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(共51张PPT)
第4节　方程(组)及不等式(组)的应用
知识·要点梳理
知识点1
知识点2
知识点3
知识点1　列方程(组)解应用题的一般步骤
审 审清题意,分清题中的已知量、未知量
设 设出关键未知数
列 找出题干中的等量关系,列方程(组)
解 解方程(组)
验 检验所解答案是否正确或是否符合题意
答 规范作答,注意单位名称
1.(华师七下P46复习题T5变式)某班在校园安全教育主题班会上举行安全知识抢答赛,每组一共30个抢答题,规则:每道题答对得5分,答错或不答扣2分,晓红最后得分80分,则晓红答对题目的道数是　20　.
知识点1
知识点2
知识点3
知识点2　列方程(组)解应用题的常见类型
常见
类型 解题关键 常见相等关系或图形
购销
问题 售价=标价×折扣;
销售额=售价×销量
知识点1
知识点2
知识点3
常见类型 解题关键 常见相等关系或图形
利润
问题 总利润=总收入-总支出=单件　利润　×销售　数量　=　成本　×利润率
单件利润=单件售价-单件进价(成本)
销售数量=原销量+因降价多销量
销售数量=原销量-因提价少销量
知识点1
知识点2
知识点3
常见类型 解题关键 常见相等关系或图形
行程
问题 相遇问题:全路程=甲走的路程+乙走的路程
追及问题:(1)同地不同时出发:
前者走的路程=追者走的路程.
(2)同时不同地:
前者走的路程+两地间距离=追者走的路程
航行问题:
顺水速度=静水速度+水流速度;
逆水速度=静水速度-水流速度
工程问题 工作总量=工作效率×工作时间
知识点1
知识点2
知识点3
常见类型 解题关键 常见相等关系或图形
增
长
率
问
题 不显示原来的量时,通常把原来的量看作单位
“　1　”
知识点1
知识点2
知识点3
常见类型 解题关键 常见相等关系或图形
长度、
面积
问题
图1 图2
图3 图4
知识点1
知识点2
知识点3
2.(人教八上P152例3变式)甲计划用若干个工作日完成某项工作,从第三个工作日起,乙加入此项工作,且甲、乙两人工效相同,结果提前4天完成任务,则甲计划完成此项工作的天数是　10　.
3.(人教九上P22综合运用变式)(1)某学校准备修建一个面积为200 m2的矩形花圃,它的长比宽多10 m,则花圃的宽为　10　m.
(2)两个连续整数的积为240,则这两个数是　-16,-15或15,16　.
(3)如图所示,矩形ABCD是一个花园,长AD为32 m,宽AB为20 m.现要在花园中修建等宽的小路.剩余的地方种植花草,要使种植花草的面积为504 m2,那么小路进出口的宽度是　2 m　.
知识点1
知识点2
知识点3
知识点3　一元一次不等式(组)的应用
1.列不等式解应用题的基本步骤:(1)审题;(2)设未知数;(3)列不等式;(4)解不等式;(5)检验;(6)作答.
2.在实际问题中,常见的关键词与不等号的对应关系如下:
常见关键词 不等号
大于,多于,超过,高于 　>　
小于,少于,不足,低于 　<　
至少,不低于,不小于,不少于 　≥　
至多,不高于,不大于,不超过 　≤　
4.(华师七下P60问题变式)学校举行数学竞赛预赛,有20道选择题.评分标准为:对1题给5分,错1题或不答扣2分.总分不少于60分才能通过预赛,学校有20名同学通过了预赛,通过者至少要答对　15　道题.
思维·真题模拟演练
命题点1　购销问题(7年5考)
1.某中学为了响应“足球进校园”的号召,在商场购买A,B两种品牌的足球.已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元,购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元.
(1)购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元
(2)该中学决定购买A,B两种品牌足球共50个,恰逢商场对两种品牌足球的售价进行调整,A品牌足球售价比原来提高8%,B品牌足球按原售价的九折出售.如果此次购买A,B两种品牌足球总费用为3 060元,那么该中学购进B品牌足球多少个
(1)若设购买一个A品牌足球需要x元,购买一个B品牌足球需要y元,根据“购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元”,可列方程为　y-x=30　.根据“购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元”可列方程为
　2x+3y=340　,即可得出关于x,y的二元一次方程组.
(2)若设该中学购进B品牌足球m个,则购进A品牌足球　(50-m)　个,根据总价=　单价　×　数量　,即可得出关于m的一元一次方程.
方法点拨　列方程(组)解应用题的关键是寻找等量关系,寻找等量关系常用的方法有:①抓住不变量.②找关键词.③运用常用数量关系或数学公式.④画线段图或列表格.
