资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考数学一轮复习精讲精练
第二章 方程与不等式
2.5 方程与不等式（组）的实际应用
不等式(组)的实际应用 列不等式(组)解应用题
在实际问题中，常见的关键词与不等号的对应关系 常见关键词不等号大于，多于，超过，高于＞小于，少于，不足，低于＜至少，不低于，不小于，不少于≥至多，不高于，不大于，不超过≤
注意： 列不等式(组)解决实际问题时，要抓住问题中表示不等关系的关键词，根据关键词准确地选用不等号.另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际，挖掘题中隐含的不等关系.
■考点一 一元一次不等式的应用
◇典例1：（2025八上·杭州期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
◆变式训练
1.为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
2.某商场计划购进一批某型号冰箱和洗衣机，经投标，购买台冰箱元，购买台洗衣机元．
（1）商场根据实际情况，决定购买冰箱和洗衣机共台，要求购买的总费用不超过元，则购买冰箱最多多少台？
（2）在的条件下，购买洗衣机的台数不超过冰箱台数的倍请问有几种购买方案？
■考点二 一元一次不等式组的实际应用
◇典例1：某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元／千克，香蕉的单价为8元／千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为千克，依题意可列不等式组为（　　）
A．
B．
C．
D．
◆变式训练
1.将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友（　　）
A．7位 B．6位 C．5或6位 D．37或42位
2.某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有 　　 人．
■考点三 方程与不等式(组)的实际应用 ——销售问题
◇典例1：低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深。“低碳环保，绿色出行“成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.阳光公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利550元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利400元.
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过12400元，最多可以购买乙型自行车　 　台.
◆变式训练
1.某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克．
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
（2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克．
①若这两种水果按标价出售，求的取值范围；
②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值．
2.习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共24件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
■考点四 方程与不等式(组)的实际应用 ——工程问题
◇典例1：两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人每小时搬运的化工原料比型机器人每小时搬运的化工原料多30，型机器人搬运900所用时间与型机器人搬运600所用时间相等．
（1）求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）某化工厂有3000化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由6个型机器人搬运3小时，再增加若干个型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个型机器人？
◆变式训练
1.中国交通科技领跑世界一流水平，公路网络“四通八达”，公路养护效能高，让人们对“美好出行”的需要得到很好的满足．某一段公路的维修养护工程，有甲、乙两个工程队可供选择，承包单位发现：①若由乙队单独完成全部工程所需天数是甲队单独完成全部工程所需天数的1.5倍；②若由甲队单独施工5天后，再由甲、乙两队共同施工21天可完成剩余工程； ③若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000，且每天的工程费用甲队比乙队多2000元．
（1）求甲、乙两个工程队单独施工完成全部工程各需要多少天？
（2）从节省工程费用的角度考虑，请你从甲，乙单独施工完成与甲、乙同时进场施工完成这三种施工方案中选择一种合适的方案？并说明理由；
（3）若要使两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000元，则甲工程队至少要施工多少天？
■考点五 方程与不等式(组)的实际应用 ——租车问题
◇典例1：2.某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．
（1）若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？
（2）请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案．
◆变式训练
1.某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有A型、B型两种客车，它们的载客量和日租金如表：
车型 每辆载客量/人 每辆租金/元
A型客车 60 1000
B型客车 45 800
学校根据实际情况，计划租用A，B型两种客车共14辆.设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子完成表：
车型 车辆数/辆 载客量/人 租金/元
A 型客车 x 60x 　
B型客车 　 　 800(14-x)
（2）请问至少需租用A 型客车多少辆
（3）若要保证租车费用不超过12500元，.请问有哪几种租车方案
■考点六 方程与不等式(组)的实际应用 ——拓展类型，其他问题
◇典例1： 班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件．
（1）若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？
（2）奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和．
①此次须奖，共颁发了两种奖品 ▲ 件．（请用含的代数式表示）
②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？
◆变式训练
1.小红家开了一家糕点店，现有11kg面粉，9.4kg鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒．已知加工1盒一般糕点需0.3kg面粉和0.1kg鸡蛋；加工1盒精制糕点需0.1kg面粉和0.3kg鸡蛋．
（1）有哪几种加工方案？
（2）如果销售1盒一般糕点和1盒精制糕点的利润分别为3元和4元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？
2.某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买1本类书和2本类书共需82元；购买2本类书和1本类书共需74元．
（1）求，两类书的单价；
（2）学校准备购买，两类书共34本，且类书的数量不高于类书的数量．购买书籍的花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？
1．（2025·深圳模拟）综合实践
背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买个A款亚运盲盒、个B款亚运盲盒，共需元：若买个A款亚运盲盒、个B款亚运盲盒，共需元．
素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）：线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共个，其中A款盲盒m个（）， 若在线下商店购买，共需要______元； 若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
2．（2025·广州模拟）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了．
知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求滑动变阻器的最大电阻；
（2）由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？
3．（2025·香洲模拟）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元．
（1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？
（2）由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？
4．（2025·清新模拟）宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸）
（1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？
