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人教版 八年级 数学（下）
第二十一章 四边形
21.2　平行四边形
21.2.1　平行四边形及其性质
新课导入
从以上图形中能发现哪些几何图形？你能给平行四边形下定义吗？
只有一组对边平行
两组对边分别平行
四边形
平行四边形
梯形
探究新知
(1)图中的几何图形是什么？
平行四边形
(2)观察右图的特点，你能总结出平行四边形的概念吗？
(3)如何用字母表示平行四边形？表示时应注意什么？
A
B
C
D
(4)你还能举出一些平行四边形的例子吗？
A
B
C
D
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形用“□ ”表示.
平行四边形 ABCD 记作“□ ABCD”.
注意：表示平行四边形时，要按照顺时针或者逆时针方向依次书写各顶点字母，不能打乱顺序.
几何语言:
∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD 是平行四边形；
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
A
B
C
D
双重
含义
生活中的平行四边形
根据定义画一个平行四边形并进行观察，除了“两组对边分别平行”，它的边之间还有什么关系？它的角之间呢？度量一下，和你的猜想一致吗？你能证明你的猜想吗？
探究：
A
B
C
D
AD = 5.5 cm，
BC = 5.5 cm，
AD = BC
A
D
B
C
BA = 3.5 cm，
CD = 3.5 cm，
BA = CD
猜想 1：平行四边形的对边相等.
A
D
B
C
∠A = 120°，
∠C = 120°，
∠A = ∠C ，
∠B = 60°，
∠D = 60°，
∠B = ∠D .
猜想 2：平行四边形的对角相等.
你能证明这些猜想吗？
A
D
B
C
思考：要证明边、角相等，常利用全等三角形的性质.如何构造三角形？
连接任意一条对角线即可.
猜想 1：平行四边形的对边相等.
猜想 2：平行四边形的对角相等.
1
4
2
3
证明：如图，连接□ ABCD 的对角线 AC.
A
D
B
C
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
又 AC 是△ABC 和△CDA 的公共边，
∴△ABC ≌△CDA
∴AB = CD，BC = DA，∠B = ∠D.
（两直线平行，内错角相等）
（ASA）
请证明∠BAD = ∠DCB.
∵∠1 = ∠2，∠4 = ∠3，
∴∠1 + ∠4 = ∠2 + ∠3，
即∠BAD = ∠DCB.
提出问题：
(1)平行四边形除了“两组对边分别平行”外，它的边之间还有什么关系？它的角之间有什么关系？
(2)教材P56是用什么方法证明平行四边形的边、角相等的？
(3)不添加辅助线，你能否证明平行四边形的对角相等？依据是什么？
(4)由此你能得出平行四边形边和角的性质吗？
A
D
B
C
不添加辅助线你能否直接运用平行四边形的定义，
证明其对角相等呢？
答：能.证明：
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD.
∴∠A + ∠B = 180°，∠B + ∠C = 180°.
∴∠A = ∠C.
同理可证 ∠B = ∠D.
∵ 四边形 ABCD 为平行四边形，
在平行四边形ABCD中，
AB ＝ CD，AD ＝ BC.
∠A = ∠C, ∠B = ∠D.
几何语言：
知识归纳
平行四边形的性质：
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等 .
∴ AB = CD,BC = AD；
∠A = ∠C，∠B = ∠D.
A
B
C
D
探究 如图，在□ ABCD 中，连接 AC，BD，并设它们相交于点 O. 点 O 把每条对角线都分成两部分，这两部分有什么关系？
D
C
A
B
O
用尺子量一量，你发现了什么？自己动手试一试.
OA = OC，OB = OD.
D
C
A
B
O
D
C
A
B
O
D
C
A
B
O
改变□ ABCD 的形状，你发现的结论还成立吗？
想一想，怎么证明？
D
C
A
B
O
4
2
1
3
∵四边形 ABCD 为平行四边形，
同理，△OAD ≌△OCB.
证 明
∴DC∥AB，DC = AB.
∴∠1 = ∠2，∠3 = ∠4.
∴△DCO ≌ △BAO（ASA）.
∴OD = OB，OC = OA.
