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人教版 八年级 数学（下）
第二十二章 函数
22.2 函数的表示
第1课时 函数的图象及其画法
新课导入
为了探索泥茶壶盛水喝起来凉的原因，对泥茶壶和塑料壶盛水散热情况进行对比实验．在同等情况下，把稍高于室温(25.5 ℃)的水放入凉壶中，每隔一小时同时测出凉壶水温，所得数据如下表：
刚倒入时 1 2 3 4 5 6 7
泥茶壶 34 27 25 23.5 23.0 22.5 22.5 22.5
塑料壶 34 30 27 26.0 25.5 22.5 22.5 22.5
你会根据表格在坐标系中画出泥壶水温的变化曲线吗？
刚倒入时 1 2 3 4 5 6 7
泥茶壶 34 27 25 23.5 23.0 22.5 22.5 22.5
塑料壶 34 30 27 26.0 25.5 22.5 22.5 22.5
探究新知
一个正方形的边长为x，面积为S，你能写出S关于x的函数解析式吗？自变量x的取值范围是多少？
正方形的面积S与边长x的函数解析式为S=x2.
根据问题的实际意义，可知自变量x的取值范围是x＞0.
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
S 0 0.25 1
2.25
4
6.25
9
12.25
16
自变量x的一个确定的值与它所对应的唯一的函数值S，是否确定了一个点(x，S)呢？
计算并填写下表：
在直角坐标系中，我们要怎么画出函数的图象呢？
O
S
x
1
2
3
4
1
4
9
16
描点：在直角坐标系中，画出表格中各对数值所对应的点.
连线：把所描出的各点用平滑的曲线连接起来.
表示x与S的对应关系的点有无数个，但实际我们只能描出其中有限个点，同时想象出其他点的位置.
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
通过图象可以数形结合地研究函数.
拓 展
函数图象上的任意一点的坐标(x，y)中的x，y均满足函数解析式；满足函数解析式的任意一对x，y的值，所对应的点一定在这个函数的图象上.
特别解读
函数的图象可以是直线、射线、线段，也可以是散点、曲线等.
不在曲线上的点用空心圈表示.
在曲线上的点
用实心圆表示
这个曲线的函数表达式为：S=x2. 考虑到自变量的取值范围x>0，因此点（0，0）不在曲线上.
不在曲线上的点怎么表示呢？
在曲线上的点怎么表示呢？
O
S
x
1
2
3
4
1
4
9
16
函数图象能直观地反映自变量的取值范围，即坐标轴上横坐标的范围.
函数图象的画法:
第一步：列表(表中给出一些自变量的值以及对应的函数值)；
第二步：描点(在直角坐标系中，以自变量为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中的数值对应的各点)；
第三步：连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描的各点用平滑的曲线连接起来)；
特别提醒
1. 画函数图象时注意自变量的取值范围，能取到时画实心圆点，不能取到时画空心圆圈.
2. 列表时，注意自变量的取值不应使函数值太大或太小.
知识归纳
1．一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的________________，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的________．
注意：画函数图象时应注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否能取到，能取到的画实心圆点，不能取到的画空心圆圈．
横、纵坐标
图象
2．描点法画函数图象的一般步骤：
(1)_____：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
(2)_____：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
(3)_____：按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
注意：①列表时一定要在自变量的取值范围内取比较合适的关键点；②连线时不要超出自变量的取值范围．
列表
描点
连线
例题与练习
例 1
在下列式子中，y是x的函数。画出这些函数的图象，通过图象观察函数与自变量的关系。
(1)y=x+0.5
解：(1)从式子y=x+0.5可以看出，x取任意实数时这个式子都有意义，所以x的取值范围是全体实数.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -0.5 0.5 …
-1.5
从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表（计算并填写表中空格）.
1.5
2.5
从函数y=x+0.5的图象可以看出，直线从左到右上升，即当x由小变大时，y随之增大.
-2
O
x
y
1
1
-1
-1
y=x+0.5
2
2
-2
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -1.5 -0.5 0.5 1.5 2.5 …
x … 0.5 1 2 3 4 5 6 …
y … 3 1.5 1 0.75 …
6
0.6
0.5
(2) y = (x>0)
解：(2) y = (x>0)中x的取值范围是全体正实数，从x的取值范围中选取一些数值，算出y的对应值，列表（计算并填写表中空格）.
x … 0.5 1 2 3 4 5 6 …
y … 6 3 1.5 1 0.75 0.6 0.5 …
根据表中的数值在平面直角坐标系中描点（x，y），并用平滑曲线连接这些点.
