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人教版 八年级 数学（下）
第二十章 勾股定理
20.2 勾股定理的逆定理及其应用
新课导入
1．回顾勾股定理和命题的概念．
A　
B　
C　
a
b
c
勾股定理：
直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
在 Rt△ABC 中，
若∠C = 90°，
则a2 + b2 = c2
2．如图，折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝8 cm，BC＝10 cm，求CE的长．
3．以3，4，5为三边的三角形的形状是怎样的？
探究新知
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，
题设
结论
题设和结论交换，还成立吗？
题设
结论
那么 a2 + b2 = c2 .
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 + b2 = c2 .
那么这么三角形是直角三角形.
图中给出了确定直角的一种方法：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩将长绳钉成一个三角形，其中一个角便是直角，
3
4
5
三边分别为3，4，5，
满足关系：32+42=52，
则该三角形是直角三角形．
探 究
提出问题：
(1)如果一个三角形的三条边长分别是3 cm，4 cm，5 cm，那么这个三角形是直角三角形吗？为什么？
(2)类似地，如果三角形的三边长分别为2.5 cm，6 cm，6.5 cm，有下面的关系：2.52＋62＝6.52，这个三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一
试．由此你能得出什么结论？
(3)什么叫作勾股数？一组勾股数同时放大相同的倍数后还是勾股数吗？
观 察 画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.52 + 62 = 6.52”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试.
2.5
6
6.5
4
7.5
8.5
42 + 7.52 = 8.52
如果三角形的三边长 a，
b，c 满足a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形.
猜 想
已知：如图，△ABC的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2．
求证：△ABC是直角三角形．
证一证
证明：作一个 Rt△A'B'C' ，使 B'C' = a，A′C′ = b，∠C' = 90°．
根据勾股定理，A'B' 2 = B'C' 2 + A'C' 2 = a2 + b2 .
因为 a2 + b2 = c2，所以 A'B' = c.
所以△ABC ≌ △A'B'C'（SSS）.
因此∠C = ∠C' = 90°，即△ABC 是直角三角形.
在△ABC 和△A'B'C'中，
BC = a = B'C' ，
AC = b = A'C' ，
AB = c = A'B' ，
A
C
B
b
a
c
A′
C′
B′
b
a
知识归纳
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
勾股定理的逆定理:
满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股
数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．
A
C
B
a
b
c
例题与练习
例 1
　 满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是 (　 )
A．b2－c2＝a2
B．a∶b∶c＝3∶4∶5
C．∠C＝∠A－∠B
D．∠A∶∠B∶∠C＝9∶12∶15
D
例 2
判断由线段 a，b，c 组成的三角形是不是直角三角形：
（1）a = 8，b = 15，c = 17；
（2）a = 14，b = 13，c = 15.
解:（1）因为 82 + 152 = 64 + 225 = 289，
172 = 289，
所以 82 + 152 = 172 .
根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形.
像 8，15，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.
（2）因为 142 + 132 = 196 + 169 = 365，
152 = 225，
所以 142 + 132 ≠ 152.
根据勾股定理，由线段 ɑ，b，c 组成的三角形不是直角三角形.
例 3
如图，港口P位于东西方向的海岸线上. “远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行, “远航”号每小时航行16n mile,“海天”号每小时航行12n mile.它们离开港口1.5h后分别位于点Q,R处，且相距30n mile.如果 “远航”号沿东北方向航行,那么“海天”号沿什么方向航行？
分析：在图中可以看到，由于“远航”号的航向已知，如果求出两艘轮船的航向所成的角，就能知道“航天”号的航向了。
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
远航号
海天号
16×1.5
12×1.5
30
45°
解：根据题意得
PQ=16×1.5=24(海里),
PR=12×1.5=18(海里),
QR=30海里.
∵242+182=302，即PQ2+PR2=QR2,
由“远航”号沿东北方向航行可知∠1=45°.
因此∠2=45°，即“海天”号沿西北方向航行.
∴∠QPR=90°.
例 4
　如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海．上午9时50分，我国反走私艇A发现正东方有一走私艇以13 n mile/h的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是13 n mile，A，B两艇的距离是5 n mile，反走私艇B测得距离走私艇C12 n mile，若走私艇C的速度不变，
最早会在什么时候进入我国领海？
A
B
M
N
C
北
E
解：设MN与AC相交于点E，则∠BEC＝90°.
