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人教版 八年级 数学（下）
21.3　特殊的平行四边形
21.3.1　矩形
第1课时 矩形的性质
第二十一章 四边形
旧知回顾
1．回顾平行四边形的概念和性质．
2．观察思考，如图①，将两长两短的四根木条用小钉铰合在一起，使等长的木条成为对边，这样就得到一个平行四边形，即 ABCD，转动这个四边形使A′B′⊥B′C′，就得到一个特殊的平行四边形，如图②，你能说出平行四边形A′B′C′D′是什么图形吗？
新课导入
观察下面图形,长方形在生活中无处不在.
长方形跟我们前面学行四边形有什么关系？
探究新知
一个角是直角
平行四边形
矩形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形叫作矩形（长方形）.
矩形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是矩形.
矩形是常见的图形，门窗框、书桌面、教科书封面、地砖等都有矩形的形象。
(1)拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，它还是平行四边形吗？
提出问题：
(2)拉动到有一个角是直角，然后观察这个教具，你有什么发现？
(3)由此你能得出矩形的概念吗？你能举出一些关于矩形的例子吗？
因为矩形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质．由于它有一个角为直角，它是否具有一般平行四边形不具有的一些性质呢？
思 考
A
B
C
D
O
可以从边、角、对角线等方面来考虑。
猜想1：矩形的四个角都是直角．
猜想2：矩形的对角线相等．
A
B
C
D
O
命题1：矩形的四个角都是直角．
已知：如图，四边形ABCD是矩形
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
A
B
C
D
证明： ∵四边形ABCD是矩形，
又 矩形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A=∠C ， ∠B = ∠D，∠A +∠B = 180°.
∴ ∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
即矩形的四个角都是直角.
已知：如图，四边形ABCD是矩形，
A
B
C
D
证明：在矩形ABCD中
∵∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵AB = DC ， BC = CB.
∴△ABC≌△DCB(SAS).
∴AC = BD，即矩形的对角线相等.
命题2:矩形的对角线相等
求证：AC = BD.
思考：
(1)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.由于矩形是特殊的平行四边形，请说出其具有哪些性质？
(2)如图，在矩形ABCD中，AC，BD是其对角线．试证明：①AC＝BD；②∠ABC＝∠BAD＝∠BCD＝∠ADC＝90°；
(3)由此你还能列举出矩形具有而平行四边形不具有的性质吗？
思考 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BO是AC上的中线.
求证：BO= AC.
A
B
C
O
D
证明：如图，延长BO到点D，使OD=OB，连接AD，CD.
∵OA = OC，OD = OB，
性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
∴四边形 ABCD 为平行四边形.
又∵∠ABC = 90°，所以平行四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD，
∴BO= BD= AC.
知识归纳
1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫作矩形，也就是长方形.
2．矩形的性质：矩形的对边平行且相等，四个角都是直角，对角线互相平分且相等．
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例题与练习
例 1
如图，矩形ABCD的两条对角线AC，BD相交于点O，∠AOB=60°，AB=4 ．求矩形对角线的长．
A　
B 　
C 　
D 　
O 　
∴AC与BD相等且互相平分，
∴OA=OB=OC=OD，
∵∠AOB=60°，
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=OA=AB=4cm
∴ 矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8.
矩形的对角线相等且互相平分
例 2
如图，在矩形ABCD中，以顶点B为圆心，边BC长为半径作弧，交AD边于点E，连接BE，CE，过点C作CF⊥BE于点F.求证：BF＝AE.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A＝90°，
∴∠AEB＝∠FBC.
∵CF⊥BE，
∴∠BFC＝∠A＝90°.
由作图可知BC＝EB.在△BFC和△EAB中，
∴△BFC≌△EAB(AAS)，
∴BF＝AE.
∠CFB＝∠A,
∠FBC＝∠AEB,
BC＝EB,
例 3
如图，在△ABC中，AD是高，E，F分别是AB，AC的中点．
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E，F分别是AB，AC的中点，
∴DE＝AE＝AB＝×10＝5，
DF＝AF＝AC＝×8＝4，
∴四边形AEDF的周长为AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18；
解： ∵DE＝AE，DF＝AF，
(2)求证：EF垂直平分AD.
当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．
∴E，F在线段AD的垂直平分线上，
∴EF垂直平分AD.
归 纳
1. 一个矩形的一条对角线长为 8，两条对角线相交所成的角中有一个为 120°. 求这个矩形相邻两边的长.
解：如图，四边形 ABCD 是矩形，AC = 8，∠AOD = 120°.
∴OA = OB = AC = 4.
又∠AOD = 120°，
∴AB = OA = 4.
在Rt△ABC 中，由勾股定理，BC = = = 4 .
∴这个矩形相邻两边的长分别为 4 和 4.
根据矩形的性质，AC 与 BD 相等且互相平分，∠ABC = 90°，
∴∠AOB = 60°，
∴△AOB 是等边三角形，
2. 如图，四边形 ABCD 是矩形，点 E 在 BC 的延长线上，
DE // AC . △DBE 是等腰三角形吗？试说明理由.
解：△DBE 是等腰三角形. 理由：
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD // BC，AC = BD .
又 DE // AC，
∴四边形 ACED 是平行四边形，
∴AC = DE，
∴△DBE 是等腰三角形 .
∴BD = DE .
3．在矩形ABCD中，O是BC的中点，∠AOD＝90°，矩形ABCD的周长为24 cm，则AB的长为 (　 　)
A．1 cm　　　　　 B．2 cm　　　　　
C．2.5 cm　　　　　D．4 cm
D
4．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，AD∥BC，
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵EF⊥ED，
∴∠FED＝90°.
∴∠BEF＋∠CED＝90°，
∴∠BFE＝∠CED.
在△EBF和△DCE中，
∠BFE＝∠CED，
∠B＝∠C，
EF＝DE，
∴△EBF≌△DCE(AAS)，
∴BE＝CD，
∴BE＝AB，
∴∠BAE＝∠BEA.
∵AD∥BC，
∴∠BEA＝∠EAD，
∴∠BAE＝∠EAD，
∴AE平分∠BAD.
课堂小结
矩形的相关概念及性质
具有平行四边行的一切性质
四个内角都是直角，
两条对角线互相平分且相等
轴对称图形
有两条对称轴
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
随堂检测
1.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，下列说法错误的是（ ）
A. AB // DC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. OA=OB
C
2.如图，将矩形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C 落在AD边的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB=9，BC=6，则
△DFC′的周长为_______.
12
3. 如图，在△ABC 中，∠ACB = 90°，AD = BD，CD = 4，则 AB 的长为 （ ）
A. 8　　　 B. 6　　　　C. 4　　　　D. 2
A
4. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥ AB 于点 D ，E 是斜边 AB 的中点，若∠ECD =50°，则 ∠A =（ ）
A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
B
5. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，
AE⊥ BD 于点 E，且 BE ∶ ED =1 ∶ 3，AD = 6 cm. 求 AE 的长.
解:∵四边形 ABCD 是矩形，
∴BO=OD = BD = AC = OA，∠BAD = 90°．
∵BE ∶ ED =1 ∶ 3，
又 AE ⊥ BD，
∴AB = AO = BO．
∴∠ABO=60°．
∴AE= AD = ×6 = 3 (cm)．
∴∠ADE=90°– 60°=30°.
∴△ABO 是等边三角形．
∴BE=OE．
∴AE 垂直平分 BO，
作业布置
(1)教材P79～80　习题21.3第3，9，
12(1)题；
(2)对应课时练习．

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