提出问题：
(1)什么叫作平行四边形的对角线？
D
C
A
B
O
(2)如图，在 ABCD中，可以通过证明
哪两个三角形全等，从而得到OA＝OC，
OB＝OD，请写出证明过程；
(3)平行四边形的对角线具有什么性质？
(4)△ABC，△DBC，△CAD，△BAD的面积与 ABCD的面积有怎样的数量关系？为什么？
D
C
A
B
O
(5)△AOD，△ABO，△BCO，△CDO与 ABCD的面积有怎样的数量关系？
平行四边形的对角线互相平分.
几何语言：
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴OA = OC，OB = OD.
A
B
C
D
O
1
2
4
3
平行四边形的性质
知识归纳
如图，a//b，c//d，c，d与a分别相交于A，B，C，D四点.由平行四边形的概念和性质可知，四边形ABDC是平行四边形，AB=CD.
A
C
B
D
a
b
c
d
也就是说，两条平行线之间的任何两条平行线段都相等。
(1)画图说明什么叫作点到直线的距离？
提出问题：
A
C
B
D
a
b
c
d
(2)由图可以得出什么结论？在图中再画几条线段，看一看结论是否仍然成立？
(3)什么叫作两条平行线之间的距离．
(4)两条平行线之间的距离和点与点之间的距离、点到直线的距离有何联系与区别？
知识归纳
两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形，平行四边形ABCD记作“ ABCD”．
平行四边形的对边平行且相等，对角相等，邻角互补，邻边的和等于周长的一半．
平行四边形对角线的性质：平行四边形的对角线互相平分．
平行四边形的面积＝底×高．
平行四边形的两条对角线分成的四个三角形的面积相等，每个三角形的面积是平行四边形面积的．
两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫作这两条平行线之间的距离．
例题与练习
例 1
如图， □ ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AB = 10，AD = 8，AC ⊥ BC. 求 BC，CD，AC，OA 的长，以及 □ ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
【思路分析】
平行四边形对边相等
BC，CD 的长
运用勾股定理
AC 的长
面积公式
□ ABCD 的面积
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC = AD = 8，CD = AB = 10.
∵AC ⊥ BC，
∴△ABC 是直角三角形.
根据勾股定理，AC = = 6.
∴OA = OC = S□ABCD= BC ·AC = 8×6 = 48.
A
B
C
D
O
例 2
如图，□ ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，EF 过点 O 且与 AB，CD 分别相交于点 E，F. 求证 OE = OF.
B
C
A
D
O
E
F
【解题思路】
四边形问题
三角形问题
转化
再想三角形全等定理，看符合哪个就用哪个.
SSS
SAS
ASA
AAS
证明：在□ ABCD 中，AB∥CD，
同理也可证△BOE ≌ △DOF.
B
C
A
D
O
E
F
∴∠EAO = ∠FCO，∠AEO = ∠CFO.
又 OA = OC，
∴△AOE≌△COF，
∴OE = OF.
例 3
如图，已知 ABCD和 EBFD的顶点A，E，F，C在同一条直线上．求证：AE＝CF.
证明：连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD，EBFD是平行四边形，
∴OA＝OC，OE＝OF，
∴OA－OE＝OC－OF，
∴AE＝CF.
A
B
C
E
D
F
O
例 4
　 如图，已知l1∥l2，点E，F在l1上，点G，H在l2上．求证：△EGO与△FHO的面积相等．
证明：∵l1∥l2，点E，F在l1上，
∴点E，F到l2的距离相等，设为h.
∵S△EGH＝GH·h，S△FGH＝GH·h，
∴S△EGH＝S△FGH，
∴S△EGO＝S△FHO，即△EGO与△FHO的面积相等．
∴S△EGH－S△GOH＝S△FGH－S△GOH，
1. 在□ ABCD 中，
（1）已知 AB = 5，BC = 3，求另外两边的长；
（2）已知 ∠A = 38°，求其余各内角的度数.
解：（1）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴CD = AB = 5，AD = BC = 3.
（2）∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠C = ∠A，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠A + ∠B = 180°，∠A + ∠D = 180°.
∵∠A = 38°，
∴∠C = 38°，
∴∠D = ∠B = 180°－38°= 142°.
2. 如图， □ ABCD 的对角线AC，BD相交于点O，BC = 10，AC = 8，BD = 14. △AOD 的 周长是多少？△ABC 与△DBC 的周长哪个长？长多少？
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
A
B
C
D
O
又△DBC 的周长－△ABC 的周长 = (BD +BC + CD)－(AB + BC + AC)= BD + BC + CD－AB－BC－AC = BD－AC = 14－8 = 6，
∴△DBC 的周长比△ABC 的周长要长 6.
