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人教版 八年级 数学（下）
第二十章 勾股定理
第20章 小结
本章知识结构图
勾股定理
勾股定理的逆定理
直角三角形边长的数量关系
直角三角形的判定
互逆定理
知识回顾
1.直角三角形三边的长有什么特殊的关系
2.赵爽证明勾股定理运用了什么思想方法
3.已知一个三角形的三边长，怎样判断它是不是直角三角形
4. 勾股定理的逆定理是如何证明的
复习巩固
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2=c2.
A
C
B
b
a
c
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
几何语言：
勾股定理
01
∴a2+b2=c2.
在Rt△ABC中，∠C=90°，
1 在Rt△ABC中，已知两直角边分别是5和12，则第三边长度为______.
2 若直角三角形的两边的长分别为和2，则该直角三角形第三边长为________.
13
1或
已知两边，求第三边
c=
3 直接求出下图中x、y和z的值.
2
x
y
1
4
z
90°
90°
90°
45°
30°
60°
2
2
2
已知一边及一个特殊角
4 如图，在Rt△ABC中，已知AB长度为6，BC-AC=2，求AC的长度.
B
A
C
解：设AC的长度为x，则BC的长度为(x+2).
在Rt△ABC中，由勾股定理，得：62+x2=(x+2)2
即AC的长度为8.
6
x+2
x
已知一边及另外两边的数量关系
解得 x=8
勾股定理的证明
赵爽弦图
S大正方形=c2=(b-a)2+4×ab
化简结果，得c2=a2+b2.
数学思想：
02
数形结合思想
特殊到一般的思想
转化思想
分类讨论思想
a
b
c
有一个内角为直角的三角形是直角三角形.
两个内角互余的三角形是直角三角形.
A
C
B
b
a
c
勾股定理的逆定理
几何语言：
如何判定一个三角形是直角三角形
03
如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.
∵a2+b2=c2，
∴△ABC是直角三角形.
题设：一个三角形是直角三角形.
结论：两条直角边的平方和等于斜边的平方.(a2+b2=c2)
题设：一个三角形的三边长a，b，c，满足a2+b2=c2.
结论：这个三角形是直角三角形.
证明方法：构造相同边长度的直角三角形，证全等（SSS）.
勾股定理逆定理
04
勾股定理
勾股定理
的逆定理
5 试判断下列边长组成的三角形是否为直角三角形：
（1）a=2，b=3，c=4；
（2）a=6，b=8，c=10；
（3）a=5，b=13，c=17.
22+32≠42，不是直角三角形.
62+82=102，是直角三角形.
52+132≠172，不是直角三角形.
像（2）这样，能成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数.
复习巩固
1. 如图，点 D 在 Rt△ABC 的边 AB 上，AD = 8，DB = 2，
CD = 17. 求 AC 和 BC 的长.
17
8
2
解：在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
AC = = = 15.
因为AD = 8，DB = 2，所以AB = 10.
在 Rt△ABC 中，由勾股定理，
BC = = =.
2. 两人从同一地点同时出发，一人以 20 m/min 的速度向北直行， 另一人以 30 m/min 的速度向东直行. 10 min 后他们相距多远（结果取整数）？
解：如图，设两人从 C点出发，10 min 后分别到达
A，B 两点，连接 AB.
依据题意，∠C = 90°，AC = 10× 20 = 200
（m），BC =10×30 = 300（m）.
在Rt△ABC 中，由勾股定理，
AB = = 361
所以10 min 后他们相距约 361 m.
3. 如图，过圆锥的顶点 P 和底面圆的圆心 O 的平面截圆锥得截面△PAB，其中 PA = PB，AB 是圆锥底面圆 O 的直径. 已知 PA = 7 ， AB = 4 ，求截面△PAB 的面积.
解：根据题意，PA = PB，OA = OB = AB.
所以PO ⊥ AB.
所以 S△PAB= =
由勾股定理，
PO = =
所以截面△PAB的面积为 .
4. 如图，帐篷的长 l = 2.6 m，其横截面是一个底边长 a = 2 m，高 h = 1.8 m 的等腰三角形. 制作此帐篷（不包含底面）至少需要用多少平方米布料（结果保留小数点后一位）？
解：设等腰三角形的腰长为 b.
由勾股定理，h2 += b2 ，
所以 b = =
ah + 2bl =2= ≈ 14.3
答：制作此帐篷（不包含底面）至少需要用约 14.3 m2 布料.
5. 如图，每个小正方形的边长都为 1.
（1）求四边形 ABCD 的面积和周长.
解:（1）由勾股定理，BC = =，
CD = =， AD = =， AB = =，
所以四边形 ABCD的周长为 AB + BC + CD + AD =
+ +3.
A
B
C
D
如图，沿格线过 A，B，C 三点作正方
形 AEFG，过点 D 作 DH ⊥ AG 于点 H.
