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人教版 八年级 数学（下）
21.3　特殊的平行四边形
21.3.3　正方形
第二十一章 四边形
新课导入
1．回顾矩形、菱形的性质和判定定理．
2．用一张长方形的纸片(如图所示)折出一个正方形．学生在动手中对正方形产生感性认识，并感知正方形与矩形的关系．
正方形
思考 正方形和矩形有什么关系？
正方形有哪些性质？
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角.因此，正方形既是矩形，又是菱形.
正方形是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？
探究新知
正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等.
正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角.
正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？
是轴对称图形，有4条对称轴.
正方形是我们熟悉的几何图形，它的四条边都相等，四个角都是直角. 正方形既是特殊的平行四边形，也是特殊的矩形、菱形，因此它具有平行四边形、矩形、菱形的所有性质.
知识归纳
1．正方形的概念：
邻边相等
矩形
〃
正方形
〃
菱形
一个角是直角
正方形
∟
有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形．
2．正方形的性质：既有矩形的性质，又有菱形的性质．
3．正方形是轴对称图形，它有4条对称轴，对称轴是两条对角线所在直线和两组对边的垂直平分线．
正方形的四条边都相等；
1
2
正方形的四个角都是直角；
3
正方形的两条对角线互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角，它的对角线与每条边的夹角都是45°．
正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学讨论一下，并列表或画框图表示这些关系.
平行四边形
矩形
菱形
正
方
形
思考：
一个角是直角
平行四边形
矩形
一组邻边相等
一个角是直角
一组邻边相等
菱形
一组邻边相等
一个角是直角
正方形
1.把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？
解：由折叠可知：
A
B
C
D
练习
∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°，
∴四边形ABCD是矩形.
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是正方形.
2.如何从一块长方形木板中裁出一个最大的正方形木板呢？
解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。
A
B
C
D
做一做 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证.
正方形
矩形
正方形
一组邻边相等
或对角线互相垂直
矩形
满足怎样条件的矩形是正方形？
如何判定一个四边形是正方形呢？
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：矩形ABCD是正方形.
求证：对角线互相垂直的矩形是正方形.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴矩形ABCD是正方形.
做一做 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形.
正方形
满足怎样条件的菱形是正方形？
正方形
一个角是直角
或对角线相等
菱形
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线，AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
A
B
C
D
O
求证：对角线相等的菱形是正方形.
解：证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
知识归纳
正方形判定的几条途径：
先判定菱形
正方形
①有一个直角
②对角线相等
先判定矩形
正方形
①一组邻边相等
②对角线垂直
平行四边形
正方形
①一组邻边相等且有一个直角
②对角线相等且垂直
正方形的判定定理：
有一组邻边相等的矩形是正方形；
有一个角是直角的菱形是正方形；
对角线互相垂直的矩形是正方形；
对角线相等的菱形是正方形．
例题与练习
例 1
求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.
已知：如图，四边形 ABCD 是正方形，对角线 AC，BD 相交于点 O .
求证：△ABO，△BCO，△CDO，△DAO 是全等的等腰直角三角形.
A
B
D
C
O
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
A
B
D
C
O
∴AC = BD，AC ⊥ BD .
∴∠AOB = ∠BOC = ∠COD = ∠AOD = 90°，
AO = BO = CO = DO .
∴△ABO，△BCO，△CDO，△DAO
都是等腰直角三角形，并且
△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO.
（SAS）
例 2
如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
解：证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD.
又∵BA＝BC，BD＝BD，
∴△ABD≌△CBD(SAS)，
∴∠ADB＝∠CDB；
解：∵PM⊥AD，PN⊥CD，
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
∴∠PMD＝∠PND＝90°.
又∵∠ADC＝90°，
∴四边形MPND是矩形．
∵∠ADB＝∠CDB，
∴PM⊥AD，PN⊥CD，
∴PM＝PN，
∴四边形MPND是正方形．
如图，E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 四条边上
的点，且 AE = BF = CG = DH. 求证：四边形 EFGH 是正方形.
