资源简介

(共18张PPT)
第3课时　二次函数与方程、不等式的关系
知识·要点梳理
知识点　　二次函数与方程、不等式的关系
二次函数与一元二次方程 一元二次方程ax2+bx+c=0的解是其对应的二次函数图象与x轴交点的　横坐标　
二次函数与一元二次不等式 ax2+bx+c>0 它的解集就是当y　>　0时自变量x的取值范围,也就是x轴　上方　抛物线对应的x的取值范围
ax2+bx+c<0 它的解集就是当y　<　0时自变量x的取值范围,也就是x轴　下方　抛物线对应的x的取值范围
(教材整合)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的对称轴是直线x=2,且经过点A(3,0),根据如图所示图象解答下列问题:
(1)方程ax2+bx+c=0的两个根是　x1=1,x2=3　.
(2)不等式ax2+bx+c>0的解集是　x<1或x>3　.
(3)y随x的增大而减小的自变量x的取值范围是　x<2　.
(4)若方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实数根,且二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于点C(0,3),则实数k的取值范围是　k>-1　.
思维·真题模拟演练
命题点1　由二次函数交点看方程、不等式的解(集)(7年1考)
1.已知二次函数y=x2+2x-3和一次函数y=x-3,y=-3.
(1)因为y=x2+2x-3与x轴交于点(-3,0),(1,0),所以方程x2+2x-3=0的解为
　x1=-3,x2=1　,不等式x2+2x-3>0的解集为　x<-3或x>1　.
(2)因为y=x2+2x-3与y=-3交于点(-2,-3),(0,-3),所以方程x2+2x-3=-3,即x2+2x=0的解为　x1=-2,x2=0　,不等式x2+2x-3>-3的解集为
　x<-2或x>0　.
(3)因为y=x2+2x-3与y=x-3交于点(-1,-4),(0,-3),所以方程x2+2x-3=x-3,即x2+x=0的解为　x1=-1,x2=0　,不等式x2+2x-3>x-3的解集为
　x<-1或x>0　.
(4)因为y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有交点的条件是关于x的方程ax2+bx+c=0有实数根,所以y=ax2+bx+c与x轴有两个交点的条件是b2-4ac　>0　,有唯一交点的条件是b2-4ac　=0　,没有交点的条件是b2-4ac　<0　.
(5)因为y=ax2+bx+c(a≠0)与y=m有交点的条件是关于x的方程ax2+bx+c=m有实数根,所以y=ax2+bx+c与y=m有两个交点的条件是b2-4a(c-m)　>0　,有唯一交点的条件是b2-4a(c-m)　=0　,没有交点的条件是
b2-4a(c-m)　<0　.
(6)因为y=ax2+bx+c(a≠0)与y=kx+m有交点的条件是关于x的方程ax2+bx+c=kx+m有实数根,所以y=ax2+bx+c与y=kx+m有两个交点的条件是(b-k)2-4a(c-m)　>0　,有唯一交点的条件是(b-k)2-4a(c-m)　=0　,没有交点的条件是(b-k)2-4a(c-m)　<0　.
命题点3　通过二次函数图象求方程、不等式的解(集)(7年1考)
3.(2025·河南模拟)如图,抛物线y1与直线y2相交于点A和点B,点A,B的横坐标分别为-2和4.当y1>y2时,x的取值范围为( C )
A.x<-2
B.x>4
C.-2D.x<-2或x>4
4.(2025·河南模拟)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴是直线x=-1,与x轴的一个交点为(-5,0),则不等式ax2+bx+c≥0的解集为　-5≤x≤3　.

5.(2025·河南模拟)对于任意实数a,抛物线y=x2+ax+a+b与x轴都有公共点,则b的取值范围是　b≤-1　.
6.(2021·河南)如图,抛物线y=x2+mx与直线y=-x+b相交于点A(2,0)和点B.
(1)求m和b的值.
(2)求点B的坐标,并结合图象写出不等式x2+mx>-x+b的解集.
(3)点M是直线AB上的一个动点,将点M向左平移3个单位长度得到点N.若线段MN与抛物线只有一个公共点,直接写出点M的横坐标xM的取值范围.
(3)当点M在线段AB上(不含点A)时,
∵M,N的距离为3,而A,B的水平距离是2-(-1)=3,故此时线段MN与抛物线只有一个公共点,即-1≤xM<2;
当点M在点B的左侧时,线段MN与抛物线没有公共点;
当点M在点A的右侧,xM=3时,抛物线和线段MN交于抛物线的顶点(1,-1),
即当xM=3时,线段MN与抛物线只有一个公共点.
综上所述,点M的横坐标xM的取值范围是-1≤xM<2或xM=3.
【提分攻略】二次函数与线段AB有唯一交点问题关键点:一是二次函数的顶点在AB上,二是二次函数在给定区间(由A,B两点确定)内,函数值y满足yA≤y≤yB,或yB≤y≤yA.
素养·熟知方向
1.[新考向·运算能力](2025·河南郑州模拟)已知二次函数
y=ax2-4ax+3a(a≠0).
(1)该二次函数图象的顶点坐标(用含a的式子表示)为　　　　;抛物线与x轴的交点坐标为　　　　.
(2)若该二次函数的图象开口向上,当-1≤x<4时,y的最大值是4,求抛物线的解析式.
(3)已知P(x1,y1),Q(x2,y2)两点均在二次函数y=ax2-4ax+3a(a<0)的图象上,若t≤x1≤t+1,x2≥5,y1≥y2,求t的取值范围.

展开更多......

收起↑