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人教版 八年级 数学（下）
第二十一章 四边形
21.1　四边形及多边形
21.1.2　多边形及其内角和
旧知回顾
1．什么是三角形，什么是三角形的边、内角？
由不在同一条直线上的三条线段，首尾顺次相接所组成的封闭图形，叫做三角形。
三角形中，相邻两条边的夹角，叫做三角形的内角，简称三角形的角。
组成三角形的三条线段，叫做三角形的边。
2．四边形有几条边，几个内角？
3．一般地，由不在同一条直线上的n条线段首尾顺次相接组成的平面图形称为n边形，n边形有____个内角，____条边．
四边形有4 条边，4 个内角。
n
n
新课导入
多边形在生活中也很常见，观察图中的图片，你能从中找出一些几何图形的形象吗？它们都分别是什么图形？
五边形
六边形
八边形
多边形
探究新知
1．读图，提出问题：
(1)这些图有什么特点？它与四边形有什么不同？
(2)你能依照四边形的概念给这些图形命名吗？
(3)这些图形的概念中也要强调在“同一平面内”吗？为什么？
在平面内，由 n（n ≥ 3）条线段 A1A2，A2A3，…，
An－1An，AnA1 首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.
多边形有几条边就叫作几边形.
……
三角形
四边形
五边形
六边形
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
n边形
请类比四边形，说出多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的定义.
边
顶点
内角
外角
对角线
组成多边形的各条线段
每相邻两条线段的公共端点
多边形相邻两边组成的角
多边形角的一边与另一边的延长线组成的角
连接多边形不相邻的两个顶点的线段
A
B
C
D
E
1
A
B
C
D
凸四边形
凸七边形
凸八边形
特别规定：今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形。
与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形。
正三角形
正方形
正五边形
正六边形
各个角都相等、各条边都相等
各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.
这两个图形有什么特点？
观 察
类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？
从五边形的一个顶点出发，可以作__条对角线，它们将五边形分为___个三角形，五边形的内角和等于___× 180°；
2
3
3
转化为三角形的内角和.
由上述推导过程，你能得出多
边形的内角和与边数的关系吗？
从六边形的一个顶点出发，可以作____条对角线，它们将六边形分为____个三角形，六边形的内角和等于____× 180°；
3
4
4
多边形的边数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 分割出的三角形的个数 多边形内角和
3
4
5
6
…… …… …… ……
n
0
1
1×180°=180°
1
2
2×180°=180°
2
3
3×180°=180°
3
4
4×180°=180°
(n-3)
(n-2)
(n-2)×180°
总 结
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
一般地，从 n 边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线，它们将 n 边形分为 (n－2) 个三角形，n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
n 边形的内角和等于 (n－2)× 180°.
正多边形的每个内角的度数等于
(n－2)× 180°
n
(1)什么叫作多边形的对角线？五边形有多少条对角线？
提出问题：
(2)从n边形的一个顶点出发可以画几条对角线？它们将n边形分成几个三角形？
(3)n边形共有多少条对角线？
(4)如何推导多边形的内角和？多边形的内角
和与边数有什么关系？
在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和.
四边形的外角和等于 360°.
A
B
C
D
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形的外角和等于 ？
探 究
你能根据四边形的外角和，说一说什么是多边形的外角和？
A1
A2
A3
A4
A5
An－1
An
多边形的每一个内角与和它相邻的外角是_______.
n 边形的内角和与外角和的总和等于__________.
n 边形的内角和等于_____________.
n 边形的外角和的总等于
邻补角
n × 180°
(n－2)×180°
n×180°－(n－2)×180°= 360°
多边形的外角和等于 360°.
(1)在一个多边形中，任何一个外角与它相邻的内角有什么关系？
提出问题：
(2)多边形的内角和与外角和有什么关系？
(3)三角形的外角和是360°，多边形的外角和也是360°吗？
(4)n(n≥3)边形的外角和与它的边数有没有关系？
(5)你能用其他方法解释一下多边形的外角和为什么等于360°吗？
知识归纳
在平面内，由n(n≥3)条线段首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形．
连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫作多边形的对角线．从n边形的一个顶点出发，可以作 (n－3) 条对角线．
各个角都相等，各条边都相等的多边形叫作正多边形．
多边形的内角和等于 (n－2)×180°．
多边形的外角和等于360°．
你还能用其他方法推导多边形的内角和公式吗？
n边形的外角和为一定值，与它的边数无关．
注 意
例题与练习
例 1
若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是 ( )　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．十三边形 B．十二边形
C．十一边形 D．十边形
A
例 2
下列说法正确的是 ( )
A．正多边形的各内角、各边都相等
B．各内角相等的多边形是正多边形
C．各边相等的多边形是正多边形
D．等腰三角形、长方形都是正多边形
A
例 3
观察下面图形，解答下列问题：
边数 3 4 5 6 7 … n
对角线条数 0 2 5 …
(2)从一个多边形的一个顶点引出的所有对角线把多边形分为8个三角形，求这个多边形的边数和对角线的条数．
(1)观察规律，把下表填写完整：
解：(1)9　 　
(2)多边形的边数为8＋2＝10.
