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人教版 八年级 数学（下）
第十九章 二次根式
19.1　二次根式及其性质
第1课时　二次根式的概念
新课导入
正数有_____个平方根且互为______数
0 的平方根是_______
负数_____平方根
非负数 a 的平方根表示为 .
平方根的性质
两
相反
零
没有
正数只有____个算术平方根
0 的算术平方根是_____
负数________算术平方根
非负数 a 的算术平方根表示为_______
算术平方根的性质
一
零
没有
1．若x2＝9，则x＝________；若y2＝3，则y＝________．
2．若正方形的面积为S，则正方形的边长为________．
填一填：
探究新知
(1) 一个长方形的围栏，长是宽的 2 倍，面积为 130 m ，则它的宽为 m.
解析：
长方形的面积 130＝长(2x)×宽(x)
2x2＝130
x2＝65
思考：用含有根号的式子填空，看一看写出的结果有什么共同特征：
(2)一个大正方形的面积是一个边长为 a 的正方形与另一个边长为 1 的正方形的面积之和，则大正方形的边长为__________.
解析：
S大正方形 = a2 ＋1
边长 =
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t (单位：s) 与开始落下时离地面的高度 h (单位：m) 的关系近似为 h = 5t2，如果用含有 h 的式子表示 t ，那么
t 为__________.
开始落下的高度 h = 5t2 (t＞0)
解析：
h = 5t2
上面的问题结果分别是：
所填的式子分别表示什么意义？
分别表示65，a2+1，的算术平方根．
这些式子有什么特点？
①根指数都为2；
含有“ ”.
②被开方数为非负数.
a叫作被开方数。a可以是数，也可以是式。
一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫作二次根式. 二次根式也是代数式.
什么叫二次根式？
成立的条件是什么？
a ≥ 0
思考：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？
x 为全体实数
x≥0
(1)x2 ≥ 0成立吗？为什么？
(2)式子一定成立吗？
(3)举例说明x3 ≥0是否一定成立？
(4)若有意义，则x的取值范围是什么？
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可。若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为0.
知识归纳
1．一般地，我们把形如__________的式子叫作二次根式，“ ”称为__________．
2．(a≥0)既是一个二次根式，又表示非负数a的___________，所以具有“双重非负性”，即：a______，________．
3．判断一个式子是否为二次根式，应该从两个方面进行考虑：①是否带有“”；②被开方数是否为非负数．
(a≥0)
二次根号
≥0
≥0
算术平方根
例题与练习
例 1
当x满足什么条件时，在实数范围内有意义？
二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数，即a≥0.
解：由x-2≥0，得
x≥2.
当x≥2时，在实数范围内有意义.
例 2
下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
(1)；
(2)；
(3)(x≤3)；
(4)(x>0)；
(5).
例 3
求使下列式子有意义的x的取值范围．
(1) ；
解：(1)由题意，得4－3x>0，
∴当x<时，有意义；
解得x<.
(2) ；
∴当x≤3且x ≠2时， 有意义；
解：由题意，得
解得x≤3且x ≠2.
(3) ；
解：由题意，得
解得x≥－5且 x ≠0.
∴当x≥－5且 x ≠0时， 有意义．
例 4
先观察下列等式，再回答问题．
(1)类比上述式子，再写出几个同类型的式子；
(2)你能看出其中的规律吗？用字母表示这一规律．
= =
解：（1） = =
（2） =
1. 要画一个面积为18cm2的长方形，使它的长与宽之比为3∶2.它的长、宽各应取多少？
解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm，
答：它的长取cm，宽取cm.
由题意得2x×3x=18，
解得x1= ， x2= - (舍).
2. 当a满足什么条件时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）； （2）； （3）.
3. 当a=5时，的值是________.
a ≥ 1
a ≤ 5
a ≥ -
4.下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是二次根式的有( 　)
A．1个　　　　B．3个　　　　C．4个　　　　D．5个
B
5．要使式子有意义，则x应该满足____________．
x≥2且 x ≠3
解：依题意，得(b－2)2＋＝0，
6．△ABC的三边长为a，b，c，其中a和b满足b2－4b＋4＋＝0，求c的取值范围．
∴b＝2，a＝5.
又∵a，b，c为三角形的三边长，
∴3课堂小结
二次根式
定义
在有意义条件下求字母的取值范围
含有二次根号
被开方数为非负数
被开方数≥0
分母≠0
随堂检测
2.二次根式中，字母x的取值范围是（ ）.
A.a＜2 B.a≤2 C.a≥2 D.a＞2
1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）.
A. B. C. D.
B
D
3. 当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）；
解：根据题意可得-x2+2x-1≥0，
∴-(x2-2x+1)≥0.
∴x2-2x+1≤0.
∴(x-1)2≤0.
∵(x-1)2≥0，
∴当x=1时，在实数范围内有意义.
解：根据题意可得-x2-2x-3≥0，
∴-(x2+2x+3)≥0.
∴x2+2x+3≤0.
∴(x+1)2+2≤0.
∵(x+1)2≥0，
∴无论x为何实数，在实数范围内都无意义.
（2）；
∴(x+1)2+2＞0.
4.已知 a 满足|4-a| + = a，求 a 的值.
解：由a 5≥0，得a≥5，
因为|4-a| + = a，
所以a - 4 + = a，
所以a 5=16，
所以a=21.
所以4 a＜0，
所以 = 4.
所以｜4 a｜=a 4.
5.已知x，y为实数，且y= + 4，求的算术平方根.
解：因为x，y为实数，y= + 4，
所以
所以 = =6，
所以x=9，y=4.
所以的算术平方根为.
作业布置
(1)教材P5　习题19.1第1，3，5，7题；
(2)对应课时练习．

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