（2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？
5．（2025·坪山模拟）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人．此前校租用6辆大型客车，4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元．
信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车．
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用．
6．（2025·惠州模拟）“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍．
（1）求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？
（2）相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？
7．（2025·东莞模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？
8．（2025·宝安模拟）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元．
（1）求排球、足球的单价各为多少？
（2）若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元．
9．（2025·福田模拟）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
1．（2025·东莞模拟）嘉嘉坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，共消耗热量156大卡．每个动作之间的衔接时间忽略不计．
（1）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？
（2）若嘉嘉只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，嘉嘉至少要做多少个波比跳？
2．（2025·清新模拟）宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸）
（1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？
（2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？
3．（2025·汕尾模拟）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务．
背景问题 汕尾市陆河县是“中国青梅之乡”，陆河青梅外皮光滑、果大肉脆、肉多核小、含酸度高，还富含多种有机酸、维生素和微量元素，具有很高的营养价值．近年来，陆河县着力扩大话梅、蜜汁梅等成品生产．
素材1 某商场用7800元采购话梅，用6400元采购蜜汁梅．
素材2 话梅的件数是蜜汁梅件数的1.5倍，每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元．
素材3 每件话梅的售价比每件蜜汁梅的售价少40元，全部售出后，商场获利不少于7400元．
问题解决：
任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出该商场话梅和蜜汁梅各自采购的件数．
任务2 探究限定售价 按素材要求确定每件话梅的售价至少为多少元？
4．（2025·深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类，已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个总价为140元
②购买2个足球的价钱比购买一个篮球多40元
③购买5个篮球和购买6个足球花费相同
（1） 上述3个条件选择两2个，请帮助小桃小李求出每个篮球、足球多少钱？
（2） 现在想要购买篮球、足球共10个，足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费的总费用最少，最少是多少？
5．（2025·清新模拟）某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货．
（1）每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少？
（2）该公司决定使用台A型无人机（）和台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送：
①求满足条件的，值；
②若A型无人机运费为40元／次，B型无人机运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？
6．（2025·潮南模拟） 为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根，①求共有几种购买方案；②比较哪一种购买方案更省钱．
7．（2025·深圳模拟）据以下素材，探索完成任务．
如何设计销售方案？
素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元．
素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．
问题解决
任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题： ▲ （用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润．
8．（2025·平武模拟）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
9．（2025·惠城模拟）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备 A型 B型
价格（万元/台） m
月处理污水量（吨/台） 200 180
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
2026年中考数学一轮复习精讲精练
第二章 方程与不等式
2.5 方程与不等式（组）的实际应用
不等式(组)的实际应用 列不等式(组)解应用题
在实际问题中，常见的关键词与不等号的对应关系 常见关键词不等号大于，多于，超过，高于＞小于，少于，不足，低于＜至少，不低于，不小于，不少于≥至多，不高于，不大于，不超过≤
注意： 列不等式(组)解决实际问题时，要抓住问题中表示不等关系的关键词，根据关键词准确地选用不等号.另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际，挖掘题中隐含的不等关系.
■考点一 一元一次不等式的应用
◇典例1：（2025八上·杭州期中）学校购进单价分别为5元和7元的两种笔记本共50本作为奖品发放给学生，要求种笔记本的数量不多于种笔记本数量的3倍，不少于种笔记本数量的2倍，则不同的购买方案种数为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】B
【解析】【解答】解：设购买A笔记本的数量为x本，则B笔记本的数量为(50-x)本，则由题意得：
，解得，x为整数，可取值34，35，36，37，即有4种购买方案.
故答案：B.
【分析】设A笔记本的数量为x，则B笔记本的数量为(50-x)，由题意列出不等式组，求解不等式组即可得x的范围，即知方案.
◆变式训练
1.为了举行班级晚会，小张同学准备去商店购买20个乒乓球做道具，并买一些乒乓球拍做奖品．已知乒乓球每个1.5元，球拍每个25元，如果购买金额不超过200元，且买的球拍尽可能多，那么小张同学应该买的球拍的个数是（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【解析】【解答】解：设小张同学应该买的球拍的个数为x个，
根据题意得20×1.5+25x≤200，
解得x≤6.8.
所以x的最大整数值为6.
所以小张同学应该买的球拍的个数是6个，
故答案为：B.
【分析】先计算购买20个乒乓球的费用，再用总金额减去乒乓球费用得到剩余金额，然后计算最多能购买的球拍个数，最后验证各选项的总金额是否符合要求.
2.某商场计划购进一批某型号冰箱和洗衣机，经投标，购买台冰箱元，购买台洗衣机元．
（1）商场根据实际情况，决定购买冰箱和洗衣机共台，要求购买的总费用不超过元，则购买冰箱最多多少台？
（2）在的条件下，购买洗衣机的台数不超过冰箱台数的倍请问有几种购买方案？
【答案】（1）解：设购买台冰箱，则购买台洗衣机，
根据题意得：，
解得：，
的最大值为．
答：购买冰箱最多台；
（2）解：根据题意得：，
解得：，
又，且为正整数，
可以为，，，
共有种购买方案．
答：共有种购买方案．
方案1：购买冰箱38台，洗衣机62台；
方案2：购买冰箱39台，洗衣机61台；
方案3：购买冰箱40台，洗衣机60台
【解析】【分析】（1）基本关系：金额=单价×数量，设购买冰箱x台，则购买洗衣机（100-x)台，根据购买的总费用不超过96000元列一元一次不等式求解；
（2）根据购买洗衣机的台数不超过冰箱台数的1.7倍列得，进而求出，即可得到x的正整数解，由此得到购买方案。
■考点二 一元一次不等式组的实际应用
◇典例1：某水果店要购进苹果和香蕉两种水果，苹果的单价为15元／千克，香蕉的单价为8元／千克．已知购买香蕉的质量比购买苹果的质量的3倍少4千克．如果购买苹果和香蕉的总质量不少于40千克，且购买这两种水果的总费用少于500元，设购买苹果的质量为千克，依题意可列不等式组为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【解答】解：设购买苹果的质量为千克，则购买香蕉的质量为(3x-4)千克
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设购买苹果的质量为千克，则购买香蕉的质量为(3x-4)千克，根据题意建立不等式组即可求出答案.