(2)设购买A种菜苗m捆,则购买B种菜苗(100-m)捆.
∵A种菜苗的捆数不超过B种菜苗的捆数,
∴m≤100-m,解得m≤50.
设本次购买花费w元.
则w=20×0.9m+30×0.9(100-m)=-9m+2 700.
∵-9<0,
∴w随m的增大而减小,
∴m=50时,w取最小值,
最小值为-9×50+2 700=2 250.
答:本次购买最少花费2 250元.
【提分攻略】列分式方程解应用题时列方程的关键点:总价是常量,单价是未知量,数量上找相等关系.
3.(2025·河南许昌二模)每年的4月23日为世界读书日.某网上图书销售平台计划在今年世界读书日前购进甲、乙两类图书共1 200册,这两类图书的进价、售价如下表:
进价/(元/册) 售价/(元/册)
甲类图书 25 30
乙类图书 45 60
分别购进甲、乙两类图书多少册时进货款恰好为46 000元
解:设购进甲类图书x册,乙类图书(1 200-x)册.
根据题意,得25x+45(1 200-x)=46 000,
解得x=400,
所以乙类图书为1 200-400=800(册).
答:购进甲类图书400册、乙类图书800册时,进货款恰好为46 000元.
4.(2024·河南郑州模拟)2024年植树节来临之际,某学校计划采购一批树苗,参加“保护黄河,远离雾霾”植树节活动.已知每棵甲种树苗比每棵乙种树苗贵10元,用400元购买甲种树苗的棵数恰好与用300元购买乙种树苗的棵数相同.
(1)求甲、乙两种树苗每棵的价格分别是多少元.
(2)学校决定购买甲、乙两种树苗共100棵,实际购买时,甲种树苗的售价打九折,乙种树苗的售价不变.学校用于购买两种树苗的总费用不超过3 200元,最多可购买多少棵甲种树苗
命题点2　增长率问题(7年1考)
6.公安交警部门提醒市民,骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定.某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量,该品牌头盔4月份销售150个,6月份销售216个,且从4月份到6月份销售量的月增长率相同.
(1)求该品牌头盔销售量的月增长率为　20%　.
(2)若此种头盔的进价为30元/个,测算在市场中,当售价为40元/个时,月销售量为600个.若在此基础上售价每个每上涨1元,则月销售量将减少10个,为使月销售利润达到10 000元,而且尽可能让顾客得到实惠,则该品牌头盔的实际售价应定为　50　元/个.
7.(2025·重庆)某景区2022年接待游客25万人,经过两年加大旅游开发力度,该景区2024年接待游客达到36万人,求该景区这两年接待游客的年平均增长率.
解:设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x.
根据题意,得25(1+x)2=36,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不符合题意,舍去).
答:该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%.
设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x,则第一次增长后该景区2023年接待游客达到　25(1+x)　万人,第二次增长后该景区2024年接待游客达到　25(1+x)2　万人,根据题意可列方程.
命题点3　利润问题(7年4考)
8.某白酒专卖店销售一种白酒,这种白酒每瓶的进价为60元,若以每瓶100元的价格出售,每天可售出40瓶.为了促进销售,店长决定采取适当的降价措施.经市场调查发现,当这种白酒每瓶每降价1元时,每天可多售出2瓶.若为了让利于消费者,且日销售利润要达到1 600元,则这种白酒的销售价格为每瓶多少元
解:设这种白酒的销售单价为x元,则每瓶白酒的销售利润为(x-60)元,每天的销售数量为[40+2(100-x)]瓶.
由题意,得(x-60)[40+2(100-x)]=1 600,
整理,得x2-180x+8 000=0,
解得x1=80,x2=100(不符合题意,舍去).
答:这种白酒的销售价格为每瓶80元.
设这种白酒的销售单价为x元,则每瓶白酒的销售利润为　(x-60)　元,每天可售出　[40+2(100-x)]　瓶.根据日销售利润要达到1 600元,列出一元二次方程,解之取符合题意的值即可.
【提分攻略】利润问题列方程关键点:总利润=单件利润×销售数量,单件利润=单件售价-进价(成本),销售数量=原销量+因降价多销量(或-因提价少销量)
9.(2024·河南洛阳一模)某商场今年年初以每件10元的进价购进一批“网红”商品.当商品售价为20元时,一月份销售2 250件,三月份销售3 240件.设二月和三月该商品销量的月平均增长率相等.
(1)求二月和三月该商品销量的月平均增长率.
(2)从四月初起,商场决定采用降价促销的方式回馈顾客,经调查发现,该商品每降价1元,月销售量增加50件,当商品降价多少元时,商场月获利29 610元
解:(1)设二月和三月该商品销量的月平均增长率为x.