∵AB2＋BC2＝52＋122＝132＝AC2，
∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°.
∵MN⊥CE，E为MN与AC的交点，
∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE.
由S△ABC＝AB·BC＝AC·BE，得BE＝＝＝
(n mile).
A
B
M
N
C
北
E
由CE2＋BE2＝BC2，
得CE＝＝＝(n mile),
∴÷13＝≈0.85(h)≈51(min)，
∴9时50分＋51分＝10时41分．
答：走私艇C最早会在10时41分进入我国领海．
A
B
M
N
C
北
E
1. A，B，C 三地的两两距离如图所示，A 地在 B 地的正东方向，
C 地在 B 地的什么方向？
解：由图知：在△ABC 中，AB = 12 km，BC = 5 km，AC = 13 km.
∵AB2 + BC2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169，AC2 = 132 = 169，
∴AB2 + BC2 = AC2，
由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形，且 ∠B = 90°.
∵A 地在 B 地的正东方向，
∴C 地在 B 地的正北方向.
2. 高师傅有 5 根长度（单位：dm）分别为 a = 6，b = 8，c = 10， d = 24，e = 26 的钢条，准备选 3 根焊接一个直角三角形钢架. 请你帮高师傅找出所有可能的钢条组合.
解：a2 = 36，b2 = 64，c2 = 100，d2 = 576，e2 = 676，
∴a2 + b2 = c2，c2 + d2 = e2，
∴所有可能的钢条组合有 2 种，长度（单位：dm）分别为 6，8，10 和10，24，26.
3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB = 3，BC = 4，CD = 12，
AD = 13，∠B = 90°. 求四边形 ABCD 的面积.
解：∵AB = 3，BC = 4，∠B = 90°，
∴由勾股定理，AC2 = AB2 + BC2，
∴AC= = 5.
又 CD = 12，AD = 13，
∴AC2 + CD2 = AD2，
∴△ACD 为直角三角形，且∠ACD = 90°，
∴S四边形ABCD = S△ABC + S△ACD = AB·BC + AC·CD
= ×3×4 + ×5×12 = 36.
4．下列各组数是勾股数的是(　 　)
A．3，4，5 B．1.5，2，2.5
C．32，42，52
A
D．，，
5．如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，已知A(3，2)，B(－2，3)，则∠OAB＝__________．
45°
6．一种机器零件的形状如图所示，按规定，这个零件中∠A和∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件各边尺寸在图中已标出，这个零件符合要求吗？请说明理由．
解：这个零件符合要求．理由如下：
∵AD＝12，AB＝9，BC＝8，BD＝15，CD＝17,
∴AB2＋AD2＝BD2，BD2＋BC2＝DC2，
∴△ABD，△BDC是直角三角形，
且∠A＝90°，∠DBC＝90°.
故这个零件符合要求．
课堂小结
勾股定理
的逆定理
内容
作用
从三边数量关系判定一个三角形是否是直角形三角形.
如果三角形的三边长a 、b 、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
注意
最长边不一定是c， ∠C也不一定是直角.
勾股数一定是正整数
勾股数
互逆命题和互逆定理
随堂检测
1.下列各组数是勾股数的是 ( )
A.3，4，7
B.5，12，13
C.1.5，2，2.5
D.1，3，5
B
将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形 ( )
A.是直角三角形
B.可能是锐角三角形
C.可能是钝角三角形
D.不可能是直角三角形
A
3.在△ABC 中，∠A， ∠B，∠C 的对边分别为 a，b，c.
①若∠C - ∠B = ∠A，则△ABC 是直角三角形；
②若 c2 - b2 = a2，则△ABC是直角三角形，且∠C = 90°；
③若 (c + a)(c - a) = b2，则△ABC 是直角三角形；
④若∠A∶∠B∶∠C = 5∶2∶3，则△ABC是直角三角形.
以上命题中的假命题有 （ ）
A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
A
作业布置
(1)教材P38　习题20.2第1，2，3，4，5题；
(2)对应课时练习．

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