◆变式训练
1.将一箱苹果分给若干位小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个，则有小朋友（　　）
A．7位 B．6位 C．5或6位 D．37或42位
【答案】C．
【解析】【解答】解：设有x位小朋友，则共有（5x+12）个苹果，
依题意得：，
解得：4＜x，
又∵x为整数，
∴x＝5或6．
故选：C．
【分析】设有x位小朋友，则共有（5x+12）个苹果，根据“若每位小朋友分8个苹果，则有一位小朋友分到了苹果但不足8个”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为整数，即可得出结论．
2.某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余10人无宿舍住；若每间住6人，则有一间宿舍不空也不满，该班住宿生有 　　 人．
【答案】34或38．
【解析】【解答】解：设安排住宿的房间有x间，则学生有（4x+10）人，
根据题意得：，
解得：5.5≤x≤7.5，
又因为x只能取正整数，
所以x＝6或x＝7，
当x＝6时，4×6+10＝34（人），
当x＝7时，4×7+10＝38（人），
故答案为：34或38．
【分析】设安排住宿的房间有x间，则学生有4x+10人，根据“每间住4人，则还余10人无宿舍住和；每间住6人，则有一间宿舍不空也不满”列不等式组解答即可．
■考点三 方程与不等式(组)的实际应用 ——销售问题
◇典例1：低碳生活已是如今社会的一种潮流形式，人们的环保观念也在逐渐加深。“低碳环保，绿色出行“成为大家的生活理念，不少人选择自行车出行.阳光公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中甲型自行车进货价格为每台500元，乙型自行车进货价格为每台800元.该公司销售3台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利550元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利400元.
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？
（2）为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的自行车共20台，且资金不超过12400元，最多可以购买乙型自行车　 　台.
【答案】（1）设阳光公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为x，y元，
根据题意得，，
解得：
答：该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为150，100元；
（2）8
【解析】【解答】解：（2）设购买乙型自行车m台，则购买甲型自行车（20-m）台，
根据题意得：500（20-m）+800m≤12400，
解得m≤8.
∴ 最多可以购买乙型自行车8台.
【分析】（1）设阳光公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润分别为x，y元，根据“ 销售3台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利550元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利400元”列出二元一次方程组并解之即可；
（2）设购买乙型自行车m台，则购买甲型自行车（20-m）台，根据“ 资金不超过12400元 ”列出不等式并求解即可.
◆变式训练
1.某商店销售A，B两种水果．A水果标价14元／千克，B水果标价18元／千克．
（1）小明陪妈妈在这家商店按标价买了A，B两种水果共3千克，合计付款46元．这两种水果各买了多少千克？
（2）妈妈让小明再到这家商店买两种水果，要求B水果比A水果多买1千克，合计付款不超过50元．设小明买A水果千克．
①若这两种水果按标价出售，求的取值范围；
②小明到这家商店后，发现两种水果正在进行优惠活动：A水果打七五折；一次购买B水果不超过1千克不优惠，超过1千克后，超过1千克的部分打七五折．（注：“打七五折”指按标价的出售．）若小明合计付款48元，求的值．
【答案】（1）解：设购买A种水果x千克，B种水果y千克，
依题意得：，
解得：．
答：购买A种水果2千克，B种水果1千克．
（2）解：①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：，
∴结合实际可得：；
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，
∴，
解得：.
【解析】【分析】（1）设购买A种水果x千克，B种水果y千克，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
（2）①设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
②设小明买A水果千克，则B种水果购买了千克，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
2.习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同．
（1）求购1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？
（2）若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共24件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？
【答案】（1）解：设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验：是所列方程的解且符合题意，
．
答：甲种农机具一件需4.2万元，乙种农机具一件需3万元；
（2）解：设甲种农机具购买a件，则乙农机购买件，根据题意得：
，
解得：，
∵a为正整数，
∴甲种农机具最多能购买6件．
【解析】【分析】（1）设乙种农机具一件需x万元，则甲种农机具一件需万元，根据用14万元购买甲种农机具的数量和用10万元购买乙种农机具的数量相同，列出方程，解方程即可；
（2）设甲种农机具购买a件，则乙农机购买件，根据购买的总费用不超过万元，列出不等式，解不等式即可．
■考点四 方程与不等式(组)的实际应用 ——工程问题
◇典例1：两种机器人都被用来搬运化工原料，型机器人每小时搬运的化工原料比型机器人每小时搬运的化工原料多30，型机器人搬运900所用时间与型机器人搬运600所用时间相等．
（1）求两种机器人每小时分别搬运多少化工原料？
（2）某化工厂有3000化工原料需要搬运，要求搬运所有化工原料的时间不超过5小时，现计划先由6个型机器人搬运3小时，再增加若干个型机器人一起搬运，请问至少要增加多少个型机器人？
【答案】解：设型机器人每小时搬运化工原料，则型机器人每小时搬运化工原料，根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（），
∴型机器人每小时搬运化工原料90，型机器人每小时搬运化工原料60
（2）（2）
设增加个型机器人，根据题意得：，
解得：，
又∵为正整数，
∴的最小值为7，
∴至少要增加7个型机器人
【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，需要找准“时间、工作量、工作效率”的关系，解后检验；一元一次不等式应用需明确不等关系，求出解集后取符合实际的最小整数解.
（1）设型机器人每小时搬运，则型每小时搬运，根据时间相等列分式方程，解得x=60，再检验即可.
（2）设增加个型机器人，利用工作总量工作效率工作时间，结合5个小时的工作总量不低于3000，列不等式，解得，结合实际至少7个.
