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21.2.2.2 平行四边形的判定（2）
1.掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法.
2.会进行平行四边形的性质与判定的综合运用.
1．两组对边分别 的四边形是平行四边形．
2．两组对角分别 的四边形是平行四边形．
3．对角线 的四边形是平行四边形．
4．定义法：两组对边分别______的四边形是平行四边形．
相等
相等
互相平分
平行四边形的判定方法
平行
还有其他的判定方法吗？
我们知道平行四边形任意一组对应边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定个四边形是平行四边形的方法吗？
分析：先证△ABC≌△CDA，然后证AD∥BC，再根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，得四边形ABCD是平行四边形．
A
D
B
C
猜想验证：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
已知：如图，四边形ABCD中，AB CD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
∥
＝
∥
＝
“ ”表示平行
且相等.
证明：
如图，连接AC，
∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠DCA，
∵AB＝CD，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA，
∴∠ACB＝∠CAD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AD∥BC，
A
D
B
C
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
符号语言：
∵AB∥CD，AB＝CD（或AD∥BC，AD＝BC），
∴四边形ABCD是平行四边形．
A
D
B
C
一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例．
AD∥BC且AB＝DC，但四边形ABCD不是平行四边形．
A
B
D
C
不是．
反例：等腰梯形．
A
B
C
D
E
F
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
又E，F分别是AB，CD的中点，
∴ EB＝FD.
∴四边形EBFD是平行四边形．
例1 如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点．
求证：DE BF．
∥
＝
∴ AB CD，即EB∥FD.
∥
＝
∴ EB FD.
∥
＝
例2 如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC．
求证：四边形BFCE是平行四边形．
证明：∵AB=CD，
∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD.
在△ACE和△DBF中，
AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF ,
∴△ACE≌△DBF(SAS).
∴CE=BF，∠ACE=∠DBF，
∴CE∥BF.
∴四边形BFCE是平行四边形．
例3 如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？
解：BF＝CE．理由如下：
∵DF∥BC，EF∥AC，
∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE.
∴FD=CE.
∵BD平分∠ABC，
∴∠FBD=∠EBD.
∴∠FBD=∠FDB.
∴BF=FD.
∴BF＝CE.
1．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（　　）
A
B
C
D
一组对边平行且相等
两组对边分别平行
∠B＋∠A＝180°
AD∥BC
B
A．AB＝CD
B．BC＝AD
C．∠A＝∠C
D．BC∥AD
2．如图，在四边形ABCD中，对角线 AC，BD 相交于点 O，OA＝OC，BA⊥AC，DC⊥AC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
A
C
D
B
O
分析：根据题意可以得到 AB∥CD，通过证△AOB≌△COD得到 AB＝CD即可证得结论．
∵∠BAC＝∠DCA，OA＝OC，∠AOB＝∠COD，
证明：∵ BA⊥AC，DC⊥AC，
∴∠BAC＝∠DCA＝90°，
∴ △AOB≌△COD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴ AB∥CD．
∴AB＝CD，
A
C
D
B
O
你还有其他证法吗？
3．如图，在 ABCD中，E， F分别为边AD， BC的中点，对角线 AC 分别交BE ， DF于点G， H．
求证：AG＝CH．
A
B
C
D
E
F
G
H
分析：可先证四边形BFDE是平行四边形，
再证△AEG≌△CFH得到AG＝CH ．
证明： ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADF＝∠CFH， ∠EAG＝∠FCH．
∵E，F分别为边AD，BC的中点，
∴
∴DE∥BF， DE＝BF，
A
B
C
D
E
F
G
H
∴ BE∥DF，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴∠AEG＝∠ADF．
∵∠AEG＝∠CFH， AE＝CF， ∠EAG＝∠FCH，
∴ △AEG≌△CFH，
∴ AG＝CH．
∴∠AEG＝∠CFH．
∵∠ADF＝∠CFH，
A
B
C
D
E
F
G
H
4．如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值．
解：∵DE∥AC，DF∥AB，
∴四边形AEDF是平行四边形，
∴DE=AF.
又∵AB=AC=10，
∴∠B=∠C.
∵DF∥AB，
∴∠CDF=∠B，
∴∠CDF=∠C，
∴DF=CF，
∴DE+DF=AF+FC=AC=10．
平行四边形的判定
判定方法
符号语言
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵ AB∥CD，AB＝CD ，
∴四边形ABCD是平行四边形
A
B
C
D
平行四边形的性质与判定的综合运用第二十一章 四边形
21.2 平行四边形
21.2.2 平行四边形的判定
第2课时 平行四边形的判定（2）
教学设计
课题 第2课时 平行四边形的判定（2） 授课人
教学目标 1.掌握用一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法； 2.会综合运用平行四边形的四种判定方法和性质来证明问题
教学重点 利用一组对边平行且相等判定平行四边形
教学难点 综合运用平行四边形的各种判定方法进行推理论证
授课类型 新授课 课时 1
教学步骤 师生活动 设计意图
复习导入 平行四边形的判定方法 1．两组对边分别 相等 的四边形是平行四边形． 2．两组对角分别 相等 的四边形是平行四边形． 3．对角线 互相平 的四边形是平行四边形． 4．定义法：两组对边分别__平行_的四边形是平行四边形． 还有其他的判定方法吗？ 通过回顾旧知为学习新知做好准备.
