资源简介

(共51张PPT)
人教版 八年级 数学（下）
第二十二章 函数
22.1 函数的概念
第2课时 函数
新课导入
1．圆柱的体积公式V＝πr2h，V表示体积，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，其中常量是____________，变量是_____________．
π
V，r，h
2.如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定．
在上述例子中，每个变化过程中的两个变量，当其中一个变量变化时，另一个变量也随之发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随之确定．
探究新知
思考：
（1）潮汐是指海水在月球和太阳引力作用下发生的周期性涨落现象，我国某港口潮水的高度（简称潮高）在某时段的变化如图所示，时间与潮高分别记作变量t与h。这两个变量之间有什么关系？
这两个变量（时间t与潮高h）之间是函数关系，具体来说是周期性的函数关系。
对于每一个确定的时间t，都有唯一确定的潮高h与之对应，从图像可以看出，潮高h随时间t呈现周期性的起伏变化。
（2）某年某银行整存整取的存款期限与对应的年利率如表所示，存款期限与年利率分别记作变量x和y. 这两个变量之间有什么关系？
存款期限与年利率
存款期限 x/ 月 3 6 12 24 36 60
年利率 y/% 1.15 1.35 1.45 1.65 1.95 2.00
这两个变量（存款期限x与年利率y）之间是函数关系，且呈现正相关的变化关系。
每一个确定的存款期限x，都对应唯一确定的年利率y。从变化趋势看：随着存款期限x的增加，年利率y整体呈上升趋势（期限越长，年利率越高）。
什么叫作自变量？什么叫作函数？
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.
函数的定义中包括了对应值的存在性和唯一性两重意思，即对自变量x 的每一个确定的值，函数y有且只有一个值与之对应；对自变量x的不同值，函数y的值可以相同.
特别提醒
例如：在s＝60t中，有两个变量s与t，当t变化时，s也随之发生变化，并且对于t在其取值范围内的每一个 值，s都有唯一确定的值与之对应，我们就称t是自变量， s是t的函数.
注意此处不能说s是函数
说明：
(1)函数研究的对象不是数，而是一个变化过程中的两个变量；
(2)函数中两个变量之间的关系是单向对应关系，即对于x 的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，但是对于一个确定的y值，与其对应的x的值可以不唯一；
(3)函数中两个变量具有相对性，如y＝x＋3表示y是x的函数，而将其变形成x＝2y－6 后，则表示x 是y 的函数.
使函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围.
什么叫自变量的取值范围？
如何求式子中自变量的取值范围？
确定自变量取值范围的方法：其一，要使函数关系式有意义；其二，对实际问题中的函数关系，还应该使实际问题有意义.
不同类型的函数自变量取值范围的确定
类型 特征 举例 取值范围
整式型 等号右边是关于自变量的整式 y＝2x2＋3x－1 全体实数
分式型 等号右边是关于自变量的分式 y＝ 使分母不为0的实数
类型 特征 举例 取值范围
根 式 型 二次 根式 等号右边是关于自变量的二次根式 y＝ 使根号下的式子为大于或等于0 的数
三次 根式 等号右边是关于自变量的三次根式 y＝ 全体实数
不同类型的函数自变量取值范围的确定
类型 特征 举例 取值范围
幂型 等号右边是关于 自变量的0 指数幂(或负整数指数幂) y＝(x－2)0 或y＝2(x－3)－1 使底数不为0的实数
复合型 含有上述两种或多种形式 y＝ 使各部分都有意义的实数的公共部分
不同类型的函数自变量取值范围的确定
求自变量取值范围的过程，其实就是解不等式或不等式组的过程.
特别提醒
注意： 自变量的取值范围可以是无限的，也可以是有限的，甚至可以是几个数或单独一个数.
什么叫作函数值？
如果对于自变量x在取值范围内的某个确定的数值a，函数y所对应的值为b，即当x＝a时，y＝b, 那么b叫作当自变量的值为a时的函数值.
②当自变量的值确定时，函数值是唯一确定的；当函数值确定时，求相应的自变量的值，就是解方程，对应的自变量的值可以不止一个，如y＝x2－1中，当y＝0时，x＝±1.