◆变式训练
1.中国交通科技领跑世界一流水平，公路网络“四通八达”，公路养护效能高，让人们对“美好出行”的需要得到很好的满足．某一段公路的维修养护工程，有甲、乙两个工程队可供选择，承包单位发现：①若由乙队单独完成全部工程所需天数是甲队单独完成全部工程所需天数的1.5倍；②若由甲队单独施工5天后，再由甲、乙两队共同施工21天可完成剩余工程； ③若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000，且每天的工程费用甲队比乙队多2000元．
（1）求甲、乙两个工程队单独施工完成全部工程各需要多少天？
（2）从节省工程费用的角度考虑，请你从甲，乙单独施工完成与甲、乙同时进场施工完成这三种施工方案中选择一种合适的方案？并说明理由；
（3）若要使两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000元，则甲工程队至少要施工多少天？
【答案】解：（1）设甲施工队单独完成此项工程需x天，则乙施工队单独完成此项工程需1.5x天．
根据题意得21 （）＝1．
解这个方程得x＝40．
经检验x＝40是所列方程的解．
∴当x＝40时，1.5x＝60．
答：甲工程队单独施工完成全部工程各需要40天，乙工程队单独施工完成全部工程各需要60天；
（2）方案为：选甲工程队单独施工完成．
理由如下：由题意可得两队同时进场施工完成全部工程所需要的天数为1÷（）＝24（天），
设乙队每天工程费用为a元，则甲乙队每天工程费用为（a+2000）元，
由题意得24 （a+a+2000）＝384000，
解得a＝7000，a+2000＝9000，
∴甲队完成全部工程费用为9000×40＝360000（元），乙完成全部工程费用为7000×60＝420000（元），
又两队同时进场施工完成全部工程共需要工程费用384000元，
∵360000＜384000＜420000，
∴选甲工程队单独施工完成；
（3）设甲工程队要施工y天，则乙工程队要施工（1）天才能完成全部工程，
由题意得9000y+7000 （1）378000，
解得y≥28，
答：甲工程队至少要施工28天．
【分析】（1）设甲施工队单独完成此项工程需x天，依据等量关系列方程求解．等量关系为：甲26天的工作总量+乙21天的工作总量＝1；
（2）先根据“若由两队同时进场施工完成全部工程，共需要工程费用384000”求出甲乙队每天工程的费用，进而求出甲乙队完成全部工程的费用，比较即可得到结论；
（3）设甲工程队要施工y天，则乙工程队要施工（1）天才能完成全部工程，根据两个工程队完成全部工程施工总费用不超过378000列出不等式，解不等式即可得到结论．
■考点五 方程与不等式(组)的实际应用 ——租车问题
◇典例1：2.某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元．
（1）若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？
（2）请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案．
【答案】（1）解：设租36座的车辆，
，
解得：．
是整数，
，
（人），
答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游
（2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元，
方案②：租42座车7辆的费用：元，
方案③：，余下人数正好座一辆36座的，
∴
=2640+400
=3040（元），
，
租42座车6辆和36座车1辆最省钱
【解析】【分析】（1）设租36座的车辆，则租42座的客车辆，根据题意列出不等式组即可；
（2）分三种方案进行讨论①只租36座客车，②只租42座客车，③合租两种车，再进一步比较得到结论即可．
◆变式训练
1.某中学八年级共有师生698名，计划包车到研学基地参加社会实践活动，某长运公司有A型、B型两种客车，它们的载客量和日租金如表：
车型 每辆载客量/人 每辆租金/元
A型客车 60 1000
B型客车 45 800
学校根据实际情况，计划租用A，B型两种客车共14辆.设租用A型客车x辆，根据要求回答下列问题：
（1）用含x的式子完成表：
车型 车辆数/辆 载客量/人 租金/元
A 型客车 x 60x 　
B型客车 　 　 800(14-x)
（2）请问至少需租用A 型客车多少辆
（3）若要保证租车费用不超过12500元，.请问有哪几种租车方案
【答案】（1）解：由题意可得， 填表如下：
车型 车辆数/辆 载客量/人 租金/元
A型客车 x 60x 1000x
B型客车 14-x 45(14-x) 800(8-x)
（2）解：∵A型车载客量为60x人， B型车载客量为45(14-x) 人， 由题意得：
∴60x+45 (14-x)≥698
解得：
答：至少租A型客车5辆.
（3）解：∵A型车租金为1000x元， B型车租金800(14-x) 元， 由题意得：
∴1000x+800 (14-x)≤12500，
∴x≤6.5
∴ 结合(2) 可得：
∴ x的整数解为 x=5，x=6
答：有两个方案，分别为：方案一：A车5辆 B车9辆
方案二：A 车6辆 B车8辆
【解析】【分析】(1)分别根据车辆数量与载客量、价格分别表示出相应的代数式；
(2)由题意列出不等式1000x+800 (14-x)≤12500，求解不等式可得x的值，即得两个方案.
■考点六 方程与不等式(组)的实际应用 ——拓展类型，其他问题
◇典例1： 班级为表彰表现优秀的同学，购买了A，B两种奖品若干件，且A，B两种奖品的数量之比为．设购买A种奖品共（为正整数）件．
（1）若最初购买的奖品总数不超过100件，求A种奖品最多买了几件？
（2）奖品颁发完毕后，发现A，B两种奖品分别还剩余原来的和．
①此次须奖，共颁发了两种奖品 ▲ 件．（请用含的代数式表示）
②若全班45位同学均有获得一种或两种奖品，且同时获得A，B两种奖品的人数不超过30人，求全班有几位同学获得了B种奖品？
【答案】（1）解：设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，
根据题意得：，
解得：，
又∵x为正整数，
∴x的最大值为7，
∴（件）．
答：A种奖品最多买了35件
（2）解：①设购买A种奖品共（x为正整数）件，则购买B种奖品共（x为正整数）件，
∴此次颁奖，共颁发了A，B两种奖品（件）．
故答案为：；
②根据题意得：，
解得：，
即，
又∵x，均为正整数，
∴，
∴．
答：全班有36位同学获得了B种奖品
【解析】【分析】(1)设A购买5x件，则B购买8x件，由题意列出不等式，求解不等式即可；
(2)①分别求出颁发的A、B两种奖品数量即可得总数；
②由题意分别列出不等式，求解不等式组，即可得x的取值，由此可得获得B奖品的人数.
