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人教版 八年级 数学（下）
第十九章 二次根式
19.1　二次根式及其性质
第2课时 二次根式的性质
新课导入
一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫作二次根式，二次根式也是代数式.
a叫作被开方数.
1．回顾二次根式的概念．
2．当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)；
1 x ≥ 0，
解得 x≤1 .
2x - 3 ≥ 0，
解得 x ≥ .
所以当x ≥ 时，在实数范围内有意义
所以当x≤1时，在实数范围内有意义
(2)；
(3)；
(4)；
当x 为全体实数时，在实数范围内有意义
1 ≥ 0，
解得-1≤ x ≤1 .
所以当-1≤ x ≤1时，在实数范围内有意义
3．填空：()2＝________，
＝________．
9
3
探究新知
我们知道，二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式，必须满足以下两条：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a ≥ 0；
（2）表示一个数或式的算术平方根，可知 ≥ 0.
性质1：二次根式的双重非负性
二次根式的被开方数非负
二次根式的值非负
≥ 0（a ≥ 0）
探究：
根据算术平方根的意义填空：
()2 = _______; ()2 = _______;
()2 = _______; ()2 = _______;
4
0
2
通过计算，你能猜出()2(a≥0)的结果吗？说说你的理由．
如图，一块正方形的方巾，面积为a，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
正方形的边长为.
用边长表示正方形的面积为( )2.
又因为面积为a.
所以( )2 = a.
这个式子对所有的二次根式都成立吗？
验证( )2 = a是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a(a≥0)
0
0.5
3
…
…
( )2
…
算术平方根
平方运算
0
0
0.5
3
把上述计算结论推广到一般，并用字母表示：
一般地， .
( )2 = a（a ≥ 0）
性质2：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
注意：不要忽略 a≥0 这一限制条件. 这是使二次根式有意义的前提条件. a 可以是数，也可以是式.
探究：
= _______; = _______;
= _______; = _______;
2
0.1
0
通过计算，你能猜出(a≥0)的结果吗？说说你的理由．
即任意一个非负数的平方的算术平方根等于它本身.
一般地，根据算术平方根的意义：
= a（a ≥ 0）
思考：
当 a 为任意实数时，都有意义. 如果上式中的 a 为负实数，那么上式还成立吗？为什么？
= a（a ≥ 0）
不成立
猜想：
证明：
当 a＜0 时， = a
∵ a＜0，
当a<0时，的结果是多少？你是怎样想的？
∴ a＞0，
则 = = -a
把得到的结论推广到一般，并用含字母的二次根式表示：
= |a| =
性质3：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
如何区别( )2与？
( )2
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
意义
先开方,后平方
先平方，后开方
a≥0
a取任何实数
a
|a|
表示一个非负数a的算术平方根的平方
表示一个实数a的平方的算术平方根
去根号法则
二次根式有哪些性质？你能归纳出来吗？
什么样的式子叫作代数式？
知识归纳
1．()2＝________(a≥0).
3．用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方和开方)把______或______________连接起来的式子，叫作代数式．
2．＝|a|＝
a
a
-a
数
表示数的字母
例题与练习
例 1
计算：
（1）()2； （2）()2.
解：（1）()2 = 1.5；
（2）()2
积的乘方：(ab)2 = a2b2
=22×()2
=4×5=20.
例 2
化简：
（1）； （2）.
解：（1）
（2）
=
= 4
=
=5.
例 3
计算与化简：
（1）2； （2）；
（3）； （4）；
（5）-； （6）；
解：原式＝12；
解：原式＝24；
解：原式＝9；
解：原式＝－2；
解：原式＝0.2.
解：原式＝a2＋2；
例 4
已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：
解：从数轴上a，b的位置关系可知－2a，故a＋1<0，b－1>0，a－b<0.
∴原式＝|a＋1|＋2|b－1|－|a－b|
+2 - |a-b|；
＝－(a＋1)＋2(b－1)＋(a－b)
＝b－3.
注意：利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要根据a，b的大小讨论绝对值内式子的符号.
1. 计算.
（1）( )2； （2）(3)2.
解：（1）()2=3；
（2）(3)2=32×()2
=9×2
=18.
（1）； （2）；
（3）； （4） .
0.3
﹣π
2. 化简：
3．下列各式中，正确的是(　 　)
B　
4．下列式子：①a＋b＝c；② 5；③a>0；④an，其中属于代数式的是(　　)
A．①③ B．②④
C．①③④ D．①②③④
B
A．＝－4 B．－＝－4
C．＝±4 D．＝±4
5．计算：
(1)＋；
(2) × × ；
解：原式＝＋＝2；
解：原式＝- ＝ -；
6．已知一个圆柱体的体积为V，高为h，求它的底面半径r(用含有V和h的代数式表示)；求当V＝80π，h＝5时，底面半径r的值．
解：圆柱体的体积V＝πr2h，
把V＝80π，h＝5代入上式，得r＝4.
∴r ＝ .
课堂小结
二次根式
性质
( )2 = a（a ≥ 0）
= a（a ≥ 0）
拓展性质
= |a| （a为全体实数）
随堂检测
1. 化简：
(1)＝ ; (2) ＝ ;
(3) ＝ ; (4) ＝ .
3
81
4
2
2.化简的结果是( ).
A.±4 B.±2 C.4 D.﹣4
3.当1A.3 B. 3 C.1 D. 1
C
D
( )2
4.利用 a ＝( )2(a≥0)，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9 ； (2) 2.5 ； (3) ； (4) 0 .
( )2
( )2
( )2
5. a，b，c为三角形的三边长，化简： + |b – a - c|
解：由三角形两边之和大于第三边得：
a+b-c>0，a+c-b>0.
所以 + |b – a - c|
= a+b-c+(a+c)-b
= 2a.
作业布置
(1)教材P5　习题19.1第2，4，8，9题；
(2)对应课时练习．

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