14 　
　
∴对角线的条数为＝35(条).
例 4
已知一个多边形的内角和与外角和之比为7∶2，求这个多边形的边数.
解：设多边形的边数为n，由题意，得＝，
解得n＝9，即这个多边形的边数为9.
　 在四边形ABCD中，∠A＝140°，∠D＝80°.
(1)如图①，若∠ABC的平分线BE交DC于点E，且BE∥AD，试求出∠C的度数；
解：∵BE∥AD，
例 5
∴∠A＋∠ABE＝180°，
∴∠ABE＝40°.
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝80°.
由∠A＋∠ABC＋∠C＋∠D＝360°，
得∠C＝360°－140°－80°－80°＝60°.
即140°＋∠ABE＝180°，
解：由已知，得∠EBC＝∠ABC，∠ECB＝∠BCD.
(2)如图②，若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E，试求出∠BEC的度数．
∵∠A＋∠ABC＋∠BCD＋∠D＝360°，
∴140°＋2∠EBC＋2∠ECB＋80°＝360°，
∴∠EBC＋∠ECB＝70°，
∴∠BEC＝180°－(∠EBC＋∠ECB)＝110°.
1. 求出下列图形中 x 的值：
解：图①中，∵五边形的内角和等于
(5－2)×180°= 540°，
∴150 + 120 + 90 + x + 2x = 540.
图②中，∵六边形的内角和等于
(6－2)×180°= 720°，
∴x + x + x + x + 90 + 90 =720.
∴x = 60.
∴ x = 135.
图③中，∵AB∥ CD，
∵∠A + ∠B + ∠C + ∠D +∠E = (5－2)×180°= 540°，
即 135 + 180 + 150 + x = 540，
∴∠B +∠C = 180°.
∴x = 75.
2.（1）一个多边形的内角和等于 1080°，这个多边形是几边形？
解：（1）设这个多边形的边数为 n.
则有 (n－2)×180°= 1080°.
∴ n = 8.
因此这个多边形是八边形.
（2）一个多边形的每一个内角都等于 120°，这个多边形是几边形？
（3）一个多边形的每一个外角都等于 72°，这个多边形是几边形？
（2）由题意，得每一个外角都等于 180°－120°= 60°.
（3）∵360°÷ 72°= 5，
∴这个多边形是五边形.
∵360°÷ 60°= 6，
∴这个多边形是六边形.
3．下列说法中，正确的有 ( )
①由许多条线段连接起来组成的图形叫多边形；②三角形是边数最少的多边形；③n边形有n条边、n个顶点、2n个内角和外角；④多边形分为凹多边形和凸多边形．
　A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
B
4．从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形，则m，n的值分别为 ( )
A．4，3 B．3，3 C．3，4 D．4，4
5．若一个多边形的每个内角均为120°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线的条数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
C
B
6．把一张正方形纸片按如图所示的方法对折两次后，再剪去两个角，则打开后的形状是__________．
八边形
7．如图，小明从点A出发，沿直线前进8 m后左转40°，再沿直线前进8 m，又左转40°，照这样走下去，他第一次回到出发点A时．
(1)整个行走路线是什么图形？
(2)一共走了多少米？
解：(1)因为形成的图形的每条边都相等，
每个内角都相等，
所以行走路线是正多边形．
这个正多边形的边数为360÷40＝9，
(2)8×9＝72(m).
答：一共走了72 m．
所以行走路线是正九边形．
课堂小结
多边形
正多边形
多边形的内角和
多边形的外角和
(n－2)× 180°
360°
多边形及其内角和
随堂检测
1. 一个多边形截去一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原多边形的边数是（ ）
10或11 B. 10或12
C. 11或12 D.10或11或12
D
2. 已知一个多边形除一个内角外其余内角的和为1710°，求这个多边形的边数及这个内角的度数.
解:设多边形的边数为n，则内角和为(n－2) ×180°.
根据题意，得1710°<（n－2）×180°< 1710°＋ 180°.
解得11.5 < n < 12.5.
∵ n 为正整数.
∴ n ＝ 12.
∴ 这个多边形的边数为12.
∴ 这个内角的度数为(12－2)×180°－1710°＝ 90°.
作业布置
(1)教材P52～53　习题21.1第2，3，4，6，7题；
(2)对应课时练习．

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