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人教版 八年级 数学（下）
第二十一章 四边形
21.2　平行四边形
21.1.1　四边形及其内角和
新课导入
1．回顾平行四边形的概念和性质．
3．如图，在测量池塘的长AB时，由于绳长不够，于是在平地上取一点O，找出OA，OB的中点M，N，小刚说只要量出了MN的长，就能求出AB的长.
2．回顾三角形的中线的概念．
你知道这是什么原理吗？
如图，在△ABC 中，D，E 分别是边 AB，AC 的中点，连接 DE .
A
B
C
D
E
∵D，E 分别是边 AB，AC 的中点
∵DE 为△ABC 的中位线
探究新知
像 DE 这样，连接三角形两边
中点的线段叫作三角形的中位线 .
∴DE 为△ABC 的中位线
∴D，E 分别是边 AB，AC 的中点
A
B
C
D
E
F
一个三角形有三条中位线.
1. 一个三角形有几条中位线？试着画一画．
分别是DE、DF、EF
思考：
2. 三角形的中位线和中线一样吗？
A
B
C
不一样
A
B
C
D
E
F
三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段，
三角形的中线是连接三角形顶点与其对边中点的线段.
观察下图，你能发现 △ABC 的中位线 DE 与边 BC 的位置关系吗？度量一下，DE 与 BC 之间有什么数量关系？你能证明你发现的结论吗？
A
B
C
D
E
两条线段的关系
位置关系
数量关系
分 析：
DE与BC的关系
探 究
A
B
C
D
E
∠B =∠ADE
DE = BC
你会证明吗？
位置关系
数量关系
DE∥BC
同位角相等，两直线平行
BC = 6cm
DE = 3cm
猜想：三角形的中位线平行于三角形的第三边且等于第三边的一半．
中位线
倍长
构造全等三角形
平行四边形
作等长延长线
得线段相等、角相等
得线段相等、平行
F
如图，D，E分别是△ABC的边 AB，AC的中点.
求证：DE∥BC，且 DE = BC.
【思路分析】
A
B
C
D
E
方法一
证明：如图，延长DE到F，使EF = DE，连接CF.
F
A
B
C
D
E
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠ADE=∠CEF，DE = FE，
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A =∠ECF，AD = CF.
∴CF∥AB.
∵BD = AD，
∴四边形DBCF是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC（平行四边形的定义），
DF = BC（平行四边形的对边相等）.
∴ DE∥BC，DE=BC.
∴CF = BD.
A
B
C
D
E
F
证四边形 ADCF 是平行四边形
CF DA
CF BD
四边形 DBCF 是平行四边形
DE∥BC，DF = BC = 2DE
【思路分析】
方法二
证明：如图，延长 DE 到点 F，使 EF = DE，连接 FC，
DC，AF .
∵AE = EC，DE = EF，
∴四边形 ADCF 是平行四边形.
∴ CF DA .
又 D 是 AB 的中点，
∴四边形 DBCF 是平行四边形.
又 DE =DF，
∴DE∥BC，且 DE =BC .
∴ CF BD .
∴ DF BC .
A
B
C
D
E
F
知识归纳
A
B
C
D
E
三角形中位线的定义：
连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线．
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
几何语言：
∵点 D，E 分别为 AB，AC 的中点，
三角形的中位线定理：
A
B
C
D
E
在△ABC 中，
∴DE∥BC，且 DE =BC .
例题与练习
例 1
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是AB的中点，OE＝5 cm，则AD的长是____cm.
10
例 2
如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：连接AC.
∵点E，F分别是四边形ABCD的边AB，BC的中点，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝AC，EF∥AC.
同理可得GH＝AC，GH∥AC，
∴EF＝GH，EF∥GH，
∴四边形EFGH是平行四边形.
例 3
如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝3，点N为BC的中
点，AM平分∠BAC，AM⊥CM，垂足为M，延长CM交AB于点D，求MN的长．
解：∵AM平分∠BAC，CM⊥AM，
∴∠DAM＝∠CAM，∠AMD＝∠AMC.