◆变式训练
1.小红家开了一家糕点店，现有11kg面粉，9.4kg鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共50盒．已知加工1盒一般糕点需0.3kg面粉和0.1kg鸡蛋；加工1盒精制糕点需0.1kg面粉和0.3kg鸡蛋．
（1）有哪几种加工方案？
（2）如果销售1盒一般糕点和1盒精制糕点的利润分别为3元和4元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】解：（1）设加工一般糕点x盒，则加工精制糕点（50﹣x）盒，
根据题意，得，
解得：28≤x≤30，
∵x为整数，
∴x可取28，29，30，
因此加工方案有三种：①加工一般糕点28盒，精制糕点22盒；
②加工一般糕点29盒，精制糕点21盒；
③加工一般糕点30盒，精制糕点20盒；
（2）由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点28盒、精制糕点22盒时，可获得最大利润，最大利润为28×3+22×4＝172（元），
答：当加工一般糕点28盒、精制糕点22盒时，可获得最大利润，最大利润为172．
【分析】（1）根据“现有11kg面粉，9.4kg鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断出符合条件的方案即可；
（2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可．
2.某学校初二年级党支部组织“品读经典，锤炼党性”活动，需要购买不同类型的书籍给党员老师阅读．已知购买1本类书和2本类书共需82元；购买2本类书和1本类书共需74元．
（1）求，两类书的单价；
（2）学校准备购买，两类书共34本，且类书的数量不高于类书的数量．购买书籍的花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？
【答案】（1）解：设类书的单价为元，类书的单价为元，
依题意得：，
解得：．
答：类书的单价为22元，类书的单价为30元．
（2）解：设购买类书本，则购买类书本，
依题意得：，
解得：．
又∵为正整数，
∴可以为15，16，17，
学校共有3种购买方案：
方案1：购买类书15本，类书19本；
方案2：购买类书16本，类书18本；
方案3：购买类书17本，类书17本．
【解析】【分析】(1)设A类书的单价为x元，B类书的单价为y元，根据“购买1本A类书的费用+2本B类书的费用=82元；购买2本A类书的费用+1本B类书的费用=74元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可求解；
(2)设购买A类书m本，则购买B类书(34-m)本，根据“购买A类书的数量不高于B类书的数量，购买书籍的花费不得高于900元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可求出各购买方案．
1．（2025·深圳模拟）综合实践
背景 亚运会期间，小明所在的班级开展知识竞赛，需要去商店购买A、B两种款式的亚运盲盒作为奖品．
素材1 某商店在无促销活动时，若买个A款亚运盲盒、个B款亚运盲盒，共需元：若买个A款亚运盲盒、个B款亚运盲盒，共需元．
素材2 该商店龙年迎新春促销活动：用元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）：线上淘宝店促销活动：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售且包邮．
问题解决
任务1 某商店在无促销活动时，求A款亚运盲盒和B款亚运盲盒的销售单价各是多少元？
任务2 小明计划在促销期间购买A、B两款盲盒共个，其中A款盲盒m个（）， 若在线下商店购买，共需要______元； 若在线上淘宝店购买，共需要______元．（均用含m的代数式表示）
任务3 请你帮小明算一算，在任务2的条件下，购买A款盲盒的数量在什么范围内时，线下购买方式更合算？
【答案】解：任务1：设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒单价为元，
根据题意得，解得，
答：该商店在无促销活动时，A款亚运盲盒单价为元，B款亚运盲盒单价为元；
任务2：；
任务3：由题意可得，
解得：，
答：购买A款盲盒的数量在范围内时，线下购买方式更合算．
【解析】【解答】解：任务2：若在线下商店购买，共需要元，
若在线上淘宝店购买，共需要元；
【分析】任务1：设A款盲盒销售单价为元，B款盲盒单价为元，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
任务2：根据线上和线下销售活动规则分别建立代数式即可求出答案.
任务3：根据题意建立不等式组，解不等式组即可求出答案.
2．（2025·广州模拟）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了．
知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求滑动变阻器的最大电阻；
（2）由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？
【答案】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是．
由题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
答：滑动变阻器的最大电阻为。
（2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．由题意知：
，
解得：，
总费用，
即，
∵，
∴y随m的增大而减小．
∵m是整数，
∴当时，y最小，此时，（元），
答：学校买这批仪器至少要花费670元。
【解析】【分析】（1）设滑动变阻器最大电阻为，根据“若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了0.1A”，由此可建立方程：，然后解方程，求出x的值，最后再将x的值代入原式中进行验证即可。
（2）设购买电流表个，总花费为元，则购买滑动变阻器个．根据“滑动变阻器数量不少于电流表数量的倍”，建立不等式：，求出m的解集，然后再根据，最后再对该式子进行整理，然后再根据一次函数的性质，即可求出y的最小值。
3．（2025·香洲模拟）为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元．
（1）求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？
（2）由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？
【答案】（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元
由题意得：
解得：
答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元．
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个．
由题意得：，
又取正整数，
可取5，6
当时，匹克球数量为：个；
当时，匹克球数量为：个．
答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个．
【解析】【分析】
（1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组可列关于x、y的方程组，解方程组即可求解；
（2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列关于m的不等式组，解不等式组即可求解．
4．（2025·清新模拟）宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸）
（1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？
（2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？
【答案】（1）解：设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣张，由题意得：．
解得．
检验，是原分式方程的解，且符合题意．
∴．
