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人教版 八年级 数学（下）
21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩形
第2课时 矩形的判定
第二十一章 四边形
1．回顾矩形的概念和性质．
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形性质
边：
角：
对角线：
对边平行且相等
四个角都是直角
对角线互相平分且相等
新课导入
3．矩形有什么性质？你能写出这些性质的逆命题吗？逆命题都是真命题吗？
2．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，若AB＝AO，求∠ABD的度数．
上节课我们已经知道“矩形的对角线相等”，反过来，小明猜想对角线相等的四边形是矩形，你觉得对吗？
我猜想：对角线相等的平行四边形是矩形.
不对，矩形是特殊的平行四边形，所以它的对角线不仅相等且平分.
你能证明这一猜想吗？
不对，等腰梯形的对角线也相等.
探究新知
证明：∵AB=DC，BC=CB，AC=DB，
∴ △ABC≌△DCB .
∴∠ABC=∠DCB .
∵ AB∥CD，
∴∠ABC +∠DCB = 180°.
∴ ∠ABC=90°.
∴ □ ABCD 是矩形 (矩形的定义).
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.
求证：四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
O
矩形的判定定理：
几何语言描述：
A
B
C
D
对角线相等的平行四边形是矩形.
在平行四边形ABCD中，
∵AC=BD，
∴平行四边形ABCD是矩形.
知识归纳
数学来源于生活
工人师傅在做矩形门窗或零件时，为了确保它们的形状是矩形，不仅要测量它们的两组对边是否分别相等，还要测量它们的两条对角线是否相等，你知道其中的道理吗？
对角线相等的平行四边形是矩形.
思考：
我们知道，矩形是四个角都是直角的四边形，它的逆命题是什么？成立吗？
逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形.
成立.
至少有几个角是直角的四边形是矩形？
一个直角
两个直角
三个直角
猜想：有三个角是直角的四边形是矩形.
已知：如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.
求证：四边形ABCD是矩形.
证明: ∵ ∠A=∠B=∠C=90°,
A
B
C
D
∴∠A+∠B=180°, ∠B+∠C=180°，
∴AD∥BC, AB∥CD.
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
证一证
矩形的判定定理：
几何语言描述：
A
B
C
D
有三个角是直角的四边形是矩形.
在四边形ABCD中，
∵ ∠A=∠B =∠C =90°,
∴四边形ABCD是矩形.
总 结
知识归纳
矩形的判定定理：
对角线相等的平行四边形是矩形．
01
有三个角是直角的四边形是矩形．
02
有一个角是直角的平行四边形是矩形．
03
例题与练习
例 1
如图，□ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
分析：根据已知条件，容易证明
四边形 EFGH 的一个内角∠F为直角，
同理可证∠H，∠AEB 也为直角，
从而证明四边形 EFGH 是矩形.
证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠DAF + ∠ADF = ∠BAD +∠ADC
= (∠BAD + ∠ADC)= 90°.
∴∠F = 90°.
∴AB∥CD .
∴∠BAD + ∠ADC = 180°.
又 AF，DF 分别平分∠BAD，∠ADC，
同理∠H = ∠AEB = 90°.
∴∠FEH = ∠AEB = 90°.
∴四边形 EFGH 是矩形.
例 2
如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，延长OA到点N，使ON＝OB，再延长OC到点M，使CM＝AN.求证：四边形NDMB为矩形．
证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，OD＝OB.
∵AN＝CM，ON＝OB，
∴ON＝OM＝OB＝OD，
∴MN＝BD，
∴四边形NDMB为矩形．
1.求证：四个角都相等的四边形是矩形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=∠D.
A
B
C
D
证明：由四边形的内角和为360°，
求证：四边形ABCD是矩形.
得∠A+∠B+∠C+∠D=360°.
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴四边形 ABCD 是矩形.
2.如图，□ABCD的对角线AC，BD 相交于点O，△OAB是等边三角形，且 AB = 2. 求□ABCD的面积.
A
B
C
D
O
提示：
（方法一）先判定矩形，再根据勾股定理求 BC.
（方法二）S ABCD = 4 S△OAB .
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
又△OAB 是等边三角形，AB = 2，
∴AO = BO = AB = 2，
∴□ABCD 是矩形，
在Rt△ABC中，由勾股定理，
BC= = = 2，
∴S矩形ABCD= AB·BC =2×2 = 4 .
∴AO = CO= AC，BO = DO = BD .
A
B
C
D
O
∴AC = BD = 4，
∴∠ABC = 90°.
3.如图，在△ABC 中，AB=AC，D，E分别是线段BC，AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF . 求证：四边形ADCF是矩形.
证明：∵AF∥BC，
∵E 是 AD 的中点，
在△AEF 和△DEB 中，
∠AEF = ∠DEB，
AE = DE，
∠EAF = ∠EDB，
∴∠EAF = ∠EDB .
∴AE = DE.
∴△AEF ≌△DEB（ASA）.
∵AB = AC，D 是 BC 的中点，
又 AF∥DC，
又∠ADC = 90°，
∴∠ADC = 90°，BD = DC，
∴AF = BD.
∴AF = DC.
∴四边形 ADCF 是平行四边形.
∴□ADCF是矩形.
4．下列结论正确的是 (　 　)
　A．对角线相等的四边形是矩形
　B．对角线互相平分的四边形是矩形
　C．对角线相互垂直且平分的四边形是矩形
　D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
D
5．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.能判定四边形ABCD是矩形的有________________________________．
(填序号)
①②③(或①②④或③⑤⑥或④⑤⑥)
6．如图，△ABC中，点D，E，F分别是△ABC各边中
点，连接BD，DF，DE，CF，BD＝CD.求证：四边形BEDF是矩形．
证明：∵点D，E，F分别是△ABC各边中点，
∴DE，DF是△ABC的中位线．
∴DE∥AB，DF∥BC.
∴四边形BEDF是平行四边形．
∵BD＝CD，点E是BC的中点，
∴DE⊥BC.
∴∠BED＝90°.
∴四边形BEDF是矩形．
课堂小结
矩形的判定方法
从四边形来判定
从平行四边形来判定
矩形的常用判定方法
定义法
判定1
判定2
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形.
随堂检测
1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）
B
2.如图， ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4. 求 ABCD的面积.
解：∵△OAB是等边三角形且四边形 ABCD的对角线AC、BD互相平分
∴AO=OB=OC=OD=AB=DC=4
∵∠AOB= 60°
∴∠AOD=120°
又AO=DO ，
∴∠ADC=90°.
∴四边形ABCD是矩形，
AC=8 ，DC=4， AD=4，
∴平行四边形ABCD的面积为16.
3.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形的花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？
解：还需要从花房运来38盆“红花”.
如果一条对角线用了49盆，那么应从花房运来48盆“红花”.因为矩形的对角线相等，但由于49盆是奇数，因此对角线交点应已摆放花盆，所以，另一条对角线上的花盆数应少1盆.
因为，矩形的对角线相等，所以另一条对角线也需38盆“红花”.且不应除去两条对角线的交点，这是因为38盆是偶数，因此对较线的交点没有摆花盆.
作业布置
(1)教材P79　习题21.3第2题；
(2)对应课时练习．

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