在△AMD和△AMC中，
∴△AMD≌△AMC(ASA)，
∠DAM＝∠CAM，
AM＝AM，
∠AMD＝∠AMC，
∴AD＝AC＝3，DM＝CM.
又∵点N为BC的中点，
∴BN＝CN，
∴MN为△BCD的中位线，
∴MN＝BD＝(AB－AD)＝×(5－3)＝1.
如图，在△ABC 中，D，E，F 分别是 AB，BC，CA 的中
点. 以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边
形？ 为什么它们是平行四边形？
解：如图，连接 DE，EF，FD.
能在图中画出 3 个平行四边形，
分别是 BEFD， DECF， DEFA.
理由：一组对边平行且相等的四边形
是平行四边形.
2. 如图，△ABC 的中线 BD，CE 相交于点 O，且 F，G 分别是 OB，OC 的中点. 求证：四边形 DEFG 是平行四边形.
证明：∵BD，CE 是 △ABC 的中线，
∴DE∥BC，且 DE = BC .
∵F，G 分别是 OB，OC 的中点，
∴FG∥BC，且 FG = BC .
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
∴D，E 分别是 AC，AB 的中点，
∴DE 是 △ABC 的中位线.
∴FG 是 △OBC 的中位线，
∴DE FG .
3. 如图，A，B 两点被池塘隔开，在 AB 外选一点C，连接 AC 和 BC. 怎样利用三角形的中位线定理测出 A，B 两点间的距离？
解：如图，分别取 AC，BC 的中点 D，E，
D
E
连接 DE，并量出 DE 的长，则 AB = 2DE.
根据：三角形的中位线平行于三角形的
第三边，并且等于第三边的一半.
（方法不唯一）
4．如图，在△ABC中，D，E分别为AC，BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为(　　)
A．B．3
C．6 D．9
C
5．如图，A，B两点被池塘隔开，在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出AC和BC的中点M，N.如果测得MN＝20 m，那么A，B两点的距离是____m，理由是_______
____________________________________________．
40
三角
形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，延长BA到点D，使AD＝AB，点E，F分别为边BC，AC的中点．求证：DF＝BE.
证明：∵E，F分别为BC，AC的中点，
∴EF∥AB且EF＝AB，
∴∠EFC＝∠BAC＝90°.
又∵AD＝AB，
∴EF＝AD.
又∵∠EFC＝∠DAF＝90°，FC＝AF，
∴△CFE≌△FAD，
∴EC＝DF.
又∵EC＝BE，
∴DF＝BE.
课堂小结
三角形中位线
定理
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
定义
随堂检测
1.如图，在 ABCD中，E是 AD的中点，点 F在 BA 的延长线上，且 AF＝ AB，连接 EF，BD.
（1）请用无刻度的直尺作出△ABD 中
与 AB 平行的中位线 EG (不写作
法，保留作图痕迹)；
A
B
C
D
E
F
G
解:如图，EG 即为所求．
（2）在（1）的基础上，判断四边形 AGEF 的形状，并说明理由．
解：四边形 AGEF 是平行四边形．理由如下:
∵EG 是△ABD 的中位线，
∴EG∥AB，EG＝ AB．
又 AF＝AB，
又 EG∥AF，
A
B
C
D
E
F
G
∴四边形 AGEF 是平行四边形．
∴EG ＝ AF．
2.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，BD = 12，AC = 16，E，F分别为 AB，CD 的中点，求 EF 的长．
G
解：取BC边的中点G，连接EG ， FG．
又BD = 12，AC = 16，AC⊥BD，
∴EG∥AC,
FG∥BD,
FG=BD,
∵E，F分别为AB，CD的中点，
∴EG是△ABC的中位线，FG是△BCD的中位线.
EG=AC,
∴EG = 8，FG = 6，EG⊥FG.
∴EF==10 .
作业布置
(1)教材P67　习题21.2第13题；
(2)对应课时练习．

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