答：该工厂的工人平均每天生产熟宣500张，该工厂的工人平均每天生产生宣1000张．
（2）解：设最多生产熟宣a张．由题意得：．
解得．
∴最多生产熟宣2000张．
答：最多生产熟宣2000张．
【解析】【分析】（1）设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣张，根据生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天，可列出方程．并进行求解、检验即可；
（2）设最多生产熟宣a张，根据 生产工期不超过12天 ，列出不等式．求解即可．
5．（2025·坪山模拟）坪山区某校积极响应《每周半天计划》相关文件精神，计划组织全校师生开展户外研学，该校某数学兴趣小组就租车问题展开了调查研究，取得了如下信息：
信息1 大型客车载客量为50人，中型客车载客量为30人．此前校租用6辆大型客车，4辆中型客车花费4400元；校租用4辆大型客车，8辆中型客车花费4800元．
信息2 该校六年级师生共460人，租车费用的预算为4900元，拟租用10辆车．
任务1 一辆大型客车和一辆中型客车的租金分别为多少元？
任务2 若要控制租车费用在预算范围内，在保证10辆车一次性将六年级师生全部送达目的地的前提下，请写出所有的租车方案，并求出花费最少的方案比预算节省的费用．
【答案】任务一：解：设一辆大型客车的租金为元，一辆中型客车的租金为元．根据题意得：
解得
所以一辆大型客车的租金为500元，一辆中型客车的租金为350元．
任务二：解：设租用辆大型客车，租用辆中型客车．根据题意得：
解得
为正整数，所以可以为8或9．
方案一：租8辆大型客车，2辆中型客车
方案二：租9辆大型客车，1辆中型客车．
方案一的费用为：（元）
方案二的费用为：（元）
方案一的花费最少，比预算节省200元．
【解析】【分析】本题主要考查二元一次方程组和不等式组的实际应用，并分析选择最优方案。
任务一，结合信息1中的条件，累出二元一次方程组，分别求出x和y的值即可；
任务二，结合任务一的计算结果和信心2，列出不等式组，求出m的取值范围后，即可得出m只有8和9两个整数可以取，因此分别分析并计算即可。
6．（2025·惠州模拟）“绿水青山就是金山银山”，为了绿色发展，某林场计划购买甲、乙两种树苗，已知购买一株甲种树苗的进价比一株乙种树苗的进价少3元，用3000元购进甲种树苗的数量是用3200元购进乙种树苗的数量的1.5倍．
（1）求每株甲种树苗，每株乙种树苗的进价分别为多少元？
（2）相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为和．为保证绿化效果，林场决定再购买甲、乙两种树苗共100株．若要使这批树苗的成活率不低于，且购买树苗的总费用最低，应如何选购树苗？
【答案】（1）解：设每株甲种树苗的进价为x元，则乙种树苗的进价为元，根据题意有：，
解得：
经检验，是分式方程的解，
∴，
∴每株甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元．
（2）解：设应购买乙种树苗m棵，则甲种数树苗为棵，根据题意有：，
解得：，
∵甲种树苗的进价为5元，则乙种树苗的进价为8元，
∴乙种树苗购买的数量越小，总费用越低，
故应选择购买乙种树苗60棵．购买甲种树苗40棵．
【解析】【分析】本题主要分式方程的实际应用以及一元一次不等式的应用进行考查．
（1）设每株甲种树苗的进价为x元，所以乙种树苗进价为元，根据题意列分式方程为解得，所以每株甲种树苗进价为5元，乙种树苗的进价为8元．
（2）设购买乙种树苗m棵，则甲种树苗为棵，列的不等式方程，解得，所以应买乙种树苗60棵．甲种树苗40棵．
7．（2025·东莞模拟）小亮坚持体育锻炼，并用某种健身软件进行记录．小亮周六进行了两组运动，第一组安排30个深蹲，20个开合跳，健身软件显示消耗热量34千卡；第二组安排20个深蹲，40个开合跳，健身软件显示两组运动共消耗热量70千卡．
（1）小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗多少热量？
（2）小亮想设计一个10分钟的锻炼组合，只进行深蹲和开合跳两个动作，且深蹲的数量不少于开合跳的数量．每个深蹲用时4秒，每个开合跳用时2秒，小亮安排多少个深蹲消耗的热量最多？
【答案】（1）解：设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，
由题意得：，
解得：，
答：小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗0.8千卡，0.5千卡热量．
（2）解：设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为：，由题意得：，
解得：，
设消耗的热量为W千卡，
则，
∵，
∴W随a的增大而减小，
∴当时，即取得最大值为：，
答：小亮安排100个深蹲消耗的热量最多．
【解析】【分析】
（1）设小亮每做一个深蹲和一个开合跳分别消耗x千卡，y千卡热量，由题意列方程组，计算求解即可解答；
（2）设小亮安排a个深蹲，则安排开合跳的个数为，由题意得到，设消耗的热量为W千卡，由此列式，根据一次函数W随a的增大而减小，当时可得最大值，即可求解．
8．（2025·宝安模拟）深圳某校为了提升学生体质，丰富体育活动，计划购买若干个排球、足球，已知每个足球比排球贵元．花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，其中，排球单价不低于元．
（1）求排球、足球的单价各为多少？
（2）若排球、足球共买个，购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的，张老师带了元，请你判断张老师带的钱够不够，如果不够，最少还差多少元．
【答案】（1）解：设排球的单价为元，则足球的单价为元，
依题意得，，
解得（不符合题意，舍去），，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
∴，
答：排球的单价为元，足球的单价为元；
（2）解：设学校购买个足球，则购买个排球，
依题意得，，
解得，
设费用为元，
由题意得，，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当时，的值最小，，
∵，，
∴张老师带的钱不够，最少还差元，
答：张老师带的钱不够，最少还差元．
【解析】【分析】（）设排球的单价为元，则足球的单价为元，根据花费元购买的排球数量比花费元购买的足球数量少个，可列出方程，解方程并进行检验，即可得出答案；
（）设学校购买个足球，则购买个排球，根据 购买足球的个数不低于排球个数的不高于排球个数的， 列出不等式组，求出的取值范围，设费用为元，再求出与的一次函数关系，最后根据一次函数的性质即可解答；
9．（2025·福田模拟）金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车油箱容积：40升，油价：9元/升，续航里程：a千米，每千米行使费用：元； 新能源车电池电量：100千瓦时，电价：0.6 元/干瓦时，续航里程：a千米，每千米行驶费用： 元．
（1）用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
（2）若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.5元．
①分别求出这两款车的每千米行驶费用．
②若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为4800元和7500元，问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？（年费用年行驶费用年其它费用）
【答案】（1）解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：（元），
即新能源车的每千米行驶费用为元；
（2）解：①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得：，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【解析】【分析】（1）根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
（2）①根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，解方程即可求出答案.
②根据题意，可以列出相应的不等式，解不等式即可求出答案.
