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人教版 八年级 数学（下）
第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第3课时 利用勾股定理作图与计算
新课导入
欣赏下面海螺的图片：
在数学中也有这样一幅美丽的“海螺型”图案，如第七届国际数学教育大会的会徽.
这个图是怎样绘制出来的呢？
1．在等腰直角三角形中，直角边为1，斜边为多少？
2
1
？
2．若直角三角形的两直角边分别为 ，1，斜边为多少？
1
1
思考：
-1 0 1 2 3
3.你能在数轴上画出表示 的点吗？
提示：可以构造直角三角形作出边长为无理数的边，就能在数轴上画出表示该无理数的点.
探究新知
在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？
已知：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′.
求证： △ABC≌△A′B′C′.
证明：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
∠C=∠C′=90°
又 AB=A′B′, AC=A′C′，
根据勾股定理，得
∴BC=B′C′.
∴ △ ABC≌△A′B′C′（SSS）.
， B′C′=
(1)你能利用勾股定理证明斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等吗？
提出问题：
(2)我们知道实数都可以在数轴上表示出来，你能在数轴上画出表示的点吗？
(3)你还能在数轴上表示其他无理数吗？表示的依据是什么？
探 究：
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示的点吗？
分析：13开方就是 ，如果一个三角形的斜边长为 的话，问题就可迎刃而解了.
是直角边分别为2，3的直角三角形的斜边长.
√
√
=2
=3
=2
步 骤：
0
1
2
3
4
l
A
B
C
1.在数轴上找到点A,使OA=3;
2.作直线l⊥OA,在l上取一点B，使AB=2;
3.以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示 的点.
O
也可以使OA=2，AB=3，同样可以求出C点.
知识归纳
利用勾股定理表示无理数的方法
（1）利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正数的直角三角形的斜边.
（2）以原点为圆心，以无理数斜边长为半径画弧与数轴存在交点，在原点左边的点表示是负无理数，在原点右边的点表示是正无理数.
1．用数轴上的点表示无理数：如图，过数轴上表示数a的点A作直线l与数轴垂直，在直线l上截取AB＝b，连接OB(点O为原点)，以点O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点P.当点P在正半轴上时，它表示数_________；当点P在负半轴上时，它表示数
___________．
2．实数与数轴上的点是一一对应的，要在数轴上直接标出无理数对应的点比较难，我们可以借助_________作出长为(n为大于1的正整数)的线段，进而在数轴上找到表示无理数的点．
勾股定理
例题与练习
例 1
在数轴上作出表示－的点．
解：∵＝＝，
∴是以4，1为直角边的直角三角形斜边的长，
如图，即点C表示－.
0
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
.
C
A
例 2
　 利用如图4×4的方格，作出面积为8平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数和－.
解：如图．
0
1
2
-1
-2
-3
-4
-5
3
4
5
－
例 3
　 如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫格点．
(1)在图①中以格点为顶点画一个面积为5的正方形；
图①
解：如图①所示；
解：如图②，连接AC，并设点D，E，
(2)如图②，A，B，C是小正方形的顶点，求∠ABC的度数．
A
C
B
E
D
图②
则BC＝AC＝，且易证△ACD≌△BCE，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴∠ACD＋∠DCB＝∠BCE＋∠DCB，
即∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠ABC＝45°.
1. 在数轴上画出表示 的点.
O
1
2
3
4
5
l
解：如图，O 为数轴原点，首先在数轴上找出表示 4 的点
A，则 OA = 4.
然后过点 A 作直线 l 垂直于 OA，在 l 上取点 B，使 AB = 1.
最后以原点 O 为圆心，OB 长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点 C 即为表示 的点.
2. 如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，求：
（1）高 AD ；
（2）等边三角形 ABC 的面积.
解：（1）由题意知 BD = CD = 3.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，
AD2 = AB2－BD2 = 62－32 = 27，
（2）等边三角形 ABC 的面积
.
故 AD =.
3. 如图，AD 是△ABC 的边 BC 上的高. 分别以线段 AB，
AC，BD，CD 为边向外作正方形，正方形的面积分别为 S1，S2， S3，S4. 请写出关于 S1，S2，S3，S4 的等式.
解：在 Rt△ABD 和 Rt△ACD 中，
由勾股定理，AD2 = AB2－BD2 = AC2－CD2.
因为S1 = AB2，S2 = AC2，S3 = BD2，S4 = CD2，
所以S1－S3 = S2－S4 .
4．小明学了利用勾股定理在数轴上找一个无理数的准确位置后，又进一步进行练习：首先画出数轴，设原点为点O，数轴上的2处表示点A，然后过点A作AB⊥OA，且AB＝3.以点O为圆心，OB为半径作弧，设与数轴右侧交点为P，则点P的位置在数轴上(　 　)
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
C
5．如图，在矩形ABCD中，BC＝8，CD＝6，将△ABE沿BE折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点F处，则DE的长是_______．
5
6．在平静的湖面上，有一棵水草，它高出水面3 dm，一阵风吹来，水草被吹到一边，草尖齐至水面，已知水草移动的水平距离为6 dm，问这里的水深是多少？
解：根据题意，作图(如图)．
A
C
D
B
其中D是无风时水草的最高点，BC为湖面，AB是一阵风吹过水草的位置，则CD＝3 dm，CB＝6 dm，AD＝AB，BC⊥AD.
在Rt△ACB中，AB2＝AC2＋BC2，
即(AC＋3)2＝AC2＋62，
解得AC＝4.5.
答：这里的水深是4.5 dm.
课堂小结
勾股定理的逆定理的应用
应用
航海问题
方法
认真审题,画出符合题意的图形,熟练运用勾股定理及其逆
定理来解决问题
与勾股定理结合解决不规则图形等问题
随堂检测
1.如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段 AB 的长度为（ ）
A.5 B.6 C.7 D.25
A
2.小明学了利用勾股定理在数轴上作一个无理数后，在数轴上的 2 个单位长度的位置找一个点 D，然后过点 D 作一条垂直于数轴的线段 CD，CD 为 3 个单位长度，以原点为圆心，原点到点 C 的距离为半径作弧，交数轴于一点(如图)，则该点位置大致在数轴上 (　　)
A. 2 和 3 之间
B. 3 和 4 之间
C. 4 和 5 之间
D. 5 和 6 之间
B
3. 如图，网格中的小正方形边长均为 1，△ABC 的三个顶点均在格点上，则 AB 边上的高为_________.
作业布置
(1)教材P30～31　习题20.1第6，8题；
(2)对应课时练习．

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