资源简介

(共25张PPT)
人教版 八年级 数学（下）
第二十一章 四边形
21.2　平行四边形
21.2.2　平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定(2)
新课导入
平行四边形的判定方法
两组对边平行或两组对边相等的四边形是平行四边形.
两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
对角线互相平分的四边形是平行四边形.
2．如图，取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放
置，再用两根木条BC，AD加固得到的四边形是平行四边形吗？请说明理由.
探究新知
根据平行四边形的定义和它的判定定理可知，两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.
如果只考虑四边形的一组对边，那么它们满足什么条件时这个四边形是平行四边形呢？
A
B
C
D
对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？
问题1 一组对边平行的四边形是平行四边形吗？
问题2 满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？
问题3 如果一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
A
B
C
D
探 究 如图，在四边形 ABCD 中，AB CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：连接 BD.
1
2
4
3
∵AB∥CD，
∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，BD = DB，
∴△ABD ≌△CDB .（SAS）
∴∠3 = ∠4，
又 AB ∥ CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
AB∥CD
AD∥BC
∴ AD ∥ BC.
A
B
C
D
如图，在四边形 ABCD 中，AB CD. 求证：四边形ABCD 是平行四边形.
证明：连接 AC.
1
2
AB=CD
AD=BC
∵AB∥CD，
∴∠1 = ∠2.
又 AB = CD，AC = CA，
∴△ABC ≌△CDA .（SAS）
∴BC = DA.
又 AB = CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
思考：
(1)如果只考虑四边形的一组对边，它们满足什么条件时这个四边形才能成为平行四边形？
(2)阅读教材P61的证明过程，请指出该证明的依据是什么？
(3)你能用两组对角分别相等证明该问题吗？请写出你的证明过程；
(4)你能用对角线互相平分证明该问题吗？请写出你的证明过程；
(5)到目前为止，你有多少种判定一个四边形是平行四边形的方法？
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
于是，又得到平行四边形的一个判定定理：
几何语言描述：
B
D
A
C
知识归纳
在四边形ABCD中，
∵AB∥CD,AB=CD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
知识归纳
平行四边形的判定定理：
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形；
判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
一组对边平行，另一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形；
注 意
1
3
2
一组对边相等，一组对角相等的四边形不一定是平行四边形；
两组邻边分别相等或两组邻角分别相等都不能判定该四边形是平行四边形．
例题与练习
例 1
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AB CD .
又 EB = AB，DF = CD，
∴四边形 EBFD 是平行四边形.
D
A
B
C
E
F
如图，在 ABCD 中，E，F 分别是 AB，CD 的中点. 求证 DE BF .
只需证四边形 EBFD 是平行四边形.
∴ EB DF .
∴ DE BF .
例 2
　 如图，已知E，F是四边形ABCD对角线上两点，且AF＝CE，DF＝BE，DF∥BE，试说明四边形ABCD为平行四边形．
解：由AF＝CE，得AE＝CF.
又∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
∴∠DFC＝∠BEA.
又∵DF＝BE，
∴△CDF≌△ABE(SAS)，
∴CD＝AB，∠DCA＝∠CAB，
∴CD∥AB，
∴四边形ABCD为平行四边形．
例 3
如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点
O，在①AB∥CD；②AO＝CO；③AD＝BC中任意选取两个作为条件，“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构造命题．以①②作为条件构成的命题是真命题吗？若是，请证明；若不是，请举出反例．
证明如下：∵AB∥CD，
∴∠OAB＝∠OCD.
在△AOB和△COD中，
∠OAB＝∠OCD ，
AO＝CO ，
∠AOB＝∠COD ，
解：以①②作为条件构成的命题是真命题．
∴△AOB≌△COD(ASA)，
∴OB＝OD.
∵OA＝OC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
1. 如图，为了保证铁路的两条直铺的铁轨互相平行，只要使互相平行 的夹在铁轨之间的枕木长相等就可以了. 你能说出其中的道理吗？
解：由一组对边平行且相等的四边形为平行四边形可知，当两条枕木平行且相等时，两条直铺的铁轨互相平行.
易证 AE∥CF，只需再证 AE = CF 或 AF∥CE .
证明：∵四边形 ABCD 为平行四边形，
2. 如图，在 ABCD 中，BD 是它的一条对角线，过 A，C 两点分别作 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，垂足分别为 E，F .
求证：四边形 AFCE 是平行四边形.
∴AD = BC，AD∥BC，
∴∠ADE = ∠CBF.
又 AE ⊥ BD，CF ⊥ BD，
∴易得∠AED = ∠CFB = 90°，AE∥CF.
∴△AED≌△CFB（AAS），
∴AE = CF.
∴四边形 AFCE 为平行四边形.
3. 如图，由六个全等的正三角形拼成的图形中，有多少个
平行四边形？为什么？
解：有 6 个平行四边形.
A
B
C
D
E
F
O
□ ABOF
□ AOEF
□ ABCO
□ BCDO
□ CDEO
□ DEFO
4．在四边形中，有两条边相等，另外两边也相等，则这个四边形 (　 　)
A．一定是平行四边形
B．一定不是平行四边形
C．可能是平行四边形，也可能不是平行四边形
D．上述答案都不对
C
5．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＞BC，BC＝6 cm，点P，Q分别从点A，C同时出发，点P以1 cm/s的速度由点A向点D运动，点Q以2 cm/s的速度由点C向点B运动，问几秒时，四边形ABQP是平行四边形？
解：设x s时，四边形ABQP是平行四边形．
根据题意，得AP＝x cm ，CQ＝2x cm ，
∴BQ＝（ 6－2x ）cm ，
只有AP＝BQ时，四边形ABQP才是平行四边形，
∴x＝6－2x，解得x＝2，
∴2 s时，四边形ABQP是平行四边形．
课堂小结
平行四边形的判定
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形
对角线：对角线互相平分的四边形是平行四边形
边：两组对边分别相等的四边形是平行四边形
角：两组对角分别相等的四边形是平行四边形
随堂检测
1. 如图，在 ABCD 中，点 E，F 分别在边 AD，BC 上，添加下列 条件中的一项，不能保证四边形 AFCE 是平行四边形的是（ ）
①AF＝CE；②BF＝DE；③∠AFC＝∠AEC；
④∠BAF＝∠DCE．
A.①　　　　　B.②　　　　　
C.③　　　　　D.④
A　　　
证明：∵四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，
A
B
C
D
E
F
2. 四边形 AEFD 和 EBCF 都是平行四边形，求证：
四边形 ABCD 是平行四边形.
∴AD∥EF，AD = EF，
EF∥BC， EF = BC.
∴AD∥BC，AD = BC.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
3. 如图，点 A，B，C，D 在同一条直线上，点 E，F 分别在 直线 AD 的两侧，AE = DF，∠A = ∠D，AB = DC． 求证：四边形 BFCE 是平行四边形．
证明： ∵AB = CD，
A
B
C
D
E
F
∴AB + BC = CD + BC，即 AC = BD，
在△ACE 和△DBF 中，
AC＝DB，∠A＝∠D，AE＝DF，
∴△ACE ≌△DBF (SAS).
∴CE = BF，∠ACE =∠DBF.
∴CE∥BF.
∴四边形 BFCE 是平行四边形．
作业布置
(1)教材P66　习题21.2第8题；
(2)对应课时练习．

展开更多......

收起↑