1．（2025·东莞模拟）嘉嘉坚持每天做运动．已知某两组运动都由波比跳和深蹲组成，每个波比跳耗时5秒，每个深蹲也耗时5秒．运动软件显示，完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，共消耗热量156大卡．每个动作之间的衔接时间忽略不计．
（1）每个波比跳和每个深蹲各消耗热量多少大卡？
（2）若嘉嘉只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，嘉嘉至少要做多少个波比跳？
【答案】解：（1）设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡，
依题意得： ，
解得： ．
答：每个波比跳消耗热量5大卡，每个深蹲消耗热量0.8大卡．
（2）设要做m个波比跳，则要做（120﹣m）个深蹲，
依题意得：5m+0.8（120﹣m）≥200，
解得：m≥24 ．
又∵m为整数，
∴m的最小值为25．
答：嘉嘉至少要做25个波比跳．
【解析】【分析】（1）设每个波比跳消耗热量x大卡，每个深蹲消耗热量y大卡，根据“完成第一组运动，嘉嘉做了20个波比跳和40个深蹲，共消耗热量132大卡；完成第二组运动，嘉嘉做了20个波比跳和70个深蹲，”列出方程组，解方程组即可求出答案.
（2）设要做m个波比跳，则要做（120﹣m）个深蹲，根据“只做波比跳和深蹲两个动作，花10分钟，消耗至少200大卡，”列出不等式，解不等式即可求出答案.
2．（2025·清新模拟）宣纸是中国古典书画用纸，是中国传统造纸工艺之一，享有“千年寿纸”的美誉，被誉为“国宝”．某宣纸厂计划生产生宣和熟宣共1万张．已知该工厂的工人平均每天生产生宣的数量是生产熟宣数量的2倍，生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天．（该工厂每天不能同时生产两种纸）
（1）求该工厂的工人平均每天生产生宣和熟宣各多少张？
（2）若生产工期不超过12天，则最多生产熟宣多少张？
【答案】（1）解：设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣张，由题意得：．
解得．
检验，是原分式方程的解，且符合题意．
∴．
答：该工厂的工人平均每天生产熟宣500张，该工厂的工人平均每天生产生宣1000张．
（2）解：设最多生产熟宣a张．由题意得：．
解得．
∴最多生产熟宣2000张．
答：最多生产熟宣2000张．
【解析】【分析】（1）设该工厂的工人平均每天生产熟宣x张，则该工厂的工人平均每天生产生宣张，根据生产700张熟宣比生产400张生宣多用1天，可列出方程．并进行求解、检验即可；
（2）设最多生产熟宣a张，根据 生产工期不超过12天 ，列出不等式．求解即可．
3．（2025·汕尾模拟）【综合与实践】根据以下素材，完成探究任务．
背景问题 汕尾市陆河县是“中国青梅之乡”，陆河青梅外皮光滑、果大肉脆、肉多核小、含酸度高，还富含多种有机酸、维生素和微量元素，具有很高的营养价值．近年来，陆河县着力扩大话梅、蜜汁梅等成品生产．
素材1 某商场用7800元采购话梅，用6400元采购蜜汁梅．
素材2 话梅的件数是蜜汁梅件数的1.5倍，每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元．
素材3 每件话梅的售价比每件蜜汁梅的售价少40元，全部售出后，商场获利不少于7400元．
问题解决：
任务1 确定产品数量 请运用所学知识，求出该商场话梅和蜜汁梅各自采购的件数．
任务2 探究限定售价 按素材要求确定每件话梅的售价至少为多少元？
【答案】解：任务1，设该商场采购蜜汁梅的件数为件，则采购话梅的件数为件，
依据题意，得，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴，
∴该商场采购蜜汁梅的件数为40件，则采购话梅的件数为60件；
任务2，设每件话梅的售价为m元，
由（1）得蜜汁梅的进价为（元），
∴话梅的进价为（元），
根据题意，得，
解得：．
∴每件话梅的售价至少为200元．
【解析】【分析】任务1：设该商场采购蜜汁梅的件数为件，则采购话梅的件数为件，根据“ 用7800元采购话梅，用6400元采购蜜汁梅，且每件话梅的进价比每件蜜汁梅的进价少30元”列出关于的分式方程，解方程并检验即可求解；
任务2：设每件话梅的售价为m元，结合（1）的结论求出蜜汁梅和话梅的进价，然后根据“商场获利不少于7400元”列出关于的不等式，解不等式即可求解．
4．（2025·深圳）某学校采购体育用品，需要购买三种球类，已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如表：
①篮球、足球、排球各买一个总价为140元
②购买2个足球的价钱比购买一个篮球多40元
③购买5个篮球和购买6个足球花费相同
（1） 上述3个条件选择两2个，请帮助小桃小李求出每个篮球、足球多少钱？
（2） 现在想要购买篮球、足球共10个，足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费的总费用最少，最少是多少？
【答案】（1）解：设每个篮球x元，每个足球y元
（三个方程组任选一种即可）
解得：
答：每个篮球60元，每个足球50元.
（2）解：设篮球有m个，则足球有(10-m)个
解得：
设购买的总费用是W元
随着m的减小而减小
当m最小值为4时，W最小值为540元
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少.
【解析】【分析】(1)设篮球和足球的价格，由条件可列3个方程组，解其中一个方程组即可得结果；
设篮球有m个，则足球有10-m个，由题意列不等式可得m的范围，求出费用与m的函数关系，可得当m=4时，费用最少.
5．（2025·清新模拟）某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用A，B两种型号的无人机运送．已知每台A型无人机的单次最高载货量比每台B型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，A型无人机共载货，B型无人机共载货．
（1）每台A型无人机和B型无人机的单次最高载货量分别是多少？
（2）该公司决定使用台A型无人机（）和台B型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送：
①求满足条件的，值；
②若A型无人机运费为40元／次，B型无人机运费为30元／次．为了节省成本，该公司应使用两种型号的无人机各多少台？
【答案】（1）解：设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，
由题意可得，解得，
经检验，是所列方程的根，且符合题意，
∴，
答：每台A型号无人机单次最高载货量为，每台B型号无人机单次最高载货量为.
