资源简介

(共26张PPT)
人教版 八年级 数学（下）
第二十一章 四边形
21.3　特殊的平行四边形
21.3.2　菱形
第2课时 菱形的判定
新课导入
有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这是菱形的定义，
回顾 菱形的定义是什么？性质有哪些？
我们可以根据定义来判定一个四边形是菱形，除此之外，还能找到其他的判定方法吗？
菱形是一个轴对称图形，具有如下的性质：
(1)两条对角线互相垂直平分；
(2)四条边都相等；
(3)每条对角线平分一组对角．
这些性质，对寻找判定菱形的方法有什么启示呢？
根据菱形的定义，可得菱形的第一个判定方法：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
A
B
D
C
几何语言：
∵四边形ABCD是平行四边形，
且AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形.
你还有其他的判定方法吗？
总 结
探究新知
前面我们用一长一短两根木条，在它们的中点处固定一个小钉，做成一个可以转动的十字. 在四周围上一根橡皮筋，做成一个平行四边形. 那么转动木条，这个平行四边形什么时候变成菱形？对此你有什么猜想.
猜想：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
A
B
C
O
D
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC与BD相交于点O ，AC⊥BD.
求证：□ABCD是菱形.
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形.
证一证
∴OA=OC.
又∵AC⊥BD,
∴BD是线段AC的垂直平分线.
∴BA=BC.
∴四边形ABCD是菱形（菱形的定义）.
命题1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
命题2：四条边都相等的四边形是菱形.
已知：四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD.
求证：四边形ABCD是菱形.
证明：∵ AB=BC=CD=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形.
又AB=BC，
∴ ABCD是菱形.
A
D
C
B
对角线互相垂直的平行四边形是菱形
AC⊥BD
几何语言描述：
∴ □ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
A
B
C
D
□ABCD
菱形的判定定理：
∵在□ABCD中，AC⊥BD,
总 结
四条边都相等的四边形是菱形
AB=BC=CD=AD
几何语言描述：
∴四边形 ABCD是菱形.
A
B
C
D
菱形ABCD
菱形的判定定理：
四边形ABCD
A
B
C
D
∵在四边形ABCD中，AB=BC=CD=AD，
知识归纳
菱形的判定定理：
有一组邻边相等的平行四边形是菱形；
1
对角线互相垂直的平行四边形是菱形；
2
四条边相等的四边形是菱形．
3
例题与练习
例 1
A
B
C
D
F
E
O
1
2
3
如图，在□ ABCD 中，对角线 AC 的垂直平分线与边AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：四边形 AFCE 是菱形.
证明：∵EF 垂直平分 AC，
∴AE = EC，AF = FC .
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AE∥BC，
∴∠1 = ∠2，
又OC = OC，∠EOC = ∠FOC = 90°，
∴△EOC ≌ △FOC（ASA）.
∴EC = FC = AE = AF .
∴四边形 AFCE 是菱形.
∴∠2 = ∠3.
∴∠1 =∠3.
例 2
如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于点
E，DF∥AB交AC于点F，试问四边形AEDF是菱形吗？说明你的理由．
解：四边形AEDF是菱形．理由如下：
∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形．
∵DE∥AC，
∴∠CAD＝∠ADE.
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD，
∴∠BAD＝∠ADE，
∴AE＝DE，
∴四边形AEDF是菱形．
例 3
如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中
点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.
(1)求证：AF＝DC；
解：∵E是AD的中点，
∴AE＝ED.
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，∠FAE＝∠BDE，
∴△AFE≌△DBE(AAS)，
∴AF＝DB.
∵AD是BC边上的中线，
∴DB＝DC，
∴AF＝DC；
