:
①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式;
②当n=3时,满足条件的所有整式M的和为4x3+4x2+4x+1;
③满足条件的所有二次三项式中,当x取任意实数时,其值一定为非负数的整式M共有3个.
其中正确的个数是( C )
A.0 B.1 C.2 D.3
3.[新考向·代数推理](2025·长沙)衣服穿戴整不整齐,系好第一粒扣子很重要.青少年迈开人生第一步就要走正道,要严格遵守国家法律法规.同样的道理,学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则.例如:下面命题的推理过程所得出的错误结论就是不遵守数学的基本法则导致的.
命题:如果a,b,c为实数,且满足a+b=-c,那么2=1.
推理过程如下:
第一步:根据上述命题条件有a+b=-c;①
第二步:根据七年级学过的整式运算法则有a=2a-a,b=2b-b,c=2c-c;②
第三步:把②代入①,可得(2a-a)+(2b-b)=-(2c-c);③
第四步:把③两边利用移项、去括号法则、加法交换律等,变形可得2(a+b+c)=a+b+c;④
第五步:把④两边同时除以(a+b+c),得2=1.⑤
请你判断上述推理过程中,第　五　步是错误的,它违背了数学的基本法则.

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