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(共36张PPT)
第2节　与圆有关的位置关系
知识·要点梳理
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
知识点1　点与圆、直线与圆的位置关系
1.点与圆的位置关系
(☉O的半径为r,点到圆心的距离为d)
位置关系 点在圆外 点在圆上 点在圆内
d,r的数量关系 　d>r　 　d=r　 　d图示
点A在圆外,点B在圆上,点C在圆内
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
2.直线与圆的位置关系
(☉O的半径为r,圆心到直线的距离为d)
位置关系 相离 相切 相交
几何图形

公共点个数 0 1 2
公共点的名称 无 切点 交点
d,r的数量关系 　d>r　 　d=r　 　d1.(人教九上P101习题T2变式)已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为d.
(1)当d=3 cm时,☉O与直线l的位置关系是　相交　,☉O与直线l有　2　个公共点.
(2)当d=　5　 cm时,☉O与直线l的位置关系是　相切　,☉O与直线l有1个公共点.
(3)当d=6 cm时,☉O与直线l的位置关系是　相离　,☉O与直线l有　0　个公共点.
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
知识点2　切线的性质与判定
概念 直线和圆只有一个公共点,这时我们说这条直线和圆　相切　,这条直线叫作圆的切线,这个点叫作切点
性质
定理 圆的切线　垂直于　过切点的半径
判定 (1)直线和圆只有一个公共点,这条直线是圆的切线.(定义法)
(2)经过半径的外端并且　垂直于　这条半径的直线是圆的切线.(判定定理)
(3)圆心到一条直线的距离等于圆的 　半径　的直线是圆的切线
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
2.(人教九上P101习题T6变式)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠BAC的平分线交BC于点D,以D为圆心,DB长为半径作☉D.求证:AC与☉D相切.
证明:过点D作DF⊥AC于点F,如图,
∵AD平分∠BAC,DF⊥AC,AB⊥BC,
∴BD=DF,
∴AC是☉D的切线.
知识点1
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知识点3
知识点4
知识点3　切线与切线长
切线长 经过圆外一点的圆的切线上,这点和切点之间的线段的长,叫作这点到圆的切线长
切线长
定理 从圆外一点可以引圆的两条切线,它们的切线长相等,这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.如图,若PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,则PA=PB,∠APO=∠BPO,∠AOP=∠BOP
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
知识点4　三角形的内切圆与外接圆
三角形的内切圆
定义 与三角形各边都相切的圆叫作三角形的内切圆
内心 内切圆的圆心是三角形三条　角平分线　
的交点,叫作三角形的内心
性质 内心到三角形的　三边　距离相等
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
三角形的外接圆
定义 经过三角形的三个顶点可以作一个圆,这个圆叫作三角形的外接圆
外心 外接圆的圆心是三角形　三条边的垂直平分线　的交点,叫作这个三角形的外心
性质 外心到三角形三个　顶点　的距离相等
知识点1
知识点2
知识点3
知识点4
4.(人教九上P93思考变式)如图,点A,B,C均在直线l上,点P在直线l外,则经过其中任意三个点,最多可画出圆的个数为( C )
A.1　 B.2
C.3 D.4
5.(人教九上P103习题T14变式)如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=4,内切圆半径是　1　,外接圆半径是　2.5　.
思维·真题模拟演练
【提分攻略】点与圆的位置关系问题的关键点:一求距离,二比半径,三定位置.
2.如图,已知∠O=30°,M为OB边上任意一点,以点M为圆心,2 cm为半径作☉M,当OM=　4　cm时,☉M与OA相切.
命题点2　切线的性质与判定(7年5考)
3.(2025·河南南阳模拟)如图,点C是☉O中优弧AB上的一点,过P点的两条切线PA,PB的夹角∠APB=80°,A,B为切点,则∠ACB的度数是( C )
A.80°
B.60°
C.50°
D.40°
方法点拨　关于解决与圆的切线有关的角度或线段问题:
(1)常用的辅助线:①连接切点与圆心构造直角(三角形).②连接切点与直径两端点,找出直径所对的圆周角,构造直角三角形.(2)求线段长度时,可利用勾股定理或相关的三角函数计算,有时也会先根据圆中相等的角得到相似三角形,再根据相似三角形对应边成比例建立等式来解决.(3)求角度大小时,常利用圆周角定理及其推论进行求解.