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
分析：要证明四边形 EFGH 是正方形，需证明它既是菱形，也是矩形，也就是要先证明它的四条边相等，再证明它的一个角是直角，而这可以由△AEH，△BFE，△CGF，△DHG 全等得出.
例 3
证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴HE = EF = FG = GH .
∴AB = BC = CD = DA .
又 AE = BF = CG = DH，
∴EB = FC = GD = HA .
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°，
∴△AEH ≌△BFE ≌△CGF ≌△DHG .
A
B
D
C
F
H
E
G
1
2
3
∴四边形 EFGH 是菱形 .
∵△AEH ≌△BFE，
∴∠2 = ∠3.
又∠1 + ∠2 = 90°，
∴∠1 + ∠3 = 90°.
∴∠HEF = 180°－(∠1 + ∠3) = 90°.
∴四边形 EFGH 是正方形 .
1.（1）把一张矩形纸片按如图方式折一下，就可以裁出正方形纸片. 为什么？
（2）如何从一块矩形木板中裁出一块面积最大的正方形木板呢？
解：（1）如图，由折叠知 AB = AD，
∠B =∠ADC = 90°.
（2）如（1）所示的正方形面积最大，即令正方形的边长等于长方形的宽.
A
B
D
C
∵∠BAD = 90°，
∴四边形 ABCD 是矩形，且 AB = AD，
由正方形是有一组邻边相等的矩形可知，四边形 ABCD 是正方形.
2. 如图，一块正方形场地的四个顶点分别是 A，B，C，D .
李明和张华在边 AB 上取了一点 E，EC = 30 m，EB = 10 m.
这块场地的面积和对角线长分别是多少？
解：如图，连接 AC .
由勾股定理，BC = = = 20（m）.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠B = 90°，AB = BC .
在Rt△BEC 中，∠B = 90°，EB = 10 m，EC = 30m，
在Rt△ABC 中，∠B = 90°，AB = BC = 20 m，
由勾股定理，AC =
∴S正方形ABCD = BC2 = = 800（m2）.
∴这块场地的面积为 800 m2，对角线长为 40 m.
= = 40（m）
3. 如图，一个正方形草坪的四个顶点分别是 A，B，C，D . 要修建 BE 和 AF 两条路，使点 E，F 分别在边 AD，CD 上,且 DE = CF. 这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
解：这两条路等长，它们互相垂直. 理由：
O
如图，设 AF 与 BE 交于点 O.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB = AD = CD，∠BAE = ∠D = 90°.
又 DE = CF，∴AD－DE = CD－CF，即AE = DF.
∴△ABE≌△DAF（SAS）.
∴BE = AF，∠AEB = ∠DFA.
∵∠D = 90°，
∴∠DFA + ∠DAF = 90°.
∴∠AEB + ∠DAF = 90°.
∴∠AOE = 90°，即 BE ⊥ AF .
4．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为 (　 　)
　A．14 B．15 C．16 D．17
5．如图，在正方形ABCD的外侧作等边三角形ADE，则∠BED的度数是____．
C
45 °
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，点O为边AB的中点，连接DO并延长到点E，使OE＝OD，连接AE，BE.
(1)求证：四边形AEBD是矩形；
解：∵点O为AB的中点，
∴BO＝AO.
