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人教版 八年级 数学（下）
21.3　特殊的平行四边形
21.3.2　菱形
第1课时 菱形的性质
第二十一章 四边形
新课导入
1．回顾平行四边形的概念和性质．
　　　　
概念：两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形.
平行四边形的对边相等；
平行四边形的对角相等 .
性质：
平行四边形的对角线互相平分.
请拿出准备好的纸片，对折两次，折出一个直角，剪一刀，得到一个直角三角形，再将它展开得到一个四边形
观察得到的四边形的形状，它是一个怎样的四边形呢？
思 考
探究新知
平行四边形的角特殊化得到特殊的平行四边形——矩形；平行四边形的边特殊化，我们得到的特殊的平行四边形是什么，它有什么特征？
平行四边形
一组邻边相等
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形
菱形是特殊的平行四边形.
平行四边形不一定是菱形.
菱形也是常见的几何图形.
窗格
中国结
活动挂架
你还能举出一些例子吗？
活 动
在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中的图形(如图），并回答以下问题:
问题1 菱形是轴对称图形吗 如果是,指出它的对称轴.
是，两条对角线所在直线都是它的对称轴.
问题2 根据上面折叠过程，猜想菱形的四边在数量上有什么关系 菱形的两条对角线有什么关系
猜想1 菱形的四条边都相等.
猜想2 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.
已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=AD，对角线AC与BD相交于点O.
证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
A
B
C
O
D
证一证
求证: (1)AB = BC = CD =AD；
(2)AC⊥BD；
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
∴AB = CD，AD = BC（平行四边形的对边相等）.
又∵AB=AD,
∴AB = BC = CD =AD.
解：（2）∵AB = AD,
A
B
C
O
D
∴△ABD是等腰三角形.
又∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OB = OD （平行四边形的对角线互相平分）.
在等腰三角形ABD中,
∵OB = OD，
∴AO⊥BD，AO平分∠BAD，
即AC⊥BD，∠DAC=∠BAC.
同理可证∠DCA=∠BCA，
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
比较菱形的对角线和平行四边形的对角线，我们发现，菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，而平行四边形通常只被分成两对全等三角形.
F
M
N
E
G
A
B
D
C
O
由菱形两条对角线的长，你能求出它的面积吗？
菱形是特殊的平行四边形,那么能否利用平行四边形的面积公式计算菱形ABCD的面积呢
A
B
C
D
前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直,那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢
E
过点A作AE⊥BC于点E,
则S菱形ABCD=底×高
=BC·AE.
能
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O,试用对角线表示出菱形ABCD的面积.
A
B
C
D
O
解：∵四边形ABCD是菱形，
你有什么发现？
菱形的面积 = 底×高 = 对角线乘积的一半
∴AC⊥BD,
∴S菱形ABCD=S△ABC +S△ADC
= AC·BO+ AC·DO
= AC(BO+DO)
= AC·BD.
菱形的面积计算有如下方法：
(1)一边长与两对边的距离(即菱形的高)的积；
(2)四个小直角三角形的面积之和(或一个小直角三角形面积的4倍)；
(3)两条对角线长度乘积的一半．
归 纳
知识归纳
1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形．
2．菱形的性质：
菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的所有性质；
3．菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，也可以用底乘高计算菱形的面积．
菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；
菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴.
对 比：
对边相等
四个角都是直角
对角线互相
平分且相等
四边相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角
矩形的性质
菱形的性质
对角相等
对角线互相平分
对边相等
平行四边形的性质
例题与练习
例 1
如图，菱形花坛 ABCD 的边长为 20 m，∠ABC = 60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路 AC 和 BD. 求两条小路的长（结果保留小数点后两位）和花坛的面积（结果保留小数点后一位）.
A
B
C
D
O
30°
20 m
解：设 AC，BD 相交于点 O.
∵花坛 ABCD 的形状是菱形，
在Rt△ABO 中，AO = AB = × 20 = 10，
BO = = = 10.
∴花坛的两条小路长 AC = 2AO = 20（m）
BD = 2BO = 20 ≈ 34.64（m）.