探究新知 思考 对于平行四边形的一组对边，从它们的位置关系和数量关系考虑，你能得到什么结论？类似于前面利用平行四边形的性质发现平行四边形的判定，你能得到利用一组对边判定个四边形是平行四边形的方法吗？ 我们知道平行四边形任意一组对应边平行且相等．反过来，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？ 猜想：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 猜想验证：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 已知：如图，四边形ABCD中，ABCD． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 分析：先证△ABC≌△CDA，然后证AD∥BC，再根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”，得四边形ABCD是平行四边形． 注意 “”表示平行且相等. 证明：如图，连接AC， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠DCA， ∵AB＝CD，AC＝CA， ∴△ABC≌△CDA， ∴∠ACB＝∠CAD， ∴AD∥BC， ∴四边形ABCD是平行四边形． 小结 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 符号语言： ∵AB∥CD，AB＝CD（或AD∥BC，AD＝BC）， ∴四边形ABCD是平行四边形． 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形吗？若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 不是． 反例：等腰梯形． AD∥BC且AB＝DC，但四边形ABCD不是平行四边形． （链接例1、例2、例3） 通过问题探究和讨论，帮助学生理解平行四边形的判定.通过观察和讨论，帮助学生发现平行四边形的判定，并掌握其应用.
典例精析 【例1】如图，在 ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点． 求证：DEBF． 【证明】∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ABCD，即EB∥FD. 又E，F分别是AB，CD的中点， ∴EB＝FD. ∴四边形EBFD是平行四边形． ∴EBFD. 【例2】如图，点A，B，C，D在同一条直线上，点E，F分别在直线AD的两侧，AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． 求证：四边形BFCE是平行四边形． 【证明】∵AB=CD， ∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD. 在△ACE和△DBF中， AC＝BD ,∠A＝∠D, AE＝DF , ∴△ACE≌△DBF(SAS). ∴CE=BF，∠ACE=∠DBF， ∴CE∥BF. ∴四边形BFCE是平行四边形． 【例3】如图，△ABC中，BD平分∠ABC，DF∥BC，EF∥AC，试问BF与CE相等吗？为什么？ 【解】BF＝CE．理由如下： ∵DF∥BC，EF∥AC， ∴四边形FECD是平行四边形，∠FDB=∠DBE. ∴FD=CE. ∵BD平分∠ABC， ∴∠FBD=∠EBD. ∴∠FBD=∠FDB. ∴BF=FD. ∴BF＝CE. 通过例题和练习帮助学生掌握所学知识，培养学生的应用能力.
随堂检测 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，要使四边形ABCD是平行四边形，可添加的条件不正确的是（　B　） 2．如图，在四边形ABCD中，对角线 AC，BD相交于点O，OA＝OC，BA⊥AC，DC⊥AC． 求证：四边形ABCD是平行四边形． 分析：根据题意可以得到 AB∥CD，通过证△AOB≌△COD得到 AB＝CD即可证得结论． 证明：∵BA⊥AC，DC⊥AC， ∴∠BAC＝∠DCA＝90°， ∴AB∥CD． ∵∠BAC＝∠DCA，OA＝OC，∠AOB＝∠COD， ∴△AOB≌△COD， ∴AB＝CD， ∴四边形ABCD是平行四边形． 你还有其他证法吗？ 3．如图，在 ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，对角线 AC 分别交BE，DF于点G，H．求证：AG＝CH． 分析：可先证四边形BFDE是平行四边形，再证△AEG≌△CFH得到AG＝CH． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADF＝∠CFH，∠EAG＝∠FCH． ∵E，F分别为边AD，BC的中点， ∵E，F分别为边AD，BC的中点， ∴AE＝DE＝AD＝CF＝BF＝BC， ∴DE∥BF， DE＝BF， ∴四边形BFDE是平行四边形， ∴BE∥DF， ∴∠AEG＝∠ADF． ∵∠ADF＝∠CFH， ∴∠AEG＝∠CFH． ∵∠AEG＝∠CFH，AE＝CF，∠EAG＝∠FCH， ∴△AEG≌△CFH， ∴AG＝CH． 4．如图，△ABC中，AB=AC=10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE+DF的值． 解：∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， ∴DE=AF. 又∵AB=AC=10， ∴∠B=∠C. ∵DF∥AB， ∴∠CDF=∠B， ∴∠CDF=∠C， ∴DF=CF， ∴DE+DF=AF+FC=AC=10． 通过设置随堂检测，及时获知学生对所学知识的掌握情况，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的.
课堂小结 巩固所学知识，加深对本节知识的理解.
作业布置
板书设计 第2课时 平行四边形的判定（2） 判定方法 例题解析
教学反思

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