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人教版 八年级 数学（下）
第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法
第1课时 二次根式的加减
新课导入
1．把下列二次根式化为最简二次根式．
(1)； (2)； (3)；
(4)； (5)； (6).
2．计算：
(1)2x＋3x＝_________；
(2)2x2－3x2＋5x2＝_________；
(3)x＋2x＋3y＝___________；
(4)3a2－2a2＋a3＝___________．
5x
4x2
3x＋3y
a2＋a3
3．类比计算：
(1)＋2＝________；
(2)3－2＋4＝________＝________．
3
5
10
探究新知
前面我们已经学过单项式加单项式的法则. 观察下图并思考.
a
+
a
a
a
a
=
a
a
a
a
a
由上图，易得2a+3a=5a.
当a=时，分别代入左右得2+3=5
当a=时，分别代入左右得2+3=5
……
你发现了什么？
由特殊到一般依次往下推导，易知二次根式的被开方数相同时可以合并. 继续观察下面的过程：
+
= 2a+3b
a
a
b
b
b
当a=，b= 时，
因为 = 3 =6，由前面知两者可以合并.
得2a+3b=.
这两个二次根式可以合并吗？
你又有什么发现？
将二次根式化成最简式，如果被开方数相同，则这样的二次根式（同类二次根式）可以合并.
注意：判断几个二次根式是否可以合并，一定都要化为最简二次根式再判断.
合并的方法与合并同类项类似，把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数（式）不变，如：
m + n = (m+n)
思考：
如何计算+？
解：+
（化成最简二次根式）
（利用分配律合并）
=+
=+
=
所列算式能直接进行加法运算吗？如果不能，把式中各个二次根式化成最简二次根式后，再试一试（说出每步运算的依据）.
依据：二次根式的性质、分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题.
+ = + = +=
化为最简二次根式
利用分配律合并
整式加减
由此你能得出二次根式的加减运算法则吗？
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
二次根式的加法与减法：
m + n = (m+n)
二次根式的加减
二次根式加法与减法的运算步骤：
（1）化——将二次根式化为最简二次根式；
（2）找——找出被开方数相同的二次根式；
（3）并——把被开方数相同的二次根式合并.
“一化二找三合并”
二次根式的乘除法与二次根式的加减法的区别：
二次根式的乘除法 二次根式的加减法
根号外的因数（式）
被开方数
化简
根号外的因数（式）相乘除
根号外的因数（式）相加减
被开方数相乘除
被开方数不变
结果化为最简二次根式或整式
先化为最简二次根式，再合并被开方数相同的二次根式
在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内成立吗？
知识归纳
二次根式加减时，先将二次根式化成______________，再将______________的二次根式合并．
最简二次根式
被开方数相同
1．二次根式的加减与整式的加减之间的联系与区别：二次根式的加减是被开方数相同的最简二次根式进行合并，不能合并的保留到结果；整式的加减是合并同类项，不能合并的保留到结果．
强调：
2．与不能合并，因为被开方数不同．
例题与练习
例 1
计算：
（1）- ；
（2）+；
（3）2 - + 3 .
解：（1）-
（2）+
（3）2 - + 3
=
= ;
= 3+5
=8 ；
= 4 -2+12
=14
例 2
（1） + + 2( - )；
解：（1） + + 2( - )
= 2 + + 2 -
= 4
计算：
（2）- .
= - - +
= -
有括号，先去括号.
例 3
有一块长为7.5dm、宽为5dm的木板，能否采用如图的方式，在这块木板上截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板？
分析：由图可以看出，只要木板的宽大于大正方形木板的边长，木板的长大于两个正方形木板的边长的和，就能截出所要求的两个正方形木板.
8 dm2
18 dm2
因为<5，所以这块木板够宽.
解：大正方形木板的边长为 dm.
两个正方形木板的边长的和为(+) dm，
由 <1.5可知 5 <7.5，
即两个正方形木板的边长的和小于这块木板的长，所以这块木板够长.
因此，可以用这块木板按要求截出两个面积分别是8dm2和18dm2的正方形木板.
而+ =2+3 =(2+3) = 5 .
8 dm2
18 dm2
例 4
计算：(1)＋2－4－；
解：原式＝＋4－－
(2)－－＋(－2)0＋.
解：原式＝3－－1－＋1＋－1
＝；
＝－1.
例 5
已知m＝2＋，求－的值．
解：原式＝－.
∵m－1＝2＋－1＝1＋>0，
∴原式＝m＋1＋.
将m＝2＋代入，得原式＝2＋＋1＋＝5.
1. 下列计算是否正确？为什么？
（1） + = ；
解:（1）不正确. 理由：
+ =2+3=5，
= ，
.
（2）不正确. 理由：
（3）正确，
（2） - = ；
（3） - = .
- = 2 - ，
= ，
.
- = (3-1) = .
2. 计算：
（1）2 - 6； （2） + - 3；
解：（1）2 - 6
（2） + - 3
= (2-6)
= -4
= 2 +3 -
= 4
（3） +(-)；
（4）( + ) - ( - ) .
(3) +(-)
(4)( + ) - ( - )
= 3+7-3
=10 - 3
=2 + - +
=3 +
3.如图，两个圆的圆心相同，它们的面积分别是62.8和 141.3 . 求圆环的宽度d（π取3.14）.
d = 大圆的半径 – 小圆的半径
解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r.
由圆的面积公式可得
d = R –r -
= -
=
= -
4．小明同学在作业本上做了以下4道题：①－＝；②3－＝3；③2＋3＝5；④－＝. 其中做对的题目的个数是 (　 　)
A．0 B．1
C．2 D．3
A
5．下列二次根式中，化简后不能与合并的是________．(填序号)
①； ②－；
③； ④； ⑤.
②⑤
6．计算：
(1)＋－－＋3；
解：原式＝3＋2－2－3＋
＝；
(2) －2－4＋；
解：原式＝－－2＋
(3) (3 )－(2－)－2.
解：原式＝－－＋2－
＝；
＝2－.
课堂小结
二次根式的加法与减法
法则
注意
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化简，再将被开方数相同的二次根式合并.
运算原理
运算顺序
运算律仍然适用
与实数的运算顺序一样
随堂检测
1.二次根式：、、中，与能进行合并的是（ ）
C
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
2.下列运算中错误的是（ ）
A
+ =
B. × =
C. ÷ =
D. =
3.下列各组二次根式中，化简后能合并的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
D
4.下列各组二次根式中，化简后能合并的是（ ）
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
D
5. 计算：
（1） + = _________；
（2） - 9 = _________；
（3） + (3 - 7) = _________；
（4） - (3 - 2) = ___________；
- 6
6. 已知a，b为实数，且a+b= 8，ab=8，则 b + a=______.
解析：因为a+b= 8<0，ab=8>0，
所以b + a
把a+b= 8，ab=8代入上式得，原式=-12.
=- ·
-12
所以a<0，b<0，
= - -
= -
= - ·
解：(1) 由题意得 a = = b=5，c=3 .
(2) 能. 理由如下：
7. 已知 a，b，c 满足 ++|c-3| =0.
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
又∵ a + c = 5
∴ a + c＞b，
∴ 能构成三角形，周长为a + b + c = 5 +5
∵3 即 a＜c＜b，
作业布置
(1)教材P16　习题19.3第1，2，4题；
(2)对应课时练习．

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