又∵OE＝OD，
∴四边形AEBD是平行四边形．
∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴四边形AEBD是矩形；
解：当∠BAC＝90°时，矩形AEBD是正方形．
(2)当△ABC满足什么条件时，矩形AEBD是正方形．并说明理由．
理由如下：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝BC＝AD.由(1)，得四边形AEBD是矩形，
∴矩形AEBD是正方形．
(答案不唯一，言之有理即可)
课堂小结
1.四个角都是直角
2.四条边都相等
3.对角线相等且互相垂直平分
正方形的性质
性质
定义
有一组邻相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形
任意
四边形
平行
四边形
正方形
矩形
菱形
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角且一组邻边相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
随堂检测
1. 正方形的边长是 3，则它的对角线的长是______．
2. 如图，在正方形 ABCD 中，点 E 在 BD 上，且 BE = CD，则 ∠BEC 的度数为________．
67.5°
3
3.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P是对角线AC上的点，过点P作PE⊥PB，PE交线段DC于点E．求证：PB=PE．
A
B
D
C
P
E
证明：如图，过点P分别作PG⊥BC于点G，
PH⊥DC于点H，
G
H
∴∠PGB=∠PGC=∠PHE=90°．
∵四边形ABCD是正方形，
∴CA平分∠BCD，∠BCD=90°．
∴PG=PH，四边形PGCH是矩形，
∴∠HPG=90°．
又PE⊥PB，∴∠BPE=90°．
∴∠BPE－∠GPE=∠GPH－∠GPE，
即∠BPG=∠EPH ．
在△PGB 和△PHE中，∠PGB=∠PHE，PG=PH，∠BPG=∠EPH，
∴△PGB≌△PHE(ASA)，
∴PB=PE．
A
B
D
C
P
E
G
H
4. 如图，在矩形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交对角线 AC 于点E，EF⊥AB， EG⊥BC，垂足分别是F，G. 判断四边形 EFBG 的形状，并证明你的结论.
解：四边形EFBG是正方形．
A
D
B
C
E
F
G
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°.
又 EF⊥AB，EG⊥BC，
∴∠BFE = ∠BGE = 90°，
∴四边形 EFBG 是矩形．
∵BE 为∠ABC 的平分线，
∴矩形 EFBG 是正方形．
∴EF = EG，
5. 如图，四边形AECF是菱形，对角线AC，EF交于点O，点 D， B是对角线EF所在直线上两点，且DE=BF，连接AD，AB， CD，CB，∠ADO=45°．求证：四边形ABCD是正方形.
证明: ∵四边形 AECF 是菱形，
∴AC ⊥ EF，OA = OC，OE = OF．
∵DE=BF，
∴OE + DE=OF + BF，即 DO=BO，
∴四边形 ABCD 是平行四边形．
又 AC ⊥ BD，
∵∠ADO=45°，
∴∠ADC=2∠ADO=90°．
∴四边形 ABCD 是正方形．
∴四边形 ABCD 是菱形．
6.如图，点E在正方形ABCD的边BC上，∠AEF=90°且AE=EF，过点F作FM⊥BC，垂足为M．
（1）求证：BE=CM；
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AB=BC，
∴∠BAE+∠BEA=90°．
∵∠AEF=90°，
∴∠BEA+∠FEM=90°，
∴∠BAE=∠FEM．
在△ABE与△EMF中，
∠B=∠M=90°，∠BAE=∠FEM，AE=EF，
∴△ABE≌△EMF(AAS)，
∴AB=EM．
∴BC=EM，
∴BC－EC=EM－EC，即BE=CM．
（2）延长CD至点N，使得DN=BE，连接AN，FN.
求证：四边形AEFN是正方形.
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BAD=∠ADC=∠BCD=90°，AB=AD．
∵DN=BE，
∴△ABE≌△ADN(SAS)，
∴AE=AN，∠BAE=∠DAN．
∵AE=EF，
∴EF=AN．
∵∠EAN=∠DAN+∠EAD=∠BAE+∠EAD=∠BAD=90°，
∴∠EAN+∠AEF=180°，
∴AN∥EF，
∴四边形AEFN是平行四边形．
∵AE=EF，
∴四边形AEFN是菱形．
∵∠AEF=90°，
∴四边形AEFN是正方形．
作业布置
(1)教材P79～80　习题21.3第7，12(3)题；(2)对应课时练习．

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