所以S四边形ABCD = S正方形AEFG－S△BCF－S△ABE－S△ADH－S梯形CDHG
=
=
A
B
C
D
H
E
F
G
A
B
C
D
H
E
F
G
（2）∠BCD 是直角吗？请说明理由.
解：∠BCD 是直角. 理由如下：
如图，连接 BD，
由（1）知 CD = ，BC = ，
因此在△BCD中，BD2 = 25，CD2 + BC2 =()2 + ()2 = 25，
所以BD2 = CD2 + BC2，所以△BCD 是直角三角形，且∠BCD 是直角.
由勾股定理，BD = = 5.
6. 如图，在三角形支架中，AD ⊥ BC，垂足为 D，AB = 2 m， AC = 1.5 m，DC = 0.9 m.
（1）求 BD 的长；
（2）判断支架外框 △ABC 的形状，并说明理由.
解:（1）在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
AD2 = AC2－DC2 = 1.52－0.92 = 1.44.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，
BD = = = 1.6 .
综合运用
（2）支架外框 ABC 是直角三角形.
理由如下：
∵BD = 1.6 m，DC = 0.9 m，
∵AB2 + AC2 = 22 + 1.52 = 6.25，BC2 = 2.52 = 6.25，
∴AB2 + AC2 = BC2，
∴BC = 2.5 m.
∴支架外框 ABC 是直角三角形.
7. 如图，一根竹子高 1 丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端 3 尺处. 折断处离地面的高度是多少？（此题出自《九章算术》，其中的 丈、尺是长度单位，1 丈= 10 尺.）
解：折断的竹子与地面上所在的线段构成直角三角形，
设折断处离地面的高度为 x 尺.
根据勾股定理可得方程：x2 + 32 = (10－x)2.
解这个方程，得 x = 4.55.
∴折断处离地面的高度为 4.55 尺.
8. 古希腊哲学家柏拉图曾指出，如果 m 表示大于 1 的整数， a = 2m，b = m2－1，c = m2 + 1，那么 a，b，c 为勾股数. 你认为这种说法正确吗？如果正确，请给出证明，并利用 这个结论写出一些勾股数.
解：正确. 证明：
∵a2 = (2m)2 = 4m2，b2 = (m2－1)2 = m4－2m2 + 1，
又易知 a，b，c 都是正整数，
∴a，b，c 为勾股数. 例：20，99，101；10，24，26.
c2 = (m2 + 1)2 = m4 + 2m2 + 1，
a2 + b2 = 4m2 + m4－2m2 + 1 = m4 + 2m2 + 1 = c2 .
9. 如图，一个长方形由 5 个边长为 1 的正方形组成，
请把它分割后拼接成一个大正方形.
解：分割小正方形，如图①，
①
②
拼接大正方形，如图②.
10. 一根 70 cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是 50 cm，40 cm，30 cm 的长方体木箱中，能放进去吗？（提示：长方体的高垂直于底面的任何一条直线.）
分析：如图，连接 DC，AC 构建直角三角形，由勾股定理求出对角线 DC 的长.
拓广探索
解：如图，长方体木箱能放进木棒的最大长度应为对角线 DC 的长. 连接 DC，AC，则 AD ⊥ AC，即∠DAC = 90°.
在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，AB = 50 cm，BC = 40 cm，
由勾股定理，AC2 = AB2 + BC2 = 502 + 402 = 4100.
在 Rt△ADC 中，由勾股定理，
DC = = = = 50.
∵50> 70，
∴能放进去.
11. 公园中一长方体石凳如图所示，若一只蚂蚁以 3 cm/s 的速度 从点 M 爬到点 N，最快需要多长时间（结果保留小数点后一位）？
分析：将点 M，N 所在的面展开有 2 种情况，分别求出这 2 种情况下点 M，N 之间的距离，从而求出时间.
解：将点 M，N 所在的面展开有以下 2 种情况：
如图①，连接 MN.
由勾股定理，MN = = 20（cm）.
如图②，连接 MN.
由勾股定理，MN = = 10（cm）.
∵20< 10，
∴最快需要 20 ÷3 ≈ 24.0（s）.
12. △ABC 的三边长分别为 a，b，c，面积为 S. 利用勾股定理
（提示：设 △ABC 的边 AC 上的高为 BD，利用勾股定理
先将 CD 用三边长表示，再将 BD 用三边长表示.）
证明秦九韶公式 S=
解：设△ABC 的边 BC = a，AC = b，AB = c，边 AC 上的高为 BD，CD 的长为 x，则 AD 的长为 b－x.
由勾股定理，AB2－AD2 = BD2 = BC2－CD2 ，
即 c2－(b－x)2 = a2－x2 .
∴BD ==.
∴ S = BD ==
∴ CD = ，
解得 x = ，
作业布置
完成对应课时练习．

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