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人教版 八年级 数学（下）
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第1课时 勾股定理及其验证
新课导入
1．回顾直角三角形的相关概念．
有一个角为90°的三角形,叫做直角三角形。
2．在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
3．2002年在北京召开了第24届国际数学家大会，它是最高水平的全球性数学科学学术会议，被誉为数学界的“奥运会”．这就是本届大会会徽的图案．
提出问题：
(1)你见过这个图案吗？
(2)你听说过“勾股定理”吗？
探究新知
(1)图中，三个正方形的面积有什么关系？
商高所指的面积关系可以用图形表示，如图红色直角三角形的三边长分别为；3,4,5，分别以这三边为边向外作正方形，所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25.从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：
两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.
两个小正方形的面积之和等于大正方形的面积
(2)什么样的三角形是等腰直角三角形？等腰直角三角形的三边之间有什么关系？
S
S1
S2
S=S1+S2，
即c2=a2+b2.
a b
c
a b
c
有一个角是直角，且两条直角边长度
相等的三角形，叫做等腰直角三角形。
如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的
面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3， B3 ，C3呢？以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？
(1)等腰直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和，其他的直角三角形也具有这个性质吗？
提出问题：
(2) 计算图中各个正方形的面积。
(3)探究SA1＋SB1与SC1，SA2＋SB2与SC2、SA3＋SB3与SC3的关系，看看能得出什么结论？
如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b，斜边长为c,那么a2+b2=c2.
a
b
c
你能用什么方式证明吗？
a
b
c
赵爽弦图
b-a
∴S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b-a)2,
证明：
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
赵爽弦图
∴ c2 ＝4×ab+(b-a) =a +b .
等腰直角三角形的三边之间有一种特殊的关系：斜边的平方等于两直角边的平方和．
知识归纳
a
b
c
等腰直角三角形的三边关系
公式变形
（ a、b、c为正数）
勾股定理
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．直角三角形的这种关系称为勾股定理．
a
b
c
在我国又称商高定理，在外国则叫毕达哥拉斯定理，或百牛定理.
a=
c=
b=
例题与练习
例 1
在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边．
(1)若a＝，c＝4，求b；
(2)若c＝8，∠A＝30°，求b；
(3)若a∶b＝3∶4，c＝15，求S△ABC.
解：(1)b＝3；
(2)b＝4；
(3)S△ABC＝54.
例 2
解：∵AD⊥BC，
　 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝3，BD＝2，DC＝1，求AC的长．
∴∠ADB＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD中，
∴在Rt△ADC中，
AD＝＝＝，
AC＝＝＝.
例 3
　 如图，四边形ABCD是长方形，把△AC沿AC折叠到△ACD′，AD′与BC交于点E，若AD＝4，DC＝3，求BE的长．
解：由折叠的性质，得△ACD≌△ACD′，
∴∠D′＝∠D＝90°，CD′＝CD＝AB＝3.
∵∠AEB＝∠CED′，∠B＝∠D′＝90°，
∴△ABE≌△CD′E(AAS)，
设BE＝x，则AE＝CE＝4－x.
在Rt△ABE中，由勾股定理，得AE2＝AB2＋BE2，
∴BE＝.
∴AE＝CE.
即(4－x)2＝32＋x2，解得x＝，
1.设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c.
（1）已知a=6，c=10，求b；
（2）已知a=5，b=12，求c；
（3）已知b=15，c=25，求a.
解（1）b=
（2）c=
（3）a=
=
=
=8
=
=
=20
=
=
=13
2.如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，
12，求最大正方形E的面积，
解：正方形 A 的面积：SA =12 =144
正方形 B 的面积：SB =16 =256
正方形 C 的面积：SC =9 =81
正方形 D 的面积：SD =12 =144
S2
S1 =SA +SB =144+256=400
S2 =SC +SD =81+144=225
SE =S1 +S2 =400+225=625
答：最大正方形 E 的面积是 625。
S1
3如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是(　 　)
A．48 B．60
C．76 D．80
C
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a＋b＝2，c＝3，求△ABC的面积．
解：∵a＋b＝2，
∴a2＋b2＋2ab＝12.
由题知，a2＋b2＝c2＝9，∴ab＝，
∴S△ABC＝ab＝.
课堂小结
勾股定理
内容
在Rt△ABC中， ∠C=90°,a,b为直角边，c为斜边，则有a2+b2=c2.
注意
在直角三角形中
看清哪个角是直角
已知两边没有指明是直角边还是斜边时一定要分类讨论
证明
随堂检测
1.下列说法中，正确的是 （ ）
A. 已知 a，b，c 是三角形的三边，则 a2 + b2 = c2
B. 在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，所以 a2 + b2 = c2
D. 在 Rt△ABC 中，∠B = 90°，所以 a2 + b2 = c2
C
2. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为
____cm .
8 cm
10 cm
36
3. 在 △ABC 中，∠C = 90°.
(1) 若 a = 15，b = 8，则 c = ________.
(2) 若 c = 13，b = 12，则 a = ________.
4. 若直角三角形中，有两边长是 5 和 7，则第三边
长的平方为_________.
17
5
74 或 24
作业布置
(1)教材P30　习题20.1第1，2，3，7题；(2)对应课时练习．

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