根据题意,得2 250(1+x)2=3 240,
解得x1=20%或x2=-2.2(不合题意,舍去).
答:二月和三月该商品销量的月平均增长率为20%.
(2)设当商品降价m元时,商场获利29 610元.
根据题意,得(20-10-m)(3 240+50m)=29 610,
解得m1=1,m2=-55.8(不合题意,舍去).
答:当商品降价1元时,商场月获利29 610元.
命题点4　面积问题
10.(2025·福建)为加强劳动教育,增加学生实践机会,某校拟用总长为5米的篱笆,在两边都足够长的直角围墙的一角,围出一块6平方米的矩形菜地作为实践基地,如图所示.设矩形的一边长为x米,根据题意可列方程( C )
A.5x2=6
B.5(1+x2)=6
C.x(5-x)=6
D.5(1+x)2=6
11.如图,利用一面足够长的墙,用铁栅栏围成一个矩形场地ABCD,在AB和BC边各有一个2 m宽的小门(不用铁栅栏).设矩形ABCD的宽AD为x m,矩形的长为AB(且AB>AD).
(1)若所用铁栅栏的长为40 m,用含x的代数式表示矩形的长AB.
(2)在(1)的条件下,若使矩形场地面积为192 m2,则AD,AB的长应分别为多少米
命题点5　其他问题(7年1考)
12.(2025·宜宾)某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛,共有20道题,对于每一道题,答对得10分,答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分,则他至少要答对的题数是多少
解:设小明要答对x道题,则答错或不答(20-x)道题.
根据题意,得10x-5(20-x)≥80,
解得x≥12,∴x的最小值为12.
答:他至少要答对的题数是12.
设小明要答对x道题,则答错或不答　(20-x)　道题,根据“得分不低于80分”可列不等式.
方法点拨　1.列不等式或不等式组解决实际问题,要注意抓住问题中的一些关键词语,如“至少”“最多”“超过”“不低于”“不大于”“不高于”“大于”“多”等.这些都体现了不等关系,列不等式时,要根据关键词准确地选用不等号.另外,对一些实际问题的分析还要注意结合实际.
2.列不等式(组)解应用题的一般步骤:①审题.②设未知数.③找出能够包含未知数的不等量关系.④列出不等式(组).⑤求出不等式(组)的解.⑥在不等式(组)的解中找出符合题意的值.⑦写出答案(包括单位名称).
13.我国的传统佳节端午节,历来有吃粽子的习俗.某食品加工厂拥有A,B两条不同的粽子生产线,原计划A生产线每小时加工粽子400个,B生产线每小时加工粽子500个.
(1)若生产线A,B一共加工12小时,且生产粽子总数量不少于5 500个,则B生产线至少加工多少小时
(2)原计划A,B生产线每天均工作8小时,由于受其他原因影响,在实际生产过程中,A生产线每小时比原计划少生产100a个(a>0),B生产线每小时比原计划少生产100个,为了尽快将粽子投放到市场,A生产线每天比原计划多工作2a小时,B生产线每天比原计划多工作a小时,这样一天恰好生产粽子6 400个,求a的值.
解:(1)设B生产线加工x小时,则A生产线加工(12-x)小时.
根据题意,得500x+400(12-x)≥5 500,
解得x≥7.
答:B生产线至少加工7小时.
(2)由题意,得(400-100a)(8+2a)+(500-100)(8+a)=6 400,
整理得a2-2a=0,
解得a1=2,a2=0(不符合题意,舍去),
∴a的值为2.
素养·熟知方向
3.[新考向·新教材](2025·湖北)幻方起源于中国,月历常用于生活,它们有很多奥秘,探究并完成填空.
主题:探究月历与幻方的奥秘
活动一:
图1是某月的月历,用方框选取了其中的9个数.
星期日 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12 13
14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27
28 29 30 31
图1
4 a 6
b
20
图2
n c n+2
d
n+16
图3
(1)移动方框,若方框中的部分数如图2所示,则a是　5　,b是　11　;
(2)移动方框,若方框中的部分数如图3所示,则c是　n+1　,d是　n+7　;(注:用含n的代数式表示c和d)
活动二:
移动方框选取月历中的9个数,调整它们的位置,使其满足“三阶幻方”分布规律:每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数的和都相等.
(3)若方框选取的数如图4所示,调整后,部分数的位置如图5所示,则e是
　11　,f是　3　;
(4)若方框选取的数中最小的数是n,调整后,部分数的位置如图6所示,则g是
　n+8　.(用含n的代数式表示g)
2 3 4
9 10 11
16 17 18
17 2 e
10
18 f
n+2
n g n+16
n+2
图4
图5
图6

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