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第二十一章 四边形
21.1 四边形及多边形
21.1.2 多边形及其内角和
教学设计
课题 21.1.2 多形边及其内角和 授课人
教学目标 1.掌握多边形的相关概念； 2.会用分割法探索多边形的内角和计算公式； 3.运用多边形的内角和计算公式、外角和解决问题.
教学重点 掌握多边形内角和公式及外角和等于360°
教学难点 能够利用多边形内角和公式及外角和解决简单几何问题
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
情景导入 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 与三角形、四边形类似，如图1，在平面内，由n（n≥3）条线段A1A2，A2A3，…，An-1An，AnA1首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形． 多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似.多边形有几条边就叫作几边形. 多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图2中的六边形，记作“六边形ABCDEF”. 与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形. 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等．像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形．如图是正多边形的一些例子. 类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？ 如图，可以发现： 从五边形的一个顶点出发，可以作 2 条对角线，它们将五边形分为 3 个三角形，五边形的内角和等于 3 ×180°; 从六边形的一个顶点出发，可以作 3 条对角线，它们将六边形分为 4 个三角形，六边形的内角和等于 4 ×180°. 由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？ 一般地，从n边形的一个顶点出发，可以作（n-3）条对角线，它们将n边形分为（n-2）个三角形，n边形的内角和等于（n-2）×180°. 小结 这样就得出了多边形的内角和公式： n边形的内角和等于（n-2）×180°. （链接例1、例2） 与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角，它们的和叫作多边形的外角和． 多边形的外角和等于多少度？请你说明理由. 与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于n×180°-(n-2)×180°=360°. 小结 多边形的外角和等于360°. （链接例3、例4、例5） 1.（知识点） 2.（知识点） ×××××××××××××××××××××××××× 通过问题探究和讨论，帮助学生理解多边形及其内角和.通过观察和讨论，帮助学生发现多边形及其内角和的性质，并掌握其应用.
典例精析 【例1】求八边形的内角和. 【解】八边形的内角和为(n-2)· 180°=(8-2)×180°= 1080°. 【例2】已知一个多边形的内角和等于2160°，求这个多边形的边数. 【解】设这个多边形的边数为n，根据题意，得 （n-2）×180°= 2160°，解得n = 14. 所以这个多边形的边数为14. 【例3】一个多边形的每个外角都是72°，这个多边形是几边形？ 【解】设这个多边形的边数为 n，根据题意，得n·72°= 360°， 解得n = 5. 因此，这个多边形是五边形. 【例4】一个多边形的内角和等于它的外角和的 2 倍，这个多边形是几边形？ 【解】设这个多边形是 n 边形，根据题意，得 (n - 2)·180°= 2×360° 解得n = 6. 因此，这个多边形是六边形. 【方法总结】已知多边形的外角和与内角和的关系，利用多边形的外角和等于360°和多边形的内角和公式求该多边形的边数. 【例5】一个正多边形，它的一个外角等于它的相邻的内角的，这个多边形是几边形？ 【解】设这个多边形的内角是 x°，根据题意，得180°- x =x 解得x = 144. ∴x =36，多边形的边数为360÷36=10. 因此，这个多边形是十边形. 【方法总结】用多边形的外角和除以一个外角的度数可直接求多边形的边数. 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1.判断． （1）当多边形边数增加时，它的内角和也随着增加． ( √ ) （2）从n边形一个顶点出发，可以引出（n-2）条对角线，得到（n-2）个三角形． ( × ) （3）当多边形边数增加时，它的外角和也随着增加．( × ) （4）三角形的外角和与八边形的外角和相等． ( √ ) 2.五边形的内角和为 540° ，它的对角线有 5 条． 3.如果一个多边形的边数增加一条，那么这个多边形的内角和增加__180°__. 4.一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和等于（ D ） A.360° B.540° C.720° D.900° 5.一个多边形的每一个外角都等于45°，这个多边形是几边形？它的每一个内角是多少度？ 解：360°÷ 45°=8，180°- 45°=135°. 答：这个多边形是八边形,它的每一个内角是135°. 6.已知一个多边形的每个内角与外角的比都是 7∶2，求这个多边形的边数.(一题多解) 解法一：设这个多边形的内角为7x°，外角为2x°，根据题意,得7x + 2x = 180，解得x = 20. ∴ 7x = 140，2x = 40. ∴360°÷40°= 9. 答：这个多边形的边数为 9. 解法二：设这个多边形的边数为 n ，根据题意，得=, 解得 n = 9. 答：这个多边形的边数为 9. 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 21.1.2 多形边及其内角和 多边形的外角和等于360°. 例题解析
教学反思

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