∴ △AOD的周长＝AD+OA+OD＝10+4+7＝21，
∴AD＝ BC＝10，OA＝ OC ＝ 4，
OD＝ OB ＝ 7，
3. 如图，将两张对边平行的纸条交叉叠放在一起，重合的部分构成了一个四边形. 转动其中一张纸条，线段 AD 和 BC 的长度有什么关系？为什么？
解：AD = BC. 理由：
∵两张纸条的两组对边都互相平行，
∴重合的部分构成的四边形是平行四边形.
由平行四边形的对边相等，得 AD = BC.
4. 如图，四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC = 70°，BE 平分∠ABC 且与 AD 相交于点 E，DF∥EB 且与 BC 相交于点 F. 求∠1 的大小.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠ABC = 70°，
∴∠ADC = ∠ABC = 70°，AD∥BC.
∴∠ABE = ∠EBC = ∠ABC = 35°.
又 DF∥EB，
∵AD∥BC，
∴∠1 =∠ADC－∠ADF = 35°.
∵BE 平分∠ABC，
∴∠DFC = ∠EBC = 35°.
∴∠ADF = ∠DFC = 35°.
5. 如图， □ ABCD 的周长为 16，对角线 AC，BD 相交于点 O，
点 E 在 AD 上，OE ⊥ AC . 求△CDE 的周长.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
且周长为 16，两条对角线的交点为 O，
∴AD + CD = 16÷2 = 8，OA = OC.
又 OE ⊥ AC，
∴OE 垂直平分 AC，
∴AE = CE，
∴△CDE 的周长为 CE + DE + CD = AE + DE + CD = AD + CD = 8.
6. 如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C = 90°，AD = 3，AB = 4，BC = 5，E 为边 BC 上一点，AB∥DE. 求 AD，BC 之间的距离.
解：∵AD∥BC，AB∥DE，
在 Rt△DCE中，CD = = = 2，
∴AD，BC之间的距离是 2.
∴DE = AB = 4，BE = AD = 3.
∴CE = BC－BE = 5－3 = 2.
7．在 ABCD中，AD＝4 cm，AB＝2 cm，则 ABCD的周长等于 (　 　)
A．12 cm B．8 cm C．6 cm D．4 cm
A
8．如图，在 ABCD中，∠ODA＝90°，AC＝10 cm，BD＝6 cm，则AD的长为 (　 　)
A．4 cm B．5 cm
C．6 cm D．8 cm
A
9．如图，在 ABCD中，AC，BD为对角线，BC＝6，BC边上的高为4，则阴影部分的面积为 (　 　)
A．3 B．6
C．12 D．24
C
10．如图，在 ABCD中，AC和BD相交于点O，OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别是E，F.求证：OE＝OF.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OB＝OD，AD∥BC，
∴∠ODE＝∠OBF.
∵OE⊥AD，OF⊥BC，
∴∠DEO＝∠BFO＝90°.
在△DOE和△BOF中，
∴△DOE≌△BOF(AAS)，
∴OE＝OF.
∠DEO= ∠BFO,
∠ODE= ∠ OBF,
OD= OB,
课堂小结
全等三角形
平行四边形
概念：对边平行
边、角、对角线的性质
简单应用
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等；
平行四边形的对角线互相平分.
随堂检测
1. 如图，将□ ABCD 沿对角线 AC 折叠，使点 B 落在点B′处.若∠1 ＝∠2 ＝ 44°，则∠B 的度数为（ ）
A. 66°
B. 104°
C. 114°
D. 124°
C
2．如图，点P在 ABCD内，过点P作EF∥BC，GH∥AB，则图中共有_______个平行四边形．
3．如图， ABCD与 DCFE的周长相等，且∠BAD＝60°，∠F＝110°，则∠DAE的度数为_______．
9
25°
4．如图，在 ABCD中，CM⊥AD于点M，CN⊥AB于点N，若∠B＝45°，求∠MCN的大小．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，∠B＝∠D.
∵∠B＝45°，
∴∠BCD＝135°，∠D＝45°.
∵CM⊥AD，CN⊥AB，
∴∠BNC＝∠DMC＝90°，
∴∠BCN＝∠DCM＝45°，
∴∠MCN＝∠BCD－∠BCN－∠DCM＝135°－45°－45°＝45°.
作业布置
(1)教材P65　习题21.2第1，2，3，4题；(2)对应课时练习．

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