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人教版 八年级 数学（下）
第十九章 二次根式
19.2 二次根式的乘法与除法
第2课时 二次根式的除法
新课导入
二次根式的乘法法则：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
公式逆用：
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
(a≥0，b≥0)
(a≥0，b≥0)
计算
化简
2．计算：
(2)×；
(3).
(1)×；
2
8
2
3．计算下列各题，观察有什么规律？
(1)＝______，＝______， ______ ；
(2)＝______，＝______， ______ .
＝
＝
探究新知
计算下列各式：
（1） = _______， = _______；
（2） = _______， = _______；
（3） = _______， = _______.
观察计算结果，你能发现什么规律？
观察三组式子的结果，我们得到下面三个等式：
你发现了什么规律？能用字母表示你所发现的规律吗？
从上面的猜测的规律中，a，b 的取值范围有没有限制呢？
(1) = ； (2) = ； (3) = .
=
回顾上节课所讲的二次根式的乘法，我们知道
(a ≥ 0，b ≥ 0). 那么对于 =是否同样是 a ≥ 0，
b ≥ 0？
不是的。 应该是 a≥0， b＞0. 当 b = 0 时，等式两边的二次根式就没有意义啦！
通过计算，你能得出二次根式的除法法则吗？
一般地，二次根式的除法法则是
= (a ≥ 0, b > 0 )
语言描述：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根.
二次根式的除法法则的推广
①多个二次根式相除的情况：
②当二次根式根号外的因数不为1时，类比单项式除以单项式，可得：
… = (a ≥ 0, b > 0 , k > 0 )
= · (b ≥ 0, d > 0 , c≠0)
二次根式的除法法则反过来成立吗？
类比有理数的乘法法则，把有理数的除法法则反过来，也有类似的性质.
我们可以运用它来进行二次根式的化简.
= (a ≥ 0, b > 0 )
语言描述：两个数商的算术平方根，等于这两个数的算术平方根的商.
化简：
（1）； （2） .
解：(1)原式= =
观察计算结果，你能发现什么特点？
(2)原式= = =
观察各小题的最后结果，这些式子中的二次根式，有什么特点？
① 被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
注意：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
由此你能得出什么样的二次根式叫作最简二次根式？
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式 .
① 被开方数不含分母；
②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式.
如何把二次根式化为最简二次根式？
(1)将被开方数中能开得尽平方的因数或因式进行开方；
(2)化去根号下的分母：若被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数；若被开方数中含有小数，应先将小数化成分数；
(3)被开方数是多项式的要先进行因式分解.
计算：（1）；（2）；（3）；
解:（1）原式 = = = = = .
你还能想出其他的方法吗？
解法1
解:（1）原式 = = = .
解法2
当分母中含有二次根式时，可以利用分式的基本性质，分子、分母同乘一个适当的因式，化去分母中的根号，即进行分母有理化.
计算：（2）；（3）；
解：(2)原式 =
解：(3)原式 =
=
=
=
= .
=
= .
注意：在二次根式的运算中，一般要把最后结果化简，使其中的二次根式为最简二次根式，并且分母中不含二次根式.
如果两个广播电视塔的高分别是h1 km，h2 km，那么它们的传播半径之比是 . 如何化简这个式子呢？
可以看出，这个比与地球半径无关. 这样，只要知道h1，h2，就可以求出比值.
=
=
=
=
知识归纳
1．二次根式的除法法则：＝________(a≥0，b>0)，即两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变．
2．二次根式的除法法则的逆用：＝________(a≥0，b>0)，即商的算术平方根等于被除式的算术平
方根除以除式的算术平方根．
3．最简二次根式必须满足下列两个条件：
(1)被开方数不含_______；
(2)被开方数中不含_________________________．
分母
能开得尽平方的因数或因式
例题与练习
例 1
计算：
（1）；（2） ÷ .
像(2)中除式是分数或分式，先要转化为乘法再进行运算.
解：(1)原式 =
(2)原式 =
=
=
= 2 .
=
=
= 3 .
例 2
把下列二次根式化成最简二次根式：
解：原式＝＝；
解：原式＝＝；
解：原式＝3＝.
（1）；（2） ； （1）；.
例 3
设长方形的面积为S，相邻两边长分别为a，b. 已知S=，b= ，求a.
解：因为S=ab，
二次根式化简的结果中被开方数不含分母.
=
=
所以a =
=
=
=
=
例 4
长方形的长为3，面积为30，要在这个长方形中分割出一个面积最大的正方形，求该正方形的面积．
解：∵30÷3＝2，而3>2，
∴面积最大的正方形的边长是2，
∴正方形的面积是(2)2＝60.
1、计算：(1)； (2)；
解：（1）
（2）
=
=
=
= 3 .
=
=
= 2 .
(3)； (4)；
（3）
=
= 2
= 2 .
（4）
=
=
= .
2、化简：(1)； (2)； (3)；
解：(1)
=
=
=
(2)
=
=
=
(3)
=
=
=
3、计算：(1) ； ；
解：(1)
=
=
=
=
(1)
=
=
=
=
=
4、化简，使结果中的二次根式为最简二次根式：
（1）； （2）； （3）；
（4）； （5）； （6）.
4
2
3
5、计算：(1) ； (2) ； (3)； (4)；
解：(1) =
(2) =
(3) =
(4) =
=
=
=
=
=
=
= y
6、一个长方形的体积V=，高h=3，求它的底面积S.
解：因为V = Sh，V=，h= 3，
所以S =
7、若＝，则a的取值范围是 (　 　)
　A．a<2 B．a≤2
C．0≤a<2 D．a≥0
8、若和都是最简二次根式，则m＝______，n＝______．
C
－2
－4
9、已知a＋b＝－3，ab＝2，求＋的值．
解：∵a＋b＝－3，ab＝2，
∴a<0，b<0，
∴ ＋＝＋＝＝－＝.
课堂小结
二次根式的除法法则：
正用：计算
逆用：化简
混合用：乘除
简单应用
最简二次根式
①被开方数不含分母;
②被开方数中不含能开得尽平方的因数或因式．
条件
①运用商的算术平方根的性质将其化成 的形式；
②利用积的算术平方根的性质把能开得尽平方的因数或因式开出来;
③运用分式的基本性质化去分母中的根号．
方法
随堂检测
2. 能使等式 - 成立的 x 的取值范围是( )
A. x≠2 B. x≥0 C. x＞2 D. x≥2
C
1. 化简 ÷的结果是（　　）
A．9 B．3 C． D．
B
3.下列各式的计算中，结果为2的是( 　　)
A. ÷ B. ×
C. ÷ D. ×
C
4. 计算：
(1) ÷ ； (2) ÷ .
解：原式＝
解：(1) 原式＝ .
(2) 原式＝ .
5. 把二次根式(x-1)中根号外的因式移到根号内，结果是___________.
解析：由题意得1 x>0，则x 1<0，
-
所以(x-1) = - = -
＝2 .
6. 判断下列式子是否为最简二次根式，若不是，请化简.
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) (a＞0).b
＝ ＝ ＝ .
＝3ab2 .
作业布置
(1)教材P11 习题19.2第2，3，4，6，7题；
(2)对应课时练习．

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