从函数y = (x>0)的图象可以看出，曲线从左向右下降，即当x由小变大时，y随之减小.
列表法一目了然，使用起来比较方便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律.
用列表法表示函数有什么优缺点？
用图象法表示函数有什么优缺点？
图象法能直观地反映自变量的取值范围，但只能近似的表达两个变量之间的函数关系.
例 2
小友同学结合学习一次函数的经验，对函数y＝－2＋5的图象进行了探究：
y
x
o
1
-1
(1)列表：把下表补充完整．
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －3 　 1 3 5 3 　 －1 －3 …
解：(1)－1　1
(2)描点、连线：在给出的平面直角坐标系中描出以表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象．
y
x
o
1
-1
(2)如图．
x … －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y … －3 －1　 1 3 5 3 1　 －1 －3 …
(3)结合图象，写出函数y＝－2|x|＋5的一条性质．
(3)当x＝0时取得最大值为5.
y
x
o
1
-1
1.（1）画出函数 y = 2x-1的图象；
y
x
o
-1
-1
1
1
2
3
4
2
3
4
5
6
7
解: (1) 列表：
x … 0 1 2 3 4 …
y … －1 1　 3 5 7 …
描点，连线如图所示：
（2）判断点A（-2.5，一4），B（1，，3），C（2.5，4）是否在函数 y=2x-1的图象上 .
y
x
o
-1
-1
1
1
2
3
4
2
3
4
5
6
7
(2) 由题意得，y = 2x-1
当x = -2.5时，y = 2×(-2.5) – 1 = –6
因为 6 4，
所以点 A (-2.5，-4)不在函数图象上.
当x = 1时，y = 2×1 – 1 = 1
因为 1 ，
所以点 B (1，3)不在函数图象上.
当x = 2.5时，y = 2×2.5 – 1 = 4
因为 4 ，
所以点 C (2.5，4)在函数图象上.
2.（1）画出函数y=十1的图象；
解: (1) 列表：
x … -2 -1 0 1 2 …
y … 5 2　 1 1 5 …
描点，连线如图所示：
y
x
o
-1
1
1
2
3
4
2
3
4
5
6
7
-2
（2）观察函数y=+1的图象，当x<0时，y随x的增大而增大还是y随x的增大而减小？当x>0时呢？
y
x
o
-1
1
1
2
3
4
2
3
4
5
6
7
-2
当 x<0 时，图象在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小；
当 x>0 时，图象在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大。
3．下列各点在函数y＝3x＋2的图象上的是(　 　)
A．(1，1)　　
B．(－1，－1)　 　
C．(－1，1)　 　
D．(0，1)
B
4．画出函数y＝2x－1的图象．
(1)列表：
x … －1 0 1 …
y … …
(2)描点并连线；
－3
－1
1
解：(2)如图；
(3)判断点A(－3，－5)，B(2，－3)，C(3，5)是否在函数 y＝2x－1的图象上？
(4)若点P(m，9)在函数y＝2x－1的图象上，求m的值．
(3)点A，B不在其图象上，点C在其图象上；
(4)m＝5.
课堂小结
函数的图象
图象的画法
图象表达的实际意义
描点
列表
连线
随堂检测
1.下列各点在函数y＝3x－3图象上的是(　　)
A. (－1，3)
B. (0，1)
C. (1，－1)
D. (2，3)
D
2. 在同一平面直角坐标系中画出函数 y1＝x和 y2＝x2的图象，通过图象观察函数与自变量的关系.
解：由函数解析式可知自变量x的取值范围是全体实数．
x … －2 －1 0 1 2 …
y1 … －2 －1 0 1 2 …
y2 … 4 1 0 1 4 …
列表：
描点、连线，如图所示的直线和曲线分别为函数y1＝x和y2＝x2的图象．
从函数y1＝x的图象可以看出，直线从左向右上升，即当x由小变大时，y1随之增大；
从函数y2＝x2的图象可以看出，曲线从左向右先下降再上升，即当x由小变大时，y2先减小再增大．
作业布置
(1)教材P5　习题19.1第1，3，5，7题；
(2)对应课时练习．

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