①当已知关系是函数关系时，求函数值，实质就是利用代入法求代数式的值.
求函数值及自变量值的方法：
1. 函数与函数值的区别：函数表示的是两个变量之间的一种对应关系，而函数值是一个数值.
特别提醒
2. 一个函数的函数值是随着自变量的变化而变化的，故在求函数值时，一定要指明自变量为多少时的函数值.
例2 汽车油箱中有汽油50L.如果不再加油，那么油箱中的油量y(单位：L)随行驶路程x(单位：km)的增加而减少，耗油量为0.1L/km.
油箱中的剩油量、汽车耗油量与油箱中原有油量之间有怎样的数量关系？
(1)写出表示y与x的函数关系的式子；
解：行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数，它们的关系为：
y = 50 - 0.1x
0.1x表示的意义是什么？
0.1x表示行驶过程中消耗的总油量.
(2)指出自变量x的取值范围；
解：仅从式子y = 50-0.1x看，x可以取任意实数. 但是考虑到x代表的实际意义为行驶路程，因此x不能取负数. 行驶中的耗油量为0.1x，它不能超过油箱中现有油量50，即：
因此，自变量x的取值范围是0 ≤ x ≤ 500 .
0.1 x ≤50
求函数自变量的取值范围应注意些什么？
确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数解析式有意义，而且还要注意各变量所代表的实际意义.
(3)汽车行驶200 km时，油箱中还有多少油？
解：汽车行驶200km时，油箱中的汽油量是函数y=50-0.1x 在x=200时的函数值.
因此，汽车行驶200km时，油箱中还有30L汽油.
将x=200带入y = 50 - 0.1x，得
y=50-0.1×200=30
什么叫作函数的解析式？
像y = 50 - 0.1x 这样，用关于自变量的数学式子表示函数与自变量之间的关系，这种式子叫做函数的解析式.
(1)函数解析式是等式 .
(3)书写函数的解析式是有顺序的. 如y＝2x－1表示y是x的函数，若x＝2y－1，则表示x是y的函数. 即求y关于x的函数解析式时，必须用含x的代数式表示y，也就是等式左边是一个变量y，右边是一个含x的代数式.
函数的解析式有什么特点？
(2)函数解析式中指明了哪个是自变量，哪个是函数，通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的变量表示函数.
①找：找出各个量之间的数量关系；
求函数解析式的方法：
②写：写出含有两个变量的等式；
③变：将等式变形为用含自变量的式子表示函数的形式.
知识归纳
1．一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有________确定的值与其对应，那么我们就说________是自变量，________是________的函数．如果当x＝a时y＝b，那么________叫作当自变量的值为________时的函数值．
唯一
x
y
x
b
a
2．确定自变量的取值范围时，不仅要考虑使函数关系式____________，而且要注意问题的____________．
3．用关于自变量的____________表示函数与自变量之间的关系的式子叫作函数的解析式．
有意义
实际意义
数学式子
例题与练习
例 1
下列问题中哪些量是自变量？哪些量是自变量的函数？试写出用自变量表示函数的式子．
x是自变量，
(1)一个弹簧秤最大能称不超过10 kg的物体，它的原长为10 cm，挂上重物后弹簧的长度y(cm)随所挂重物的质量x(kg)的变化而变化，每挂1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm；
y＝10＋ x
y是自变量的函数；
a是自变量，
(2)设一长方体盒子的高为30 cm，底面是正方形，底面边长a(cm)改变时，这个长方体的体积V(cm3)也随之改变．
V ＝ 30a2
V是自变量的函数．
例 2
求下列自变量的取值范围．
解：(1) x为全体实数
解得 x ≥ 1；　　
(3) 2x－1＞0，
(1)y＝ x－5； (2)y＝； (3)y＝.
(2)
解得 x＞ .
例 3
水箱内原有水200 L，7：30打开水龙头，以2 L/min的速度放水，设经t min时，水箱内存水y L.
解：(1)∵水箱内存有的水＝原有水－放掉的水，
∴200－2t≥0，解得t ≤100.
(1)求y与t的函数关系式和自变量的取值范围；
∴y＝200－2t.
