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人教版 八年级 数学（下）
第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法
第1课时 二次根式的乘法
新课导入
1．回顾二次根式的性质和算术平方根的概念．
()2(a≥0)的性质：
一般地，()2＝a (a ≥0).
语言描述：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身.
的性质：
语言描述：任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
= |a| =
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根.
用(a≥0)表示.
算术平方根的概念:
2．下列运算正确的是(　 　)
A．()2＝2 B．(－)2＝－2
C．(－)2＝2 D．－－＝2
A
3．计算：(1)×＝_______，＝_______；
(2)×＝_______，＝_______．
10
10
12
12
×与的结果相同吗？
思考：
你发现了什么？
探究新知
计算下列各式：
（1）× = ___________，= _____________；
（2）× = _________， = __________；
（3）× = _________， = __________；
2×3=6
4×5=20
6×7=42
=6
=20
=42
观察计算结果，你能发现什么规律？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
(1)× =
(2)× =
(3)× =
你发现了什么规律？你能用字母表示你所发现的规律吗？
你能证明这个猜测吗？
× = (a ≥ 0, b ≥ 0 )
求证：× = (a ≥ 0, b ≥ 0 )
证明：根据积的乘方法则，有
∴ 就是ab的算术平方根.
又∵表示ab的算术平方根，
∴ = (a ≥ 0, b ≥ 0 ).
= = ab
通过计算，你能得出二次根式的乘法法则吗？
一般地，二次根式的乘法法则是
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示正数．
= (a ≥ 0, b ≥ 0 )
二次根式相乘，根指数不变，被开方数相乘.
语言描述：算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
二次根式的乘除法法则
想一想： = ？
解：原式 = ()
只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即：
=
=
… = (a ≥ 0, b ≥ 0 , k ≥ 0 )
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则.
解：原式 = (2×3)()
当二次根式根号外的因数不为1时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即：
想一想： = ？
=
= (m n) (a ≥ 0, b ≥ 0 )
可类比单项式乘单项式的法则计算.
二次根式的乘法法则反过来还成立吗？
这个性质在有的地方称之为“积的算术平方根的性质”
= (a ≥ 0, b ≥ 0 )
= (a ≥ 0, b ≥ 0 )
语言描述：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
我们可以运用它来进行二次根式的解题和化简.
知识归纳
1．二次根式的乘法法则：·＝________(a≥0，b≥0).
2．积的算术平方根的性质：＝________(a≥0，b≥0).
注意：根据二次根式的乘法法则，类似可得···＝__________(a≥0，b≥0，c≥0，d≥0).
·
例题与练习
例 1
计算：
（1）；
（2）；
（3）.
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
= ；
例 2
化简：
解：(1) =
(2) =
被开方数4a2b3含有偶数次因数4（4=22）和因式a2，b2，它们是开得尽平方的因数和因式，被开方后可以移到根号外.
（1）；
（2）；
= · · ·
= 2ab
= 4×9
= 36
变式化简：
解：原式
= ·· · ·
= 2ab
化简二次根式初步达到求简意识：
（1）被开方数进行因数或因式分解;
（2）分解后把能开尽方的开出来.
化简二次根式的步骤:
1.把被开方数分解因式（或因数） ；
2. 把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；
3.如果因式中有平方式（或平方数），应用关系式 = a(a≥0)把这个因式（或因数）开出来，将二次根式化简.
例 3
计算：
（1）；
（2）3；
解：
=
=
=
=；
解：原式
=
=6
=
=；
=
（3）.
解：原式
=
=；
=
=；
例 4
计算：
(1)×(－2 )× ；
解：原式＝－2
＝－10；
(2)5××；
解：原式＝×
＝；
(3) ·
解：原式＝
＝；
例 5
比较3与4的大小．
解：方法一：3＝＝，
方法二：∵(3)2＝45，(4)2＝48，45<48，
4＝＝.
∵<，
∴3<4；
∴3<4.
比较两个二次根式大小的方法：
(1)被开方数比较法，即先将根号外的非负因数移到根号内，当两个二次根式都是正数时，被开方数大的二次根式大．
(2)平方法，即把两个二次根式分别平方，当两个二次根式都是正数时，平方大的二次根式大．
(3)计算器求近似值法，即先利用计算器求出两个二次根式的近似值，再进行比较．
1.计算：(1)
(2)
(3)2
(4)
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝2
＝
＝
＝
63
2. 化简
3.一个长方形的长和宽分别是和2. 求这个长方形的面积.
解：长方形的面积 S = × 2
=2
=2
= 2 ×
=4
2
－36
4．计算：×＝_____．
5．计算：2×(－3)＝______．
6．计算：
(1)××；
解：原式＝
(2).
解：原式＝
＝60；
＝
＝2
7．一个底面为30 cm×30 cm的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为10 cm的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了20 cm，铁桶的底面边长是多少厘米？
解：设铁桶的底面边长是x cm.
由题意，得x2×10＝30×30×20，x2＝30×30×2，
x＝＝30.
答：铁桶的底面边长是30cm.
课堂小结
二次根式乘法
法则
性质
拓展
法则
= (a ≥ 0, b ≥ 0 )
… = (a ≥ 0, b ≥ 0 , k ≥ 0 )
= (m n) (a ≥ 0, b ≥ 0 )
= (a ≥ 0, b ≥ 0 )
随堂检测
2. 已知≈1.732，那么≈________. (结果保留小数点后两位)
3.46
1.若 = · ，则 （　　）
A．x≥6 B．x≥0
C．0≤x≤6 D．x 为一切实数
A
3. 化简二次根式 .
解：根据题意，知
所以x＜0.
所以原式 =
= ·
=
4.设x，y是有理数，且x，y满足等式x+2y - =17+ 4，则+y的平方根是多少？
解：因为x，y为有理数，
又因为x+2y- =17+4，
所以 ，
所以+y的平方根是±1．
解得 .
所以x+2y为有理数，
5. 如图，从一个大正方形中截去面积为 15 cm2 和 24 cm2 的小正方形，求留下部分的面积.
解：留下部分面积：
答：留下部分面积为12cm2.
=24+12 +15-24-15
=12 (cm2)
作业布置
(1)教材P11　习题19.2第1题；
(2)对应课时练习．

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