花坛的面积 S菱形ABCD = 4 × S△ABO
= 4 × AO·BO = 200 ≈ 346.4（m2）.
∴AC ⊥ BD，∠ABO = ∠ABC = × 60°= 30°.
A
B
C
D
O
30°
20 m
例 2
如图，在菱形ABCD中，下列结论错误的是 (　　)
A．BO＝DO
B．∠DAC＝∠BAC
C．AC⊥BD
D．AO＝DO
D
例 3
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，DH⊥AB于点H，连接OH.求证：∠DHO＝∠DCO.
证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OD＝OB，∠COD＝90°.
∵DH⊥AB，
∴OH＝BD＝OB，
∴∠OHB＝∠OBH.
又∵AB∥CD，
∴∠OBH＝∠ODC，
在Rt△COD中，∠ODC＋∠DCO＝90°.
∴∠OHB＝∠ODC.
在Rt△DHB中，∠DHO＋∠OHB＝90°，
∴∠DHO＝∠DCO.
1. 四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，且 AB = 5， AO = 4. 求 AC，BD 的长以及菱形 ABCD 的面积.
解：如图. ∵四边形 ABCD 是菱形，
∴BO = = = 3.
∴AC = 2AO = 8，BD = 2BO = 6.
D
A
B
C
O
∴S菱形ABCD = AC·BD = ×8×6 = 24.
∴AC ⊥ BD，AO = CO，BO = DO.
在 Rt△AOB 中，AB = 5，AO = 4，
2.如图，在菱形ABCD中，BD=4，∠A:∠ABC=1：2.
求△ABD的周长。
解： ∵在菱形 ABCD 中，AB=AD，AD∥BC，
∴ ∠A + ∠ABC = 180°。
可得：x+2x=180°，
解得x=60°，即∠A=60°。
又∵ AB=AD，∠A=60°，
已知 BD=4，因此 AB=AD=BD=4。
△ABD 的周长为：4+4+4=12。
已知∠A:∠ABC=1:2，设∠A=x，则∠ABC=2x，
∴ △ABD 是等边三角形。
A
B
C
D
3. 如图，在菱形 ABCD 中，∠A = 60°，连接对角线 BD，
E， F 分别是边 AB，BC 的中点，分别连接 DE，DF，EF. 求证：△DEF 是等边三角形.
证明：∵四边形 ABCD 是菱形，
∵E，F 分别是边 AB，BC 的中点，
∴∠BDE =∠ADB = 30°，∠BDF =∠CDB = 30°，
AE = AB，CF = BC .
∴AB = AD = CD = BC，∠C = ∠A = 60°，
∴△ABD，△CBD 是等边三角形，
∴∠ADB =∠CDB = 60°.
∴∠EDF = ∠BDE + ∠BDF = 60°，AE = CF .
∵AD = CD，∠A = ∠C，AE = CF，
∴△ADE≌△CDF（SAS）.
∴△DEF 是等边三角形.
∴DE = DF .
4．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是 (　 　)
A．两组对边分别平行
B．两组对角分别相等
C．对角线互相平分
D．四条边相等
D
5．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH＝____．
6．如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F.求证：CE＝CF.
证明：连接AC.
A
D
F
C
B
E
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC平分∠DAB.
∵CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CE＝CF.
课堂小结
菱形的性质
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
特殊性质
四条边都相等
对角线互相垂直平，且每一条对角线平分一组对角
是轴对称图形，对称轴有两条，为对角线所在的直线
菱形的面积=底×高或对角线乘积的一半
A
B
C
D
O
随堂检测
1.四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=5，AO=4. 求AC和BD的长.
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
∴△ABO是直角三角形，
∴AC=2AO=8，BD=2BO=6
∴BO= =3
2.菱形ABCD的两条对角线BD、AC长分别是6cm和8cm，求菱形的周长和面积.
解：菱形的边长= =5.
C菱形ABCD= 4×5=20（cm）
S菱形ABCD =·BD =24（cm）
作业布置
(1)教材P79～80　习题21.3第4，12(2)题；(2)对应课时练习．

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