∵y ≥ 0，
∴0 ≤ t ≤ 100；
(2)∵7：55－7：30＝25(min)，
(2)7：55时，水箱内还有多少水？
(3)几点几分水箱内的水恰好放完？
∴当t＝25时，y＝200－2t＝200－50＝150.
∴当7：55时，水箱内还有水150 L；
(3)当y＝0时，200－2t＝0，解得t＝100，
而100分＝1小时40分，7点30分＋1小时40分＝9点10分，
故9点10分水箱内的水恰好放完．
1.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系。如果是，指出其中的自变量与函数.
（1）改变正方形的边长x，正方形的面积S随x的变化而变化；
自变量
是函数关系
函数
（2）乘坐摩天轮时，游客离地面的高度h随时间t的变化而变化；
自变量
是函数关系
函数
（3）某天不同时刻的气温如图所示，气温T随时间t的变化而变化；
自变量
是函数关系
函数
（4）某地一年不同月份的降水量如下表所示，降水量y随月份x的变化而变化。
月份x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
降水量y/mm 20 23 43 95 146 193 186 138 106 86 48 24
自变量
是函数关系
函数
2.举出一个函数例子，说明其中的函数关系，并指出其中的自变量与函数。
例：购买单价为 2 元的笔记本，总价y随数量x的变化而变化。
关系式：y=2x（x为笔记本数量，取正整数）
函数关系：每一个确定的数量x，对应唯一确定的总价y
自变量：x（笔记本数量）
函数：y（购买笔记本的总价）
3.判断下列问题中的两个变量之间是不是函数关系。如果是，指出其中的自变量与函数，并写出函数解析式.
（1）水箱中原有水10 L，漏水速度为0.05 L/h，水箱中剩余的水量V（单位：L）随时间t（单位：h）的变化而变化；
自变量
是函数关系
函数
V=10 0.05t (0 ≤ t ≤ 200)
（2）绿水村的耕地面积是，这个村的人均耕地面积y（单位：）随人数n的变化而变化。
自变量
是函数关系
函数
y = (n 为正整数)
4. 梯形的上底长为2cm，高为3cm，下底长x（单位：cm）大于上底长但不超过5cm，写出梯形面积S（羊位：）关于x的函数解析式，并指出自变量x的取值范围.
函数解析式：S = x + 3
自变量x的取值范围：2 < x ≤ 5
5.举出一个函数例子，要求其中的函数关系能用解析式表示，并指出自变量的取值范围.
例：一个正方形的边长为a cm，面积为S cm2。
函数解析式：S = a 2
自变量取值范围：a > 0（边长为正数）
6．下列各关系式中，y不是x的函数的是 (　 　)
A．y＝x4　　B．y＝6x2＋5　　C．|y|＝x　　D．y＝－x
7．下列各图给出了变量x与y之间的对应关系，其中y是x的函数的是 (　 　)
C
D
8．如图，当输入x＝－1时，输出y＝_______．
－5
课堂小结
函数
函数及自变量的概念
函数值
自变量的取值范围
使函数解析式有意义
符合实际意义
函数的解析式
随堂检测
1. 激光测距仪L发出的激光束以3×105 km/s的速度射向目标M，t s后测距仪L收到M反射回的激光束，则L到M的距离d(单位：km)与时间t (单位：s)的关系式为(　　)
A. d＝ t B. d＝3×105 t
C. d＝2×3×105 t D. d＝3×106 t
A
2. 下列关系中，y不是x的函数的是( )
A. 长方形的长一定时，其面积y与宽x
B. 高速公路上匀速行驶的汽车，其行驶的路程y 与行驶的时间x
C. y＝|x|
D. |y|＝x
D
3．已知等腰三角形的周长为12 cm，将底边长表示为y cm，腰长为x cm，它们之间的关系式是y＝12－2x，则其自变量x的取值范围是(　　)
A．0＜x＜6 B．3＜x＜6
C．一切实数 D．x＞0
B
4. 观察如图所示的计算程序， 若输入x的值为－3， 则输出y的结果为______；若输出y的结果为0，则输入x的值为_________.
－3
－ 或 0
作业布置
(1)教材P95～96　习题22.1第2，3，4，5，6，7，8题；
(2)对应课时练习．

展开更多......

收起↑