解：四边形ADCF是菱形．
(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
证明如下：由(1)知，AF＝DC.
∵AF∥CD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵AB⊥AC，
∴△ABC是直角三角形．
∵AD是BC边上的中线，
∴AD＝BC＝DC，
∴四边形ADCF是菱形．
1. 如图，在四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O 且
互相垂直平分. 求证：四边形 ABCD 是菱形.
证明：∵对角线 AC，BD 互相垂直平分，
O
D
A
B
C
∴AC ⊥ BD，AO = CO，DO = BO .
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又AC ⊥ BD，
∴□ABCD是菱形.
2. 如图，两张对边平行且等宽的纸条交叉叠放在一起，重合部分构成的四边形 ABCD 是一个菱形吗？为什么？
解：四边形 ABCD 是一个菱形. 理由：
A
B
C
D
E
F
如图，过点 A 分别作 AE ⊥ BC 于点 E，AF ⊥ CD 于点 F . 由题意，得 AE = AF.
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴∠B =∠D.
又∠AEB = ∠AFD = 90°，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB = AD，
∴ □ ABCD 是菱形.
3. 一张三角形纸片如图所示，请你用纸片折出一个菱形，使∠A 是菱形的一个内角，和点 A 相对的顶点在边 BC 上，并说明所折图形是菱形的理由.
解：如图，将△ABC 折叠，使 AB，AC 重合，得折痕 AD .
A
B
C
E
D
F
展开后再次折叠使点 A，D 重合，得折痕 EF，连接 DE，DF，则四边形 AEDF 为菱形.
理由：设 AD，EF 相交于点 O .
∴△AEO≌△AFO（ASA）.
在△AEO 和△AFO 中，
∠EAO = ∠FAO，
AO = AO，
∠AOE = ∠AOF，
A
B
C
E
D
F
O
由折叠可知，∠EAO = ∠FAO，EF 垂直平分AD .
∴∠AOE = ∠AOF = 90°，AE = DE，AF = DF .
∴AE = AF .
∴AE = AF = DE = DF .
∴四边形 AEDF 为菱形.
4．用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是 (　 　)
C
5．如图，在 ABCD中，AF，CE分别是∠BAD和∠BCD的平分线，根据现有的图形，请添加一个条件，使四边形AECF为菱形，则添加的一个条件可以是_____________________．
(只需写出一个即可，图中不能再添加别的“点”和“线”)
AC⊥EF(答案不唯一)
6．如图，△ABC与△CDE都是等边三角形，点E，F分别在AC，BC上，且EF∥AB.求证：四边形EFCD是菱形．
证明：∵△ABC与△CDE都是等边三角形，
∴ED＝CD，∠A＝∠DCE＝∠BCA＝∠DEC＝60°，
∴AB∥CD，DE∥CF.
又∵EF∥AB，
∴EF∥CD，
∴四边形EFCD是平行四边形．
∵ED＝CD，
∴四边形EFCD是菱形．
课堂小结
有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
四边相等的四边形是菱形.
运用定理进行计算和证明
菱形的判定
定义法
判定定理
1.如图，在□ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若添加一个条件，可推出□ABCD是菱形，则该条件可以是（ ）
A. AB=AC B. AC=BD
C. AC⊥BD D. AB⊥AC
C
随堂检测
2.如图，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点. 求证：四边形EFGH是菱形.
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AD=BC，AB=CD．
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD的中点，
∴AH=DH=BF=CF，AE=BE=CG=DG．
∴△AHE≌△BFE≌△CFG≌△DHG(SAS)，
∴HE=FE=FG=HG，
∴四边形EFGH是菱形．
解：这是一个菱形.
3.一个平行四边形的一条边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积.
B
C
D
A
O
AO=CO= AC=6，
BO=DO= BD=3 .
在△ABO中，
S菱形ABCD= AC · BD=36
B
C
D
A
O
∵AO2+BO2=（3 ）2+62=81，AB2=92=81，
∴△ABO是直角三角形，
∴AC⊥BD，
∴ ABCD是菱形.
作业布置
(1)教材P79～80　习题21.3第5，10题；(2)对应课时练习．

展开更多......

收起↑