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人教版 八年级 数学（下）
第二十一章 四边形
21.2　平行四边形
21.2.2　平行四边形的判定
第1课时 平行四边形的判定(1)
旧知回顾
1．回顾平行四边形的性质．
2．平行四边形不一定具有的性质是(　 　)
A．对角相等 B．对角互补
C．邻角互补 D．内角和是360°
两组对边分别平行，相等.
两组对角分别相等，邻角互补.
两条对角线互相平分.
两条平行线间的距离相等
B
新课导入
如图，将两长两短的四根细木条用小钉绞合在一起，做成一个四边形，使等长的木条成为对边，转动这个四边形，使它形状改变，在图形变化过程中，它一直是一个平行四边形吗？
由上面的过程你得到了什么结论？
是平行四边形
如何证明这个结论呢？
A
B
C
D
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
探究新知
如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD.求证：四边形ABCD 是平行四边形.
∴　△AOB≌△COD．
∴ ∠ OAB= ∠ OCD.
∴AB∥CD.
同理AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明： ∵ OA=OC，OB=OD， ∠ AOB= ∠ COD，
A
B
C
D
O
提出问题：
(1)如图，在四边形ABCD中，已知AB＝CD，AD＝BC，你能证明四边形ABCD是平行四边形吗？你证明的根据是什么？
(2)如图，在四边形ABCD中，已知∠A＝∠C，∠B＝∠D，你能证明四边形是平行四边形吗？你证明的根据是什么？
A
B
C
D
(3)结合之前掌握“对角线互相平分的四边形是平行四边形”的证明方法，你还有其他的证明方法吗？
(4)由此你能得出哪些判定平行四边形的方法？
A
B
C
D
两组对边分别相等的四边形是平行四边形．　　
判定定理1
几何语言：
A
B
C
D
在四边形ABCD中，
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
证明：∵　多边形ABCD是四边形，
如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
两组对角分别相等的四边形是平行四边形．　　
判定定理2
D
A
B
C
∴∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
又∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，∠B+∠C=180° ．
∴AD∥BC，AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵　OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
如图，在四边形ABCD中， AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．求证：四边形ABCD是平行四边形．
对角线互相平分的四边形是平行四边形．　　
判定定理3
D
A
B
C
O
∴　△AOD≌△COB．
∴　∠OAD=∠OCB．
∴　AD∥BC．
同理　AB∥DC．
∴　四边形ABCD是平行四边形．
知识归纳
定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
平行四边形定义
两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．　
判定定理
定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
例题与练习
例 1
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠B＝55°，∠1＝85°，∠2＝40°.
(1)求∠D的度数；
(2)求证：四边形ABCD是平行四边形．
解：(1)∵∠D＋∠2＋∠1＝180°，
∴∠D＝180°－∠2－∠1＝180°－40°－85°＝55°；
(2)∵AB∥DC，
∴∠CAB＝∠2＝40°，∠DCB＋∠B＝180°，
∴∠DAB＝∠1＋∠CAB＝125°，∠DCB＝180°－∠B＝125°，
∴∠DAB＝∠DCB.
又∵∠D＝∠B＝55°，
∴四边形ABCD是平行四边形．
例 2
如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，点 E，F 在 AC 上，并且 AE = CF. 求证：四边形 BFDE 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
∴AO = CO，BO = DO .
∵AE = CF，
∴AO－AE = CO－CF，即 EO = FO.
又 BO = DO，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
你还有其他证明方法吗？
有.证明如下：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB = CD，AB∥CD，
在△BAE 和△DCF 中，
∵AB = CD，∠BAE = ∠DCF，AE = CF，
∴△BAE ≌ △DCF（SAS），
∴BE = DF .
∴BF = DE，
∴四边形 BFDE 是平行四边形.
∴∠BAE = ∠DCF .
同理可证△BCF ≌ △DAE，
例 3
如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.试说明四边形DAEF是平行四边形．
解：∵△ABD和△FBC都是等边三角形，
∴∠DBF＋∠FBA＝∠ABC＋∠ABF＝60°，
∴∠DBF＝∠ABC.
又∵BD＝BA，BF＝BC，
∴△ABC≌△DBF(SAS)，
∴AC＝DF＝AE.
同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，
∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形).
1. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ADB =∠CBD，∠C +∠ABC =180°， 四边形 ABCD 是平行四边形吗？请说明理由.
解：四边形 ABCD 是平行四边形.
B
C
A
D
理由如下：
∵∠ADB =∠CBD，
∴AD∥BC.
∵∠C + ∠ABC = 180°，
∴AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
2. 如图，AB = DC = EF，AD = BC，DE = CF . 图中有哪些
互相平行的线段？
先判定平行四边形，再找平行的线段.
解：AB∥CD∥EF，AD∥BC，DE∥CF.
3. 如图， ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，且 E，F 分别是 OA，OC 的中点，连接 DE，DF，BE，BF .
求证：四边形 DEBF 是平行四边形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
∵E，F 分别是 OA，OC 的中点，
∴OE = OA，OF = OC.
∴OE = OF.
∴四边形 DEBF 是平行四边形.
4．如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BC＝AD.若∠B＝110°，则∠A的度数为(　 　)
A．110°　　　 B．80°　　　
C．70°　　　 D．90°
C
5．如图，已知∠CBE＝38°，要使四边形ABCD为平行四边形，则四边形ABCD的各内角度数依次为
(　 　)
A．48°，132°，48°，132°
B．142°，142°，38°，38°
C．38°，38°，142°，142°
D．38°，142°，38°，142°
D
6．如图，在 ABCD中，AF＝CH，DE＝BG.
求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠C，∠B＝∠D，AD＝BC，AB＝DC.
又∵AF＝CH，DE＝BG，
∴AE＝CG，FB＝DH.
在△AEF和△CGH中，
∴EF＝GH.
∴四边形EFGH是平行四边形．
∴ △AEF≌△CGH(SAS)，
AF＝CH，
∠A＝∠C
AE＝CG，
同理，可证EH＝FG，
课堂小结
平行四边形的判定1
定义法:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形.
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
随堂检测
1．在四边形ABCD中下面给出的∠A，∠B，∠C，∠D的度数之比，其中能判定四边形ABCD为平行四边形的是(　 　)
A．1∶2∶3∶4 B．2∶3∶2∶3
C．2∶2∶3∶3 D．1∶2∶2∶3
B
解：∴ OA ＝OC，OE＝OF．
又 BE＝DF，
∴OE + BE ＝ OF + DF，
即 OB ＝ OD ．
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
2.如图，在四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F，BE ＝ DF，AF∥CE．试判断四边形 AECF、四边形 ABCD 的形状，并说明理由．
作业布置
(1)教材P66　习题21.2第6，7题；
(2)对应课时练习．

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