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人教版 八年级 数学（下）
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第2课时 勾股定理在实际生活中的应用
新课导入
1．勾股定理的概念．
在任何一个平面直角三角形中的两直角边的平方之和一定等于斜边的平方。
在△ABC中，∠C=90°，则a +b =c
2. 在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边为a，b，c，
∠C＝90°.
5
20
12
(1)已知a＝3，b＝4，则c＝______；
(2)已知c＝25，b＝15，则a＝_______；
(3)已知c＝19，a＝13，则b＝_______；(结果保留根号)
(4)已知a∶b＝3∶4，c＝15，则b＝______．
3．如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲到达的点B200 m，结果他在水中实际游了520 m，则该河流的宽度为______m.
480
观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
思考：
这个跟我们学的勾股定理有关，将实际问题转化为数学问题。
探究新知
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
2m
1m
A
B
D
C
【思考】
(1)木板能横着通过门框吗？竖着呢？为什么？
(2)如果木板斜着拿，能否通过门框？
(3)要使木板能通过门框，需要比较哪些数据的大小？你是怎么想的？
解：连接 AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理，
AC2=AB2+BC2=12+22=5
因为AC大于木板的宽2.2m,所以木板能从门框内通过.
2m
1m
A
B
D
C
AC= ≈ 2.24m
知识归纳
应用勾股定理的前提是在直角三角形中．如果三角形不是直角三角形，要先构造直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长．
注 意
在直角三角形中，已知两边长，利用勾股定理求第三边时，要弄清楚直角边和斜边，没有明确规定时，要分类讨论，以免漏解；
求几何体表面上两点间的最短距离的方法：把立体图形的表面展开成平面图形，根据“两点之间，线段最短”确定路径，然后利用勾股定理进行计算；
用勾股定理解决折叠问题时，能够重合的线段、角和面积相等．
例题与练习
例 1
如图，一架长为 2.5 m 的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点 A 处，底端位于地面的点 B 处，点 B 到墙面的距离 BO 为 0.7 m. 如果将梯子底端沿 OB 向外移动 0.8 m，那么梯子顶端也沿墙 AO 下滑 0.8 m 吗
A
B
D
C
O
解：当梯子底端设 OB 向外移动 0.8 m 时，设梯子的底端由点 B 移动到点 D ，顶端由点 A 下滑到点 C.
在 Rt△AOB 中，根据勾股定理得
OA2 = AB2 - OB2 = 2.52 - 0.72 = 5.76，
OA = 2.4.
A
B
D
C
O
可以看出，AC＝OA－OC.
A
B
D
C
O
在 Rt△COD 中，根据勾股定理得
OC2 = CD2 - OD2 = 2.52-(0.7+0.8)2=4，
因此，当梯子底端向外移动 0.8 m 时，梯子顶端并不是下滑 0.8 m，而是下滑 0.4 m.
OC = 2.
所以，AC = OA - OC = 2.4 - 2 = 0.4.
例 2
如图，在一棵树的10 m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树，走到离树20 m处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘A处(假设它经过的路线为直线)，如果两只猴子所经过的路程相等，求这棵树的高．
解：设BD＝x m．由题意知，BC＋AC＝BD＋AD，
∴AD＝(30－x)m.
在Rt△ACD中，由勾股定理，得(10＋x)2＋202＝(30－x)2，
∴x＋10＝5＋10＝15.
解得x＝5，
答：这棵树高15 m．
例 3
如图，长方体的长BE＝15 cm，宽AB＝10 cm，高AD＝20 cm，点M在CH上，且CM＝5 cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点M，需要爬行的最短距离是多少？
解：分三种情况比较最短距离：
如答图①所示，蚂蚁爬行的最短路线为AM，
AM＝＝5(cm).
　　
如答图②所示，蚂蚁爬行的最短路线为AM，
如答图③所示，蚂蚁爬行的最短路线为AM，
AM＝＝25(cm).
AM＝＝5 (cm).
∵5>5>25，
∴第二种路线较短，此时最短距离为25 cm.
答：需要爬行的最短距离是25 cm.
1.如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得BC=60 m，AC=20m.求A，B两点间的距离（结果取整数）.
解: AB=
=
=
≈
2. 如图，用激光测距仪测量一栋楼的高度. 位于地面上点 A 处的激光测距仪先将激光射向楼底端的点 B，仪器显示 AB = 23.1 m；再将激光射向楼顶端的点 C，仪器显示 AC = 31.9 m；最后仪器自动显示出楼高 BC = 22 m. 你能说出其中的数学道理吗？
解：根据勾股定理，
3. 电视机的屏幕尺寸是指其屏幕对角线的长度，通常以英寸（1 英寸= 2.54 cm）为单位. 王芳测得自家电视机的屏幕宽为 71 cm，高为 40 cm，这台电视机的屏幕尺寸是多少英寸（结果取整数）？
解：根据题意知，屏幕对角线的长度为
答：这台电视机的屏幕尺寸是 32 英寸.
，
4．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，每个小正方形的顶点称为格点，则图中与格点A的距离是的格点有 (　 　)
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
C
5．如图，小华将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为____m.
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6．如图，牧童在A处放牛，牧童家在B处，A，B处距河岸的距离AC，BD分别为500 m和300 m，且C，D两处的距离为600 m，天黑前牧童从A处将牛牵到河边去饮水，再赶回家，那么牧童最少要走多少米？
解：如图，作点B关于CD的对称点B′，连接AB′，交CD于点P，连接BP，
B′
P
E
过点A作B′B的垂线，垂足为E.
易得牧童最少要走的路程长为AB′的长度．
在Rt△AB′E中，AE＝600 m，B′E＝800 m，
∴AB′＝＝1 000(m).
答：牧童最少要走1 000 m．
课堂小结
勾股定理的应用
用勾股定理解决实际问题
用勾股定理解决几何问题
解决“HL”判定方法证全等的正确性问题
形象说明无理数与数轴的关系
随堂检测
1.从电线杆上离地面 5 m的 C 处向地面拉一条长为 7 m的钢缆，则地面钢缆 A 到电线杆底部 B 的距离是( )
A. 24 m B. 12 m C. m D. m
D
2.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是 9 cm，内壁高 12 cm，则这只铅笔的长度可能是
（　　）
9 cm B. 12 cm
C. 15 cm D. 18 cm
D
3. 已知点(2，5)，(-4，-3)，则这两点的距离为____.
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4. 如图，有两棵树，一棵高 8 米，另一棵高 2 米，两棵树相距 8 米. 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵的树梢，问小鸟至少飞行多少米？
A
B
C
解：如图，过点 A 作 AC⊥BC 于点 C.
由题意得 AC = 8 (米)，BC = 8 - 2 = 6 (米)，
答：小鸟至少飞行 10 米.
∴AB＝＝1 0米.
作业布置
(1)教材P30～31　习题20.1第4，5，9，10题；
(2)对应课时练习．

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