4.(2022·河南)为弘扬民族传统体育文化,某校将传统游戏“滚铁环”列入了校运动会的比赛项目.滚铁环器材由铁环和推杆组成.小明对滚铁环的启动阶段进行了研究,如图,滚铁环时,铁环☉O与水平地面相切于点C,推杆AB与铅垂线AD的夹角为∠BAD,点O,A,B,C,D在同一平面内.当推杆AB与铁环☉O相切于点B时,手上的力量通过切点B传递到铁环上,会有较好的启动效果.
(1)证明:方法1:如图1,过点B作EF∥CD,分别交AD于点E,交OC于点F.
∵CD与☉O相切于点C,
∴∠OCD=90°.
∵AD⊥CD,
∴∠ADC=90°.
∵EF∥CD,
∴∠OFB=∠AEB=90°,
∴∠BOC+∠OBF=90°,∠ABE+∠BAD=90°.
∵AB为☉O的切线,
∴∠OBA=90°,∴∠OBF+∠ABE=90°,
∴∠OBF=∠BAD,∴∠BOC+∠BAD=90°.
图1
方法2:如图2,延长OB交CD于点M.
∵CD与☉O相切于点C,
∴∠OCM=90°,∴∠BOC+∠BMC=90°.
∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°.
∵AB为☉O的切线,
∴∠OBA=90°,∴∠ABM=90°,
∴在四边形ABMD中,∠BAD+∠BMD=180°.
∵∠BMC+∠BMD=180°,∴∠BMC=∠BAD.
∴∠BOC+∠BAD=90°.
图2
方法3:如图3,过点B作BN∥AD.
∴∠NBA=∠BAD.
∵CD与☉O相切于点C,
∴∠OCD=90°.
∵AD⊥CD,∴∠ADC=90°,
∴AD∥OC,∴BN∥OC,∴∠NBO=∠BOC.
∵AB为☉O的切线,∴∠OBA=90°,
∴∠NBO+∠NBA=90°,∴∠BOC+∠BAD=90°.
图3
图4
方法点拨　(1)要善于从复杂图形中识别出切线长定理的基本图形,如果基本图形不完整,通过添加辅助线构建完整.(2)运用切线长定理时,不能忽略切线性质的运用.
6.(2025·河南安阳模拟)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B是切点,点C是☉O上一点,若∠P=70°,则∠C=　55　°.
命题点4　多边形的外接圆与内切圆
7.(2025·上海)已知平面内有一个角,一个圆与这个角的两边都有两个交点,若此圆在角的边上截得的两条弦恰好是某正五边形的一边,那么这个角的度数为　108或36　度.
素养·熟知方向
1.[新考向·推理能力](2025·山东)在中国古代文化中,玉璧寓意宇宙的广阔与秩序,也经常被视为君子修身齐家的象征.下图是某玉璧的平面示意图,由一个正方形的内切圆和外接圆组成.已知内切圆的半径是2,则图中阴影部分的面积是( D )
A.π B.2π C.3π D.4π
2.[新定义](2025·扬州改编)材料的疏水性
扬州宝应是荷藕之乡.“微风忽起吹莲叶,青玉盘中泻水银”,莲叶上的水滴来回滚动,不易渗入莲叶内部,这说明莲叶具有较强的疏水性.疏水性是指材料与水相互排斥的一种性质.
【概念理解】
材料疏水性的强弱通常用接触角的大小来描述.材料上的水滴可以近似地看成球或球的一部分,经过球心的纵截面如图1所示,接触角是过固、液、气三相接触点(点M或点N)所作的气—液界线的切线与固—液界线的夹角,图1中的∠PMN就是水滴的一个接触角.
图1
图2
(1)请用无刻度的直尺和圆规作出图2中水滴的一个接触角,并用三个大写字母表示接触角;(保留作图痕迹,写出必要的文字说明)
(2)材料的疏水性随着接触角的变大而　变强　(选填“变强”“不变”“变弱”).
解:(1)①圆弧上取一点C,交界面与圆弧的交点为M,N,连接MC,NC;
②分别作MC,NC的中垂线,交于点O,则点O为圆弧的圆心;
③连接OM,过点M作PM⊥OM,则PM为圆O的切线,故∠PMN即为所求
(2)由题意和图,可知,接触角越大,水滴越趋近于球形,疏水性越强,
故材料的疏水性随着接触角的变大而变强;
故答案为:变强.

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