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人教版 八年级 数学（下）
第十九章 二次根式
19.3 二次根式的加法与减法
第2课时 二次根式的混合运算
新课导入
1．回顾二次根式的加减、乘除运算法则、整式混合运算的法则和相关公式．
二次根式的加减法则
一般地，二次根式加减时，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并.
m + n = (m+n)
二次根式的乘法法则
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
= (a ≥ 0, b ≥ 0 )
二次根式的除法法则
两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平方根.
= (a ≥ 0, b > 0 )
整式混合运算的法则
整式混合运算的核心法则是先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的，同级运算从左到右依次进行。
2．计算：(1)＋－；
(2)×；
(3)÷.
3．计算：(1)(3x2＋2x＋2)·4x＝________________；
(2)(2x2y＋3xy2)÷xy＝__________．
4．简便计算：(1)(2x＋3y)(2x－3y)＝__________；
(2)(2x＋1)2＋(2x－1)2＝__________．
12x3＋8x2＋8x
2x＋3y
4x2－9y2
8x2＋2
探究新知
单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么？
p(a+b+c) = pa + pb + pc
(a+b)(p+q) = ap + aq + bp + bq
多项式与单项式的除法法则是什么？
(pa+pb+pc)÷ p = a + b + c (p≠0)
前面两个问题的思路是：
思考：若把字母 a，b，c，p，q 都用二次根式代替，然后对比归纳，你们发现了什么？
在二次根式的混合运算中，整式的乘法法则和乘法公式仍然适用.
分配律
单×多
转化
单×单
你能类比单项式与多项式乘除法法则计算下列各式吗？
(1)×(2－)；
解：原式 = ×2 - ×
= -
(2)(－)÷.
解：原式 = ÷ - ÷
= -
= -
= -
你能根据多项式乘多项式的法则计算下列式子吗？
(1)(－2)(2－)；
解：原式 = ×2 - × - 2 ×2 + 2 ×
= - - 4 + 4
= -
(2)(2＋2)(－).
解：原式 = × - × + 2 × - 2 ×
= - 10 + 6 -
= ( - ) + (-10 + 6)
= -
= -
你能说出整式的乘法公式吗？
平方差公式：
乘法公式
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
完全平方公式：
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
你能根据乘法公式计算下列式子吗？
(1)(－2)(＋2)； (2)(－2)2.
解：(1)原式 = -
= - 8
= - 5
解：(2)原式 = - 2× × 2+
= - 4 + 8
= 11 - 4
有理数的混合运算法则是什么？类似地，你能归纳出二次根式的混合运算法则吗？
先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号时先算括号里面的，同级运算从左到右依次进行。
先化简,若有同类二次根式先合并;运算顺序遵循先乘除后加减,有括号则优先运算括号内的内容;乘除运算时系数相乘除,根式部分按·=或=处理;结果需化为最简二次根式。
二次根式混合运算的几种常见类型及计算方法：
① = +
② = + + +
③ = - = a - b
④ = + = a +b
⑤ = =
(1) 在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？
(2) 二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是什么？
思考：
能
运算顺序相同
(3) 左边式子中的字母 a，b 可以表示二次根式吗？
(4) 怎样进行二次根式的混合运算？
二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
可以
知识归纳
1．二次根式的混合运算法则：先算_____，再算_____，最后算_______，有括号的，先算____________．
2．常见的乘法公式或法则：
(1)m(a＋b＋c)＝__________________；
(2)(x＋a)(x＋b)＝__________________；
(3)(a＋b)(a－b)＝__________；
(4)(a±b)2＝_____________．
乘方
乘除
加减
括号内的
ma＋mb＋mc
x2＋(a＋b)x＋ab
a2－b2
a2±2ab＋b2
例题与练习
例 1
计算：（1）( + ) ×
解：（1）( + ) × = × + ×
= +
= + 3；
（2）(4- 3) ÷ 2
（2）(4- 3) ÷ 2.
= (4- 3)×
= 4 × - 3 ×
=2 -
例 2
（1）( + 3)(- 5)；
解：（1）( + 3)(- 5)
= -5+3-15
= 2-2-15
= -13-2
（2）( + )( - ) .
解：（2）( + )( - ) = -
= 5 3
= 2.
【变式】计算：
（1） + | - 3| ；
（2） .
解：（1）原式= -3 -3 +3 - =-3
（2）原式=1 + 2 -3- = -2
有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为非负数.
例 3
(1)(4 -4+3)÷2；
解：原式＝2＋2；
(2)－(＋2)÷.
解：原式＝－1－.
例 4
先化简，再求值：÷，其中a＝2＋，b＝2－.
解：原式＝÷＝·＝.
当a＝2＋，b＝2－时，
原式＝＝＝.
1. 计算：
（1）()；
（2）(+)÷；
解：（1）原式 =
（2）原式= ÷ + ÷
= +
= 4+2
（4）( +)( - ) ；
（4）原式= -
（3）(+3)(+2).
（3）原式= +2+3+6
=5+5+6
=11+5
=6-2
=4.
2. 计算：
（1）(4 + )(4 - )；
（1）原式= -=16-7=9
（2）原式=
（2）( + )( - )；
（3）原式= + 2××2+
（4）原式= - 2×2 ×
（3） ；
（4）.
=20-4+2
=3+44
=7+4
=22-4
3．按如图所示的程序计算，若开始输入n的值是，则最后输出的结果是 (　 　)
A．14 B．16
C．8＋5 D．14＋
C
4．估计(2－)· 的值应在 (　 　)
A．1和2之间 B．2和3之间
C．3和4之间 D．4和5之间
5．若a＋＝，则a－＝_________．
±1
B
6．计算：
(1)(3 - 2 )÷2＋；
解：(1)原式＝(6-+4)÷2＋
＝×＋
＝＋
＝5；
(2)(＋－)(－＋)；
(2)原式＝[＋(－)][－(－)]
＝()2－(－)2
＝2－(9－2)
＝2－9＋6
＝－7＋6；
(3)－(＋2)÷.
(3)原式＝－(＋2)×
＝－1－.
课堂小结
二次根式混合运算
乘法
公式
化简
求值
分母有理化
化简已知条件和所求代数式
(a+b)(a-b)=a2-b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
随堂检测
1. 下列计算中，正确的是 ( ).
C
A. 2+ = 2
B. 5-2 =2
C. 2
D.
2.先化简，再求值：，其中 a= -1.
解：原式=2a2-6-a2+6a+6=a2+6a.
当a= -1时，原式=
=2-21+66
=43
3. 化简：.
解：
作业布置
(1)教材P5　习题19.1第1，3，5，7题；
(2)对应课时练习．

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