（2）解：∵，且，m、n为整数，
∴或；
②当，时，（元），
当，时，（元），
∵，
答：该公司应使用4台A型号无人机，4台B型号无人机．
【解析】【分析】（1）设每台A型号无人机的单次最高载货量为，则B型无人机的单次最高载货量为，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）①根据题意得，再根据m的取值范围求解即可；
②根据①的结论，分别求出两种方案的总费用进行比较即可．
6．（2025·潮南模拟） 为了让学生加强体育锻炼，增强体质，2022版新课标中，体育与健康的课时占比将提高到10%~11%．某学校积极行动，给各班购买跳绳和毽子作为活动器材．已知购买3根跳绳和5个毽子共需41元；购买6根跳绳和4个毽子共需58元．
（1）求购买一根跳绳和一个毽子分别需要多少元；
（2）某班需要购买跳绳和毽子的总数量是54，且购买的总费用不超过300元，若要求购买跳绳的数量多于25根，①求共有几种购买方案；②比较哪一种购买方案更省钱．
【答案】（1）解：设购买一根跳绳需要x元，购买一个毽子需要y元，则根据题意有，
，
①×2-②有6y=24，解得y=4.
将y=4代入①式，解得x=7.
故购买一根跳绳需要7元，购买一个毽子需要4元.
（2）解：设购买m根跳绳，n个毽子，则根据题意有，
，
结合①、②式有3m≤84，即m≤28.
再结合③式，有25＜m≤28，即m=26，或27，或28.
因此，共有3种购买方案：
方案①购买26根跳绳，以及28个毽子，总费用26×7+28x4=294元；
方案②购买27根跳绳，以及27个毽子，总费用27x7+27x4=297元；
方案③购买28根跳绳，以及26个毽子，总费用28x7+26x4=300元.
所以选择方案①，更省钱.
【解析】【分析】（1）根据等量关系“跳绳数量x跳绳单价+毽子数量x毽子单价=总费用”列出二元一次方程组并求解即可；
（2）根据题意解出关于m的不等式组，然后结合m是正整数的条件，推算出m可能的取值情况，以及设计出对应的购买方案，根据方案的费用选择最省钱的.
7．（2025·深圳模拟）据以下素材，探索完成任务．
如何设计销售方案？
素材1 互联网时代，越来越多大山里的农产品，能够通过丰富多元的网络渠道走出大山、远销全国各地．直播助销就是运用“互联网”的一种销售方式．小明为当地特色花生与茶叶两种产品助销．已知每千克花生的售价比每千克茶叶的售价低40元．
素材2 销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同．
素材3 花生的成本为6元/千克，茶叶的成本为36元/千克，小明计划两种产品共助销60千克，总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍．
问题解决
任务1 假设每千克茶叶的售价为元/千克，每千克花生的售价为元/千克，请协助解决右边问题． 问题： ▲ （用含的代数式表示）
任务2 基于任务1的假设和素材2的条件，请尝试求出茶叶和花生的售价．
任务3 【拟定设计方案】请结合素材3中的信息，求出在此次助销活动中，哪种方案（分别销售花生、茶叶多少千克）可使商家获得最大利润．
【答案】任务1：（）
任务2：根据题意得：，
解得：，
（）（元），
答：每千克茶叶50元，每千克花生10元；
任务3：设花生销售千克，茶叶销售（60－m）千克获利最大，利润元，
由题意得：，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
当时，利润最大，
此时花生销售30千克，茶叶销售60－30千克，
当花生销售30千克，茶叶销售30千克时利润最大
【解析】【分析】 （1）利用花生的售价=茶叶的售价-40，即可用含x的代数式表示出y值；
（2）由（1）的结论，结合销售50千克花生与销售10千克茶叶的总售价相同，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（3）设小明助销m千克茶叶，则助销（60-m）千克花生，根据“总成本不高于1260元，且花生的数量不高于茶叶数量的2倍”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，设在此次助销活动中商家获得的总利润为w元，利用总利润=每千克的销售利润×销售数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题.
8．（2025·平武模拟）为了抓住梵净山文化艺术节的商机，某商店决定购进A、B两种艺术节纪念品．若购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元．
（1）求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？
（2）若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元，那么该商店共有几种进货方案？
（3）若销售每件A种纪念品可获利润20元，每件B种纪念品可获利润30元，在第（2）问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？
【答案】解：（1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，根据题意得方程组得：，
解方程组得：，
∴购进一件A种纪念品需要100元，购进一件B种纪念品需要50元；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个，
∴，
解得：50≤x≤53，
∵x 为正整数，
∴共有4种进货方案；
（3）因为B种纪念品利润较高，故B种数量越多总利润越高，
因此选择购A种50件，B种50件．
总利润=50×20+50×30=2500（元）
∴当购进A种纪念品50件，B种纪念品50件时，可获最大利润，最大利润是2500元．
【解析】【分析】 （1）设该商店购进一件A种纪念品需要a元，购进一件B种纪念品需要b元，根据等量关系“ 购进A种纪念品8件，B种纪念品3件，需要950元；若购进A种纪念品5件，B种纪念品6件，需要800元 ”列方程组并求解即可；
（2）设该商店购进A种纪念品x个，则购进B种纪念品有（100﹣x）个，根据不等关系“ 购买这100件纪念品的资金不少于7500元，但不超过7650元 ”列不等式组并求出其整数解即可；
（3）由于B种纪念品的利润较高，因此B种数量越多总利润越高，即利用B种数量的最大值和相应的A种数量列式计算即可.
9．（2025·惠城模拟）为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示：
污水处理设备 A型 B型
价格（万元/台） m
月处理污水量（吨/台） 200 180
（1）求m的值；
（2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？并求出每月最多处理污水量的吨数．
【答案】（1）解：由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，
即可得：，
解得，
经检验是原方程的解，即；
（2）解：∵型污水处理设备的单价为18万元，型污水处理设备的单价为15万元，
设买型污水处理设备台，则B型台，
根据题意得：，
解得，由于是整数，则有种方案，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
当时，，月处理污水量为吨，
答：有6种购买方案，每月最多处理污水量的吨数为吨．
【解析】【分析】（1）由万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出分式方程，解方程即可求出答案.
（2）设买型污水处理设备台，则B型台，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解；然后根据题意求得整数解，再分别求得各方案